2022-2023学年贵州省三新改革联盟校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知，则|z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜4}，A＝{1，2}，B＝{0，2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．{1} C．{2} D．{1，2}
3．（5分）已知a，b，c三个数成等比，且1和4为其中的两数，则b的最小值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．4
4．（5分）圆C：x2+y2+4x﹣2y+1＝0与直线l：＝0的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
5．（5分）若一个圆锥的底面积为π，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．4π
6．（5分）已知，若，则tan（α+β）＝（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
8．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点M，N在C上，且＝3，⊥，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2+ D．+
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知向量，下列说法正确的是（ ）
A．
B．与垂直的单位向量是
C．的夹角为
D．向量在向量上的投影向量为
（多选）10．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8的第25百分位数是2
B．若事件M、N的概率满足P（M）∈（0，1），P（N）∈（0，1）且，则M、N相互独立
C．已知X～N（1，σ12），Y～N（0，σ22），则P（X＞1）+P（Y＞0）＝1
D．已知随机变量，若D（2X+1）＝5，则n＝5
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则（ ）
A．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B．平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
（多选）12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝2，f（x）+g（x﹣2）＝2，则（ ）
A．g（1）＝0 B．f（0）＝0
C． D．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）展开式中含x3项的系数为 ．
14．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为 ．
15．（5分）有4名高考考生通过2个不同的智能安检门进校，每个安检门每次只能过1人，要求每个安检门都要有人通过，则有 种不同的进校方式．（用数字作答）
16．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，f（2023）＝2023，则f（2024）＝ ．
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1+2a2+ +nan＝n，数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前20项和．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求角B；
（2）若c＝2a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（12分）为了研究学生每天整理数学错题情况，将一周有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”，某课题组在某市中学生中随机抽取了100人调查，其中数学成绩优秀的40人，数学成绩不优秀的60人，调查结果显示，数学成绩优秀的有20%表示自己不经常整理，数学成绩不优秀的有32人不经常整理，为了分析数学成绩优秀与是否经常整理数学错题有关，构建了2×2列联表：
不经常整理数学错题 经常整理数学错题 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
总计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为经常整理数学错题与数学成绩优秀有关．
（2）从数学成绩优秀学生中是否经常整理数学错题为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中不经常整理数学错题人数为X，求X分布列及期望．
附：，
P（k2≥k0） 0.025 0.01 0.001
k0 5.024 6.635 10.8
20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点．
（1）若过A、E、F三点的平面，交棱B1C1于点P，求的值；
（2）若三棱柱所有棱长均为2，求A1E与平面AEF所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆的右焦点F（1，0），且经过点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C左顶点A的直线与椭圆交于另一点M、与直线l：x＝4交于点P，N为l与x轴的交点，求证：FP平分∠MFN．
22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）证明：当a≥1时，f（x）＞xlnx﹣sinx成立．
2022-2023学年贵州省三新改革联盟校高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知，则|z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【分析】利用复数模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵，
∴z＝1+i，
故|z|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．
2．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜4}，A＝{1，2}，B＝{0，2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．{1} C．{2} D．{1，2}
【分析】图中阴影部分表示的集合为（ UB）∩A，由此即可得．
【解答】解：U＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}， UB＝{1，3}
则图中阴影部分表示的集合为（ UB）∩A＝{1}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
3．（5分）已知a，b，c三个数成等比，且1和4为其中的两数，则b的最小值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】直接利用等比中项的概念分情况讨论即可得出答案．
【解答】解：已知a，b，c三个数成等比，
所有b2＝ac，
1和4为其中的两数，
当a＝1，b＝4时，c＝16，此时a，b，c三个数为1，4，16；
当a＝4，b＝1时，c＝，此时a，b，c三个数为4，1，；
当a＝1，c＝4时，b＝±2，此时a，b，c三个数为1，±2，4；
当a＝4，c＝1时，b＝±2，此时a，b，c三个数为4，±2，1；
当b＝1，c＝4时，a＝，此时a，b，c三个数为，1，4；
当b＝4，c＝1时，a＝16，此时a，b，c三个数为16，4，1，
所以b的最小值为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了等比中项的概念，是基础题．
4．（5分）圆C：x2+y2+4x﹣2y+1＝0与直线l：＝0的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离与圆的半径比较，即可推出结果．
【解答】解：圆C：x2+y2+4x﹣2y+1＝0的圆心（﹣2，1），圆的半径为：2，
圆的圆心到直线的距离为：＝2，
所以圆C：x2+y2+4x﹣2y+1＝0与直线l：＝0的位置关系为相切．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题．
5．（5分）若一个圆锥的底面积为π，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．4π
【分析】根据题意，设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由圆锥的底面积求出r，由其侧面展开图分析可得l的值，进而求出圆锥的高，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
圆锥的底面积为π，则有πr2＝1，解可得r＝1，
圆锥侧面展开图是一个半圆，则有πl＝2πr，则l＝2r＝2，
则圆锥的高h＝＝，
故圆锥的体积V＝（πr2）h＝．
故选：A．
【点评】本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
6．（5分）已知，若，则tan（α+β）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】易得cosα和tanα的值，先结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得tanβ的值，再由两角和的正切公式，展开运算，得解．
【解答】解：因为，所以cosα＝﹣，tanα＝﹣，
因为＝＝ ﹣，所以tanβ＝，
所以tan（α+β）＝＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握三角恒等变换公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（5分）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
【分析】由已知可得，由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
【解答】解：由题设可得0.5＝0.4，则，
所以，即G＞18lo＝＝≈72．
故所需的训练洪代轮数至少为72次．
故选：D．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
8．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点M，N在C上，且＝3，⊥，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2+ D．+
【分析】根据条件以及双曲线的对称性可表示M，N的坐标，根据⊥，可得y12＝，将M坐标代入双曲线方程可得e4﹣14e2+9＝0，解方程可得离心率．
【解答】解：因为＝3，
所以F1F2∥MN，
由双曲线的对称性可知，M，N关于y轴对称，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以＝（2c，0），
所以＝（，0），
可设M（﹣，y1），N（，y1），
所以＝（，y1），＝（﹣，y1），
因为⊥，
所以＝0，
即﹣+y12＝0，
所以y12＝，
因为M在双曲线上，
所以﹣＝1，
整理得，c2b2﹣4a2c2＝9a2b2，
又b2＝c2﹣a2，
所以c2（c2﹣a2）﹣4a2c2＝9a2（c2﹣a2），
整理得，c4﹣14a2c2+9a4＝0，
两边同时除以a4，得e4﹣14e2+9＝0，
因为e＞1，
解得e＝+，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知向量，下列说法正确的是（ ）
A．
B．与垂直的单位向量是
C．的夹角为
D．向量在向量上的投影向量为
【分析】由平面向量的平行，数量积及夹角，投影向量的坐标表示逐一判定各选项即可．
【解答】解：对于A，，∴3×3﹣4×（﹣4）＝25≠0，∴与不平行，故A错误；
对于B，设与垂直的单位向量为（x，y），则，解得或，
∴与垂直的单位向量为（）或（），故B错误；
对于C，cos＝＝＝＝，
∵，∴，故C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量为＝×＝，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查平面向量的平行判定和平面向量的数量积，夹角，投影向量等，属于中档题．
（多选）10．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8的第25百分位数是2
B．若事件M、N的概率满足P（M）∈（0，1），P（N）∈（0，1）且，则M、N相互独立
C．已知X～N（1，σ12），Y～N（0，σ22），则P（X＞1）+P（Y＞0）＝1
D．已知随机变量，若D（2X+1）＝5，则n＝5
【分析】根据题意，对于A，由百分位数的计算公式可得A错误，对于B，由对立事件的性质可得P（M|N）＝＝P（M），变形可得P（MN）＝P（M）P（N），由相互独立事件的判断方法可得B正确；对于C，由正态分布的性质可得P（X＞1）＝，P（Y＞0）＝，由此可得C正确，对于D，由二项分布的性质可得D（X）的值，进而求出D（2X+1）的表达式，求出n的值，可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，8×25%＝2，则数据1，2，3，4，5，6，7，8的第25百分位数是（2+3）＝2.5，A错误；
对于B，若，则P（M|N）＝1﹣P（）＝P（M），即＝P（M），变形可得P（MN）＝P（M）P（N），
故M、N相互独立，B正确；
对于C，已知X～N（1，σ12），Y～N（0，σ22），则P（X＞1）＝，P（Y＞0）＝，故P（X＞1）+P（Y＞0）＝1，C正确；
对于D，已知随机变量，则D（X）＝n××（1﹣）＝，则D（2X+1）＝4D（X）＝n＝5，故n＝5，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查命题真假的判定，涉及二项分布、正态分布和相互独立事件的判断，属于基础题．
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则（ ）
A．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B．平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
【分析】用线面平行的判定定理，可判断A；用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断BD；用线面平行的判定以及性质定理可判定C．
【解答】解：设平面PBC 平面PAD＝l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，
且不含于平面PAD，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故 A正确；
若l∥平面ABCD，l 平面PBC，平面PBC 平面ABCD＝BC，则l∥BC，
同理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误；
设平面PAB∩平面PCD＝m，∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵AB 平面PAB，∴AB∥m，AB 平面ABCD，m 平面ABCD，
∴m∥平面ABCD，故C正确；
若平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD 平面PAD＝AD，则BC∥AD矛盾，
∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝2，f（x）+g（x﹣2）＝2，则（ ）
A．g（1）＝0 B．f（0）＝0
C． D．
【分析】对A，根据g（x）＝g（x﹣2）结合g（x）为奇函数，再令x＝1推导即可；对B，根据令x＝0结合g（x）为奇函数推导即可；对C，先求出f（x）的周期，再结合f（1）＝2判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得g（i）＝0，（i∈N*），进而判断即可．
【解答】解：对A，由f（x）+g（x）＝2及f（x）+g（x﹣2）＝2可得g（x）＝g（x﹣2），
又g（x）为奇函数，则g（x）＝﹣g（﹣x）＝g（x﹣2），
令x＝1则g（1）＝﹣g（﹣1）＝g（﹣1），
故g（1）＝g（﹣1）＝0．故A正确；
对B，由f（x）+g（x）＝2，令x＝0可得f（0）+g（0）＝2，
又g（x）为奇函数，故g（0）＝0，f（0）＝2，故B错误；
对C，由f（x）+g（x﹣2）＝2可得，f（x+2）+g（x）＝2，
又因为f（x）+g（x）＝2，所以f（x）＝f（x+2），
所以f（x）的周期为2，
由f（x）+g（x）＝2及g（1）＝0可得f（1）＝2，
所以＝2×2023＝4046，故C错误；
对D，由AB可得g（0）＝g（1）＝0且g（x）周期为2，故g（i）＝0，（i∈N*），故，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）展开式中含x3项的系数为 14 ．
【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为3，可求出r值，从而得解．
【解答】解：展开式的通项公式为，
令，则r＝6，
所以含x3项为，
所以展开式中含x3项的系数为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为 ．
【分析】根据抛物线的焦半径公式，方程思想，即可求解．
【解答】解：∵点在抛物线C：y2＝2px上，
∴5＝2p，∴p＝，
∴A到C的焦点的距离为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
15．（5分）有4名高考考生通过2个不同的智能安检门进校，每个安检门每次只能过1人，要求每个安检门都要有人通过，则有 72 种不同的进校方式．（用数字作答）
【分析】考虑1+3和2+2两种情况，结合同一安检门的不同人的顺序，计算相加得到答案．
【解答】解：将4人分为2组，有1+3和2+2两种情况：
当分组为1+3时：共有＝48，
当分组为2+2时：共有＝24，
综上所述：共有48+24＝72种不同的进站方式．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，f（2023）＝2023，则f（2024）＝ 2030 ．
【分析】设函数g（x）＝f（x）﹣x，根据条件，得到g（x）＝（x﹣2021）（x﹣2022）（x﹣2023），再由g（2024）＝f（2024）﹣2024，求出f（2024）的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，且f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，f（2023）＝2023，
∴设三次函数g（x）＝f（x）﹣x，即 f（x）＝g（x）+x，
则g（2021）＝g（2022）＝g（2023）＝0，
∴g（x）＝（x﹣2021）（x﹣2022）（x﹣2023），
∴g（2024）＝f（2024）﹣2024＝3×2×1＝6，
∴f（2024）＝6+2024＝2030．
故答案为：2030．
【点评】本题考查函数值的求法，函数的性质，属于中档题．
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1+2a2+ +nan＝n，数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前20项和．
【分析】（1）由a1+2a2+ +nan＝n可得a1+2a2+ +nan+（n+1）an+1＝n+1，而后通过作差得出数列{an}的通项公式；
（2）构造关于bn的等差数列，而后求和．
【解答】解：（1）由a1+2a2+ +nan＝n可得a1+2a2+ +nan+（n+1）an+1＝n+1，
二式相减得（n+1）an+1＝1，
所以an+1＝，
所以an＝；
（2）结合（1）知bm﹣1+bm＝＝m，
所以又有bm+bm+1＝m+1，
所以数列{bn+bn+1}是以b1+b2＝2为首项，1为公差的等差数列，
所以b1+b2+…+b20＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b19+b20）＝2×10+＝65．
【点评】本题主要考查递推法求数列通项公式，属中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求角B；
（2）若c＝2a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB＝，结合0＜B＜π，可求B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，由余弦定理可得b的值，即可求解△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为cosB（a﹣bsinC）﹣bsinBcosC＝0，
所以acosB＝bcosBsinC+bsinBcosC，
由正弦定理可得sinAcosB＝sinBcosBsinC+sinBsinBcosC＝sinB（cosBsinC+sinBcosC）＝sinBsin（B+C）＝sinBsinA，
因为A为三角形内角，sinA≠0，
所以cosB＝sinB，
所以tanB＝，
因为0＜B＜π，
所以B＝．
（2）因为c＝2a，△ABC的面积为，
所以S△ABC＝acsinB＝×a×2a×＝，解得a＝，
所以c＝2a＝2，
所以由余弦定理可得b＝＝＝，
所以△ABC的周长a+b+c＝++2＝3+．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．（12分）为了研究学生每天整理数学错题情况，将一周有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”，某课题组在某市中学生中随机抽取了100人调查，其中数学成绩优秀的40人，数学成绩不优秀的60人，调查结果显示，数学成绩优秀的有20%表示自己不经常整理，数学成绩不优秀的有32人不经常整理，为了分析数学成绩优秀与是否经常整理数学错题有关，构建了2×2列联表：
不经常整理数学错题 经常整理数学错题 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
总计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为经常整理数学错题与数学成绩优秀有关．
（2）从数学成绩优秀学生中是否经常整理数学错题为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中不经常整理数学错题人数为X，求X分布列及期望．
附：，
P（k2≥k0） 0.025 0.01 0.001
k0 5.024 6.635 10.8
【分析】（1）由题意，补全列联表，代入公式求出k2的观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（2）利用分层抽样的定义可知2人不经常整理数学错题，8人经常整理数学错题，得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：
不经常整理数学错题 经常整理数学错题 总计
数学成绩优秀 8 32 40
数学成绩不优秀 32 28 60
总计 40 60 100
则，
所以我们有99%把握认为经常整理数学错题与数学成绩优秀有关；
（2）若用分层抽样方式从数学成绩优秀学生中是否经常整理数学错题抽取10人，
其中2人不经常整理数学错题，8人经常整理数学错题，
所以X的所有取值为0，1，2，
此时P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则E（X）＝0×+1×+2×＝．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列和期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点．
（1）若过A、E、F三点的平面，交棱B1C1于点P，求的值；
（2）若三棱柱所有棱长均为2，求A1E与平面AEF所成角的正弦值．
【分析】（1）分别延长AF，CC1，交于点N，连接EN交B1C1于点P，连接FP，则平面四边形AFPE就是所求截面，再利用全等与相似求解即可；
（2）利用等体积法求得点A1到平面AEF的距离d，设A1E与平面AEF所成角为θ，由sinθ＝，得解．
【解答】解：（1）分别延长AF，CC1，交于点N，连接EN交B1C1于点P，连接FP，则过A、E、F三点的截面就是平面四边形AFPE，
因为△FAA1≌△FNC1，所以AA1＝NC1，
又△PEB1∽△PNC1，
所以＝＝＝2．
（2）因为A1E＝AF＝AE＝，EF＝＝2，
所以S△AEF＝ EF ＝＝2，
设点A1到平面AEF的距离为d，
因为＝，
所以 d S△AEF＝ FB1 AA1 A1F，
所以 d 2＝ 2 1，解得d＝，
设A1E与平面AEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝，
故A1E与平面AEF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握棱柱的结构特征，等体积法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的右焦点F（1，0），且经过点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C左顶点A的直线与椭圆交于另一点M、与直线l：x＝4交于点P，N为l与x轴的交点，求证：FP平分∠MFN．
【分析】（1）根据题意可得c＝1，再结合椭圆C经过点，可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AM的方程为x＝my﹣2，联立直线与椭圆方程，求得点M和点P的坐标，计算可得tan∠MFN＝tan2∠PFN，由此容易得证．
【解答】解：（1）由题意可得，F（1，0），
故c＝1，
则b2＝a2﹣1，
又由椭圆C经过点，
代入椭圆C得，
得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：由（1）知，A（﹣2，0），
设直线AM的方程为x＝my﹣2，
联立，
消去x可得，（3m2+4）y2﹣12my＝0，
可得，，
则，
直线AM：x＝my﹣2与x＝4 的交点，
所以，即，
则，即，
又，
所以∠MFN＝2∠PFN，
当kAM＝0时，则∠MFN＝2∠PFN＝0，
故FP平分∠MFN．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）证明：当a≥1时，f（x）＞xlnx﹣sinx成立．
【分析】（1）讨论a的值，由导数得出其单调性，结合f（x）≥0得出a的值；
（2）当a≥1时，f（x）≥ex﹣x﹣1，构造函数g（x）＝ex﹣x﹣xlnx+sinx﹣1，利用导数证明g（x）＞0得出f（x）＞xlnx﹣sinx．
【解答】解：（1）由f（x）＝aex﹣x﹣a，得f（0）＝0，又f'（x）＝aex﹣1，
当a≤0时，有f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在R上单调递减，
又由f（0）＝0，则f（x）≥0不成立；
当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝ln，
则x＞ln时，有f′（x）＞0，x＜ln时，有f′（x）＜0，
即f（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增，
所以f（ln）是f（x）的极小值，
又因为f（x）≥0，且f（0）＝0，故ln＝0，即a＝1，经验证成立，
所以a＝1．
（2）证明：当a≥1，x＞0时，f（x）＝aex﹣x﹣a＝a（ex﹣1）﹣x≥ex﹣x﹣1，
设g（x）＝ex﹣x﹣xlnx+sinx﹣1，
当0＜x≤1时，﹣xlnx＞0，sinx＞0，
又由（1）知ex﹣x﹣1＞0，故g（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＝ex﹣2﹣lnx+cosx，
设h（x）＝ex﹣2﹣lnx+cosx，
则h′（x）＝ex﹣﹣sinx，h′（1）＝e﹣1﹣sin1＞0，
则h（x）在（1，+∞）单调递增，
∴h（x）＞h（1）＝e﹣2+cos1＞0，
所以g′（x）＞0，
则g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）＝e﹣2+sin1＞0，
综上，g（x）＞0，
即当a≥1时，f（x）＞xlnx﹣sinx．
【点评】本题考查了导数的综合运用、转化思想及不等式的证明，在证明不等式时，关键是构造函数，利用导数得出其单调性，进而由最值证明不等式，是中档题．
