2.3.2 等腰三角形性质定理2
学校:______姓名:______班级:______考号:______
一、单选题
1.如图，等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知的周长为，且，于，的周长为，则的长为( )
A. B. C. D.
3.在等边三角形中，于点，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是边的中点，下列结论中不正确的是( )
A. B.
C.平分 D.
5.如图是人字形屋架的设计图，由，，，四根钢条焊接而成，其中，，，均为焊接点，且，为的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是( )
A.和及焊接点 B.和及焊接点
C.和及焊接点 D.和及焊接点
6.下列说法中正确的有( )
①在三角形中，相等的边所对的角一定相等；
②等腰三角形的底角一定是锐角；
③等腰三角形一边上的高、中线和角平分线重合；
④等腰三角形的腰必须大于底边长的一半.
A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.②④
7.如图所示，在等边三角形中于点为上一点，若则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.如图在中，，于点．若，，则的周长是 ．
9.如图，在等边中，，，则 ．
10.如图，在等边三角形中，是边上的中线，点是延长线上的一点，且，则 ．
11.如图是一个三角形测平架，已知，在的中点挂一个重锤，让其自然下垂，调整架身，使点恰好在重锤线上，这时和的位置关系为
12.如图，的周长为32，且，于，的周长为24，那么的长为 .
13.如图，在中，，为中点，，则的度数为 ，的度数为 ．
三、解答题
14.如图所示，已知点，在的边上，，．求证：．
15.如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．
(1)中，，
．
(2)中，，，
垂直平分 ．
(3)中，，，
．
(4)中，，，
．
16.在中，．
(1)如图①，若，是上的高，，则 ；
(2)如图②，若，是上的高，，则 ；
(3)思考：通过以上两题，你发现与之间有什么关系？并给予证明
17.求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出已知和求证．
已知：在中，为锐角，，______．
求证：______．
证明：______．
18.如图，在上中，，，点，是中线上的两点，求图形中阴影部分的面积．
19.如图，在中，，，于点．若，且的周长为，求的长．
20.如图，，，，交于点，且，交于点．试说明：．
参考答案
1.【答案】A
【解析】在等边三角形中
即是的垂直平分线.
点在上
.
是等边三角形，
.
故选.
2.【答案】C
【解析】等腰三角形底边上的高分原三角形为两个全等的直角三角形（三线合一），考虑与的边的关系.
.
故选C.
3.【答案】D
4.【答案】D
【解析】由“等边对等角”可得，故选项正确；
由等腰三角形“三线合一”的性质可得，平分，故选项，都正确；只有选项不一定正确.
故选.
5.【答案】D
【解析】根据等腰三角形的三线合一，知，根据焊接工身边的工具，显然应先选取钢条和及焊接点
6.【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质知道①是正确的；
根据三角形内角和定理知道②是正确的；
根据等腰三角形三线合一性质知道③是错误的，没有指明是底边上的高、中线和顶角平分线；
根据“三角形任意两边之和大于第三边”性质可以得到：两腰之和大于底边，即腰长大于底边的一半，④是正确的.
综上，正确的是①②④.
故选C.
7.【答案】C
8.【答案】
【解析】在中
是等腰三角形.
又，
.
的周长.
故答案为.
9.【答案】
【解析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出的度数，进而求出即可．
解：在等边中，，
，
，
，
．
故答案为：．
此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出的度数是解题关键．
10.【答案】
11.【答案】垂直
【解析】【分析】依据等腰三角形三线合一的性质回答即可．
【解答】解：∵是的中点，
∴．
又∵，
∴．
故答案为：垂直．
12.【答案】8
【解析】利用等腰三角形三线合一的性质求解即可.
13.【答案】；
【解析】∵在中，，为中点，
∴，
∴ （﹣）．
据此可知答案为：，．
掌握等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
14.【答案】证明：过点作于点．
∵，，
∴．同理，
∴，即
15.【答案】(1)；等边对等角
(2)；三线合一
(3)；三线合一
(4)；三线合一
16.【答案】(1)
(2)
(3)．
证明：
【解析】(1)在中，，是上的高，．
，
故答案为：.
(2)在中，，是上的高，．
，
故答案为：.
17.【答案】解：已知：在中，为锐角，，．
求证：．
证明：过点作于点，，
，
，
，
，，
，
．
【解析】题目的已知条件是已知部分，题目的结论是求证部分，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质解得，再利用同角的余角相等解题即可．
18.【答案】∵，是中线，
∴.
∵，
∴.
由勾股定理，得.
∵直线是等腰三角形的对称轴，
∴.
∴.
【解析】根据等腰三角形“三线合一”，结合勾股定理求得相关线段长.
19.【答案】因为为等腰三角形，，的周长为，
所以，
所以.
因为，为等腰三角形，
所以为边上的中线，
所以.
【解析】因为为等腰三角形，，的周长为，
所以，
所以.
因为，为等腰三角形，
所以为边上的中线，
所以.
20.【答案】解：因为，，
所以．
又因为,
所以．
又因为，
所以．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
