第6章 一次函数
6.2 一次函数
基础过关全练
知识点1 一次函数、正比例函数的概念
1.【新独家原创】若y关于x的函数y=(m-2 023)x+n是正比例函数,则m,n应满足的条件是( )( )
A.m≠2 023且n=0
B.m=2 023且n=0
C.m≠2 023
D.n=0
2.若y=(m-1)x|m|+m+1是关于x的一次函数,则m等于 .
知识点2 确定一次函数的表达式
3.若5y+2与x-3成正比,则( )
A.y是x的正比例函数
B.y是x的一次函数
C.y与x没有函数关系
D.以上都不正确
4.【跨学科·地理】某地某天的地面温度为15 ℃,如果高度每升高1千米,气温将下降6 ℃,则该地气温t(℃)与高度h(千米)之间的关系式为 .( )
5.如图所示,△ABC中,AB=5,BC=10,AD是BC边上的高,BD=3,点P在BC边上运动(不与点B、C重合),设BP的长为x,求△ACP的面积y与x之间的函数关系式.
6.【教材变式·P146例2】在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的函数关系式,并求出所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.( )
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7.(2019广西梧州中考,4,★☆☆)下列函数中,是正比例函数的是( )
A.y=-8x B.y=C.y=8x2 D.y=8x-4
8.(2021安徽中考,6,★★☆)某品牌鞋子的长度y(cm)与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为( )
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
9.(2023江苏南京模拟,10,★☆☆)若y=(n-1)x|n|是正比例函数,则n= .( )
10.【新定义型试题】(2023北京海淀期末,16,★★☆)我们把[a,b]称为一次函数y=ax+b的“特征数”.如果“特征数”是[2,n+1]的一次函数为正比例函数,则n的值为 .
11.【跨学科·物理】(2022广东中考,20,★☆☆)物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y=kx+15(k≠0).下表是测量物体质量时,该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.( )
x(kg) 0 2 5
y(cm) 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.
12.(2022陕西中考,22,★★☆)下图是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下表是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值.
输入x … -6 -4 -2 0 2 …
输出y … -6 -2 2 6 16 …
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为1时,输出的y值为 ;
(2)求k,b的值;
(3)当输出的y值为0时,求输入的x值.
13.(2022江苏无锡月考,23,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,设∠A=x,∠P=y.
(1)当∠A变化时,求y与x之间的函数解析式,并指出自变量x的取值范围;
(2)当∠A=60°时,求∠P的度数;
(3)当∠P=125°时,求∠A的度数.
14.(2021江苏淮安期末,24,★★☆)为了学生的健康,学校课桌、课凳的高度都是按一定的关系科学设计的,小明对学校所添置的一批课桌、课凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度,于是,他测量了一套课桌、课凳上相对的四档高度,得到如下数据:
档次 第一档 第二档 第三档 第四档
凳高x/cm 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y/cm 70.0 74.8 78.0 82.8
(1)小明经过数据研究发现,桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围);
(2)小明回家后,量了家里的写字台和凳子,凳子的高度是41厘米,写字台的高度是75厘米,请你判断它们是否配套.
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15.【运算能力】如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,从点A出发,运动路线是A→D→C→B→A,再次运动到点A时停止,设点P经过的路程为x,以点A,P,D为顶点的三角形的面积是y.试确定y与x之间的函数表达式.( )
16.【运算能力】下图是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为x cm,双层部分的长度为y cm,经测量,得到如下数据:
单层部分的 长度x(cm) … 4 6 8 10 …
双层部分的 长度y(cm) … 73 72 71 70 …
(1)求出y关于x的函数解析式,并求当x=150时y的值;
(2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120 cm时,背起来正合适,请求出此时单层部分的长度;
(3)设挎带的长度为l cm,求l的取值范围.
答案全解全析
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1.A ∵y关于x的函数y=(m-2 023)x+n是正比例函数,
∴m-2 023≠0且n=0,解得 m≠2 023且n=0.
故选A.
2.答案 -1
解析 ∵y=(m-1)x|m|+m+1是关于x的一次函数,
∴|m|=1,m-1≠0,解得 m=-1.
3.B 因为5y+2与x-3成正比,所以5y+2=k(x-3),其中k≠0,整理得y=,
∴y是x的一次函数.
4.答案 t=15-6h
解析 ∵当高度为h千米时,气温降低6h ℃,∴气温t(℃)与高度h(千米)之间的关系式为 t=15-6h.
5.解析 因为AD是BC边上的高,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=52-32=16,所以AD=4.
所以△ACP的面积y与x之间的函数关系式为y=PC·AD=×(10-x)×4=-2x+20.
6.解析 设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意,得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5.
故当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度为16.5 cm.
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7.A 正比例函数形如y=kx(k为常数,且k≠0),所以选项A符合题意.
8.B ∵鞋子的长度y(cm)与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系,
∴设函数解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意知,当x=22时,y=16,当x=44时,y=27,
∴解得
∴函数解析式为y=x+5.
当x=38时,y=×38+5=24.故选B.
9.答案 -1
解析 ∵y=(n-1)x|n|是正比例函数,
∴|n|=1且n-1≠0,
∴n=±1且n≠1,∴n=-1.
10.答案 -1
解析 由题意得,“特征数”是[2,n+1]的一次函数为y=2x+(n+1),因为“特征数”是[2,n+1]的一次函数为正比例函数,所以n+1=0,解得n=-1.
11.解析 (1)把x=2,y=19代入y=kx+15中,得19=2k+15,解得k=2,
所以y与x的函数关系式为y=2x+15(x≥0).
(2)把y=20代入y=2x+15中,得20=2x+15,解得x=2.5.
答:所挂物体的质量为2.5 kg.
12.解析 (1)当输入的x值为1时,输出的y=8x=8×1=8.故答案为8.
(2)将(-2,2),(0,6)代入y=kx+b,得
解得
(3)令y=0,
由y=8x,得0=8x,
解得x=0<1(舍去),
由(2)知,当x<1时,y=2x+6,
由y=2x+6,得0=2x+6,
∴x=-3<1,
∴输出的y值为0时,输入的x值为-3.
13.解析 (1)∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)
=(180°-x).
∵∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB),
∴∠BPC=180°-(180°-x),
∴y=90°+(0°
所以∠P的度数为120°.
(3)把∠P=y=125°代入y=90°+(0°
解得 x=70°,
所以∠A的度数为70°.
14.解析 (1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
将x=37,y=70;x=42,y=78代入y=kx+b,
得解得
∴这个一次函数的解析式为y=1.6x+10.8.
(2)当x=41时,y=1.6×41+10.8=76.4,
∴家里的写字台和凳子不配套.
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15.解析 当点P在AD上运动时(0≤x≤4),以A,P,D三点为顶点不能组成三角形;
当点P在CD上运动时(4
因此y与x之间的函数表达式是
y=
16.解析 (1)观察表格可知,y是x的一次函数,设y=kx+b(k≠0),
则有解得
∴y=-x+75.当x=150时,y=0.
(2)由题意得,解得
所以单层部分的长度为90 cm.
(3)由题意,得l=x+y=x-x+75,
因为0≤x≤150,所以75≤x+75≤150.
即75≤l≤150.
