2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
2. 节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有万种以上，将数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各式中计算结果为的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
6. 如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 因式分解：______．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
9. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小明提供了测量方案：分别反向延长、至点、，他测量的度数就是的度数，则小明依据的数学道理是______．
10. 如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为______ ．
11. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则的度数为______ ．
12. 如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点若，则的大小为______ ．
13. 如图，是将绕点顺时针旋转，使点旋转后的对应点落在边上时得到的，边与交于点，若，，则 ______ ．
14. 如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：．
17. 本小题分
某高校利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动现有四名自愿献血者，经过检测，人为型，人为型，人为型若在四人中随机挑选人，用画树状图或列表的方法，求两人血型均为型的概率．
18. 本小题分
“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？
19. 本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．
在图中作的角平分线．
在图、图中，过点作一条直线，使点、到直线的距离相等，图、图所画直线不相同．
20. 本小题分
为开展学习宣传贯彻党的二十大精神活动，某中学就有关“党的二十大精神”的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试，并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级 分数段 频数人数
优秀
良好
较好
一般
较差
请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：
统计表中的 ______ ， ______ ；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是______ 度；
补全上面的成绩条形统计图；
若该校共有学生人，估计该校学生对“党的二十大精神”的了解程度达到良好以上含良好的人数．
21. 本小题分
为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对、两地间的公路进行改建．如图，、两地之间有一座山．汽车原来从地到地需途经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，．
开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？
开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米？结果精确到千米参考数据：，
22. 本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
填空： ______ ， ______ ；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．
23. 本小题分
有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
、两点之间的距离是______ 米；
求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围；
当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离．
24. 本小题分
【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
如图，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形 ______ 填“一定”或“不一定”是正方形；
如图，在菱形中，，，动点、分别在、上不含端点，若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；
【尝试应用】：
现有一个平行四边形材料，如图，在 中，，，
，点在上，且，在 边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长．
25. 本小题分
如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作 ，设 与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
当点与点重合时，的值为______；
求的长用含的代数式表示；
求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求该抛物线的解析式；
直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值；
在的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：万用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：该几何体的俯视图是：
．
故选：．
根据俯视图是从上往下看得到的图形，直接判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是明确俯视图是从上往下看到的图形．
4.【答案】
【解析】解：与不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故选：．
根据题意可知垂直平分，可得到，然后得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理，考查圆内接四边形的性质．
先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数．
【解答】
解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
故答案为：．
9.【答案】对顶角相等
【解析】解：延长到，延长到，然后测量的度数，根据对顶角相等，；
故答案为：对顶角相等
根据对顶角相等的性质，延长、得到的对顶角，测量出对顶角的度数，也就是的度数；
本题主要考查了对顶角相等的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，是角平分线，
，
，
是中线，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质推出，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质的运用，注意在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
11.【答案】
【解析】解：作出辅助线如图：
则，，
五边形是正五边形，
一个内角是，
，
．
故答案为：．
作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接．
由题意可知为的切线，
．
，
，
．
，
．
故答案为：．
连接，根据切线的性质可得出，从而可证，进而得出最后根据等边对等角即得出．
本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，是将绕点顺时针旋转，使点旋转后的对应点落在边上时得到的，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由三角形内角和得，利用旋转的性质得，，则，再由三角形内角和定理得到，即可得到，利用三角形内角和定理和对顶角相等即可得到答案．
此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质等知识，充分利用旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
如图，设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．
，，
，
，
，，
， ，
．
故答案为：．
15.【答案】解：原式
，
当时，原式，
化简结果为，值为．
【解析】先进行乘法运算，然后去括号，合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
本题考查了平方差公式，整式的运算，代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
16.【答案】证明：，
．
在与中，
，
≌，
．
【解析】根据证明≌，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
17.【答案】解：由题意可得，
树状图如下图所示：
，
由上图可知：一共有种可能性，其中两人血型均为型的有种可能性，故两人血型均为型的的概率为，
即两人血型均为型的的概率为．
【解析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以得到两人血型均为型的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18.【答案】解：设第一批玩具每套的进价是元，则第二批玩具每套的进价是元，
由题意，，
解得，
经检验是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是元，第二批玩具每套的进价是元．
【解析】设第一批玩具每套的进价是元，则第二批玩具每套的进价是元，根据“所购数量是第一批数量的倍”得到等量关系：第二批进的件数第一批进的件数，据此列出方程，求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，抓住关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19.【答案】解：由图可得：，找到线段中点，连接点和中点的射线即是的角平分线；
解：要使点、到直线的距离相等，即过点、向直线作垂线，垂线段距离相等；
故图图中的直线即为所求作．
【解析】根据等腰三角形三线合一即可做出；
利用网格过点、向直线作垂线，垂线段距离相等即可．
本题考查了作图，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质等，理解题意，灵活运用所学知识是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：本次调查的总人数为人，
则，
，
成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是，
故答案为：，，．
补全成绩条形统计图如下：
人，
答：估计该校学生对“党的二十大精神”的了解程度达到良好以上含良好的人数为人．
根据“一般”的信息可求出本次调查的总人数，从而得出，的值，再利用乘以“良好”的人数所占百分比即可得圆心角的度数；
根据，的值补全条形统计图即可；
利用该校学生总人数乘以达到良好以上含良好的人数所占百分比即可得．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
21.【答案】解：如图，过点作的垂线，垂足为，
，，千米，
千米，千米，
千米．
开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米．
，千米，
千米，
，千米，
千米，
千米．
汽车从地到地比原来少走的路程为：
千米．
开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走千米．
【解析】开通隧道前，汽车从地到地要走的距离为的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
开通隧道后，汽车从地到地要走的距离为的长，汽车从地到地比原来少走的路程为的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，
，，
，；
故答案为：，；
，，
一次函数为，反比例函数解析式为，
解方程得，，，
，
不等式的解集为或；
由知点，
，
又，
，
点，
的面积．
利用待定系数法即可求得；
解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论；
联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得、点的坐标是本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图象可得，、两点之间的距离是米，
故答案为：；
设线段所在直线的函数表达式为，
，，
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
当时，，
当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米．
根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离；
用待定系数法求函数解析式即可；
把代入中解析式即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】一定
【解析】解：矩形是“等邻边四边形”，
四边形的邻边相等，
矩形一定是正方形；
故答案为：一定；
如图中，结论：四边形是等邻四边形．
理由：连接．
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
四边形是等邻边四边形，
，
，
的值最小时，四边形的周长最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时，
四边形的周长的最小值为；
如图中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形．
，，
，，
，
，
当时，四边形为“等邻边四边形”；
当时，四边形为“等邻边四边形”，
设，
在中，，
，
，
；
当时，四边形为“等邻边四边形”，
此时点与重合，
，
综上所述：的长为或或．
根据等邻边四边形”的定义和正方形的判定可得出结论；
如图中，结论：四边形是等邻四边形．利用全等三角形的性质证明即可；
如图中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形．分三种情形：当时，当时，当时，四边形为“等邻边四边形”，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
25.【答案】
【解析】解：当点与点重合时，可知，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：；
当，由知，
当时，可知是等边三角形，
，
；
当时，可知等于四边形的面积，
，
当时，设与的交点为，
由题意知：，为等边三角形，
，
当时，由图可知，
综上．
当点与点重合时，可知，可证是等边三角形，则，即可得出答案；
当，由知，当时，可知是等边三角形，分别求的长；
当时，可知等于四边形的面积；当时，设与的交点为，，当时，由图可知，分别代入计算即可．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的面积计算等知识，根据点的位置运用分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】解：将，代入，
得，
，
，
当时，，
点，
点与点关于直线对称，且对称轴为直线，
，
，
直线的函数关系式为：，
设，
作轴交直线于，
，
，
，
当时，最大为，
直线与轴正方向夹角为，
沿方向平移，实际可看成向右平移个单位，再向下平移个单位，
，
，
抛物线平移后，
抛物线的对称轴为：直线，
当为平行四边形的边时：
若平移到对称轴上点，
则的横坐标为，
代入得，
，
若平移到对称轴上点，
则的横坐标为，
代入得，
，
若为平行四边形的对角线时，
若平移到对称轴上点，
则平移到点，
的横坐标为，
代入得，
，
或或
【解析】直接代入点，坐标即可；
作轴交直线于，通过铅垂高表示出的面积即可求出最大面积；
通过平移距离为，转化为向右平移个单位，再向下平移个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，已知线段，分为边还是对角线，通过点的平移得出的横坐标即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定是解决本题的关键．
第1页，共1页
