高一数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
2. 下列角的终边与角的终边关于轴对称的是
A. B. C. D.
3. 已知，则
A. B. C. D.
4. 已知正四棱锥的侧棱长为，高与斜高的夹角为，则该正四棱锥的体积为
A. B. C. D.
5. 在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则
A.直线与平行 B.直线，，相交于一点
C.直线与异面 D.直线，，相交于一点
6. 古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直
射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市
——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与
太阳光线所成的角约为.他又派人测得，
两地的距离km，平面示意图如右图，
则可估算地球的半径约为（）
A.km B.km C.km D.km
7. 如图，为正方形，，点在上，点在射
线上，且，则
A. B.
C. D.不确定
8. 在中，，，为的中点，为上一点，且，交于点，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知正方体，则
A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为
C.二面角的大小为 D.二面角的大小为
10.记的内角，，所对的边分别为，，.
A.若，则是等腰三角形
B.若，则是直角三角形
C.若，则是等腰三角形
D.若，则是等边三角形
11.已知为坐标原点，点，，，， 则
A. B.
C. D.
12.若函数（）在有且仅有个零点，则
A.的图象关于直线对称 B.在单调递增
C.在有且仅有个解 D.的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知锐角，满足，，则 .
14.将函数图象上的所有点向右平移个单位，再把所得到的曲线上的所 有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则 .
15.已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为 .
16.已知三棱锥中，平面，，，.在此棱锥 表面上，从点经过棱上一点到达点的路径中，最短路径的长度为，则该棱 锥外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
18.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若锐角，满足，，求.
19.（12分）
记的内角，，所对的边分别为，，，已知向量，
，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，，，求的面积.
20.（12分）
图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且.
（1）若点的横坐标为，现将向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，求点的坐标；
（2）已知向量与，的夹角分别为，，且，，若，求的值.
22.（12分）
（1）证明：；
（2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知.
（ⅰ） 证明：；
（ⅱ）若成立，求实数的取值范围.高一数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A B C B D
二、选择题：每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AC BC ABD AD
三、填空题：每小题5分，共20分。
题号 13 14 15 16
答案
四、解答题
17.（10分）
证明:（1）连接与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以， -------------3分
因为平面，平面，
所以平面. --------------5分
（2）法一：因为底面是正方形，所以， --------------6分
因为平面，所以， -------------7分
又，所以平面， -------------9分
因为平面，所以. -------------10分
法二：因为底面是正方形，所以，
因为平面，
所以在平面内的射影为，
所以由三垂线定理可知，.
18.（12分）
解：（1）
， -------------2分
因为，则， -------------3分
所以， -------------5分
所以. -------------6分
（2）由第（1）问知，
所以， -------------7分
因为，所以， -------------8分
因为，为锐角，
所以，因为，
所以， -------------10分
所以
. --------------12分
19.（12分）
解：（1）由题意知，
所以， -------------1分
由正弦定理可知，
即， -------------3分
因为，所以，
所以，即得， -------------5分
因为，所以. -------------6分
（2）因为为的中点，
所以， -------------7分
所以，所以，
所以，① -------------9分
由余弦定理可知，
所以，② -------------10分
由①②得， --------------11分
所以. -------------12分
(也可在与中，因为，用余弦定理可知，再由①或②，得. )
20.（12分）
证明：（1）由题意知，，
所以平面， -------------2分
又平面，
所以平面平面. --------------3分
（2）法一：由题意可知，，所以， --------------4分
所以四边形为平行四边形，所以， -------------5分
又平面，平面，所以平面. -------------6分
法二：因为，，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（3）过作交的延长线于点，连接，
因为平面平面，所以平面， -------------7分
所以在平面内的射影为，
所以与平面所成的角为， -------------8分
因为，所以，
在中，，， -------------9分
在中，，，所以， ------------11分
所以，
所以与平面所成角的正切值为. --------------12分
21.（12分）
解：（1）因为，点在第二象限且横坐标为，
所以点的坐标为， -------------1分
设，由三角函数定义可知，， -------------2分
因为向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，
所以角的终边位于射线上，
所以，， -------------4分
设点的坐标为，
所以，，
所以点的坐标为. -------------6分
（2）因为向量与的夹角为且，
所以，
所以点横纵坐标分别为，，
即点坐标为，所以. -------------7分
因为向量与的夹角为，且点在第二象限，
所以角的终边位于射线上，
又，
， -------------9分
所以点的横纵坐标分别为，，
即点坐标为，所以， -------------10分
因为，
所以，
所以， -------------11分
解得，所以. -------------12分
（由题意知，，由正弦定理可得
，解得，，所以.）
22.（12分）
证明：（1）法一：
. -------------3分
法二： ，
，
所以.
（2）（ⅰ）法一：因为，
由正弦定理可知，
即， -------------4分
即，可得， -------------5分
由（1）可知，
所以，因为，所以，------------6分
所以，因为，所以，又因为，
所以，所以或（舍），所以. -------------7分
法二：因为，由正弦定理可得， -------------4分
因为，所以， -------------5分
所以，即，
所以，
即,所以， -------------6分
因为，所以，又因为，
所以，所以或（舍），所以. -------------7分
解：（ⅱ）法一：因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，
， -------------8分
因为，所以，
，
， -------------9分
因为，，，可得，
设，则，
即对成立， -------------10分
令，
当时，即时，可得，解得，所以；
当时，即时，可得，解得，所以；
当时，即时，可得，解得，所以.
综上，. -------------12分
法二：因为，由正弦定理可知，
因为，所以,
代入，整理得，下同法一.
法三：因为，将整理得，
即，由题意可得，设，则，
即对成立，令，
当时，即时，可得，解得，所以；
当时，即时，可得，解得，所以；
当时，即时，可得，解得，所以.
综上，.高一数学参考答案
一、选择题：每小题 5分，共 40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A B C B D
二、选择题：每小题 5 分，共 20 分。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的
得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 AC BC ABD AD
三、填空题：每小题 5分，共 20分。
题号 13 14 15 16
3
答案 sin x 13
4 3
四、解答题
17.（10分）
证明:（1）连接 BD与 AC交于点 F ，连接 EF ，
因为底面是正方形，所以 F 为 BD的中点，
又因为 E为 SD的中点，所以 EF∥SB， -------------3分
因为 SB 平面 ACE， EF 平面 ACE，
所以 SB∥平面 ACE . --------------5分
（2）法一：因为底面是正方形，所以 AC BD ， --------------6分
因为 SA 平面 ABCD，所以 SA BD， -------------7分
又 AC SA A，所以 BD 平面 SAC， -------------9分
因为 SC 平面 SAC，所以 SC BD . -------------10分
法二：因为底面是正方形，所以 AC BD ，
因为 SA 平面 ABCD，
所以 SC在平面 ABCD内的射影为 AC ，
所以由三垂线定理可知， SC BD .
18.（12分）
解：（1） f (x) 2 3cos2 x 2sin xcos x 3 sin2x 3cos2x
2sin(2x )， -------------2分3
因为 x [0 ] 2x , ，则 [ , ]， -------------3分2 3 3 3
所以 sin(2x ) 3 [ ,1]， -------------5分
3 2
所以 f (x) [ 3 ,2] . -------------6分
高一数学答案 第 1页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
2 1 f ( 8（ ）由第（ ）问知 ) 2sin[2( ) ]
2 6 2 6 3 5 ，
4
所以 sin ， -------------7分
5
因为 (0 , )，所以 cos 3 ， -------------8分
2 5
因为 ， 为锐角，
12
所以 (0 , ，因为 cos( ) ，
13
5
所以 sin( ) ， -------------10分
13
所以 sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin
5 3 12 4 63
. --------------12分
13 5 13 5 65
19.（12分）
解：（1）由题意知m n bsin A a cos(B ) 0，
6
bsin A a cos(B 所以 ) ， -------------1分
6
sin Bsin A sin A(cosBcos 由正弦定理可知 sin Bsin ) ，
6 6
即 sin Bsin A sin A( 3 cosB 1 sin B) ， -------------3分
2 2
因为 A (0 , )，所以 sin A 0，
1
所以 sin B 3 cosB ，即得 tan B 3 ， -------------5分
2 2
因为 B (0 , )，所以 B . -------------6分
3
（2）因为D为 AC的中点，
1
所以 BD (BA BC) ， -------------7分
2
2 1
所以 BD (BA 1 BC)2 ，所以 ( 7)2 (a2 c2 2accos B) ，
4 4
所以 a2 c2 ac 28，① -------------9分
由余弦定理可知 b2 (2 3)2 a2 c2 2ac cosB ，
所以 a2 c2 ac 12，② -------------10分
由①②得 ac 8， --------------11分
所以 S 1 1△ABC ac sinB 8
3
2 3 . -------------12分
2 2 2
(也可在△ABD与△BCD中，因为 cos BDA cos BDC ，用余弦定理可知 a2 c2 20，
再由①或②，得 ac 8 . )
高一数学答案 第 2页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
20.（12分）
证明：（1）由题意知 AB BE ， AB BC，
所以 AB 平面 BCGE， -------------2分
又 AB 平面 ABC，
所以平面 ABC 平面 BCGE . --------------3分
（2）法一：由题意可知 AD∥BE，CG∥BE ，所以 AD∥CG， --------------4分
所以四边形 ACGD为平行四边形，所以 AC∥DG， -------------5分
又 AC 平面 ABC，DG 平面 ABC，所以DG∥平面 ABC . -------------6分
法二：因为 ED∥AB， EG∥BC ，所以平面DEG∥平面 ABC，
又 DG 平面 DEG，所以DG∥平面 ABC .
（3）过G作GH BC 交 BC的延长线于点 H ，连接 AH ，
因为平面 ABC 平面 BCGE，所以GH 平面 ABC， -------------7分
所以 AG在平面 ABC内的射影为 AH ，
所以 AG与平面 ABC所成的角为 GAH ， -------------8分
因为 CBF 60 ，所以 GCH 60 ，
在Rt△CHG中，CH 2cos60 1，GH 2sin60 3 ， -------------9分
在Rt△ABH 中， AB 1，BH 1 2 3，所以 AH 32 1 10 ， ------------11分
所以 tan GAH 3 30 ，
10 10
所以 AG与平面 ABC 30所成角的正切值为 . --------------12分
10
21.（12分）
解：（1）因为 |OB | 5 ，点 B在第二象限且横坐标为 2，
所以点 B的坐标为 ( 2,1)， -------------1分
设 AOB 2 5 5 ，由三角函数定义可知 cos ，sin ， -------------2分
5 5
因为向量OB绕原点O沿顺时针方向旋转 90O到OC的位置，
所以角 90 的终边位于射线OC上，
高一数学答案 第 3页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
所以 cos( 90 ) sin 5 ，sin( 90 ) cos 2 5 ， -------------4分
5 5
设点C的坐标为 (a,b)，
所以 a |OB | cos( 90 ) 1， b |OB | sin( 90 ) 2 ，
所以点C的坐标为 (1,2) . -------------6分
（2 10）因为向量OP与OA的夹角为 且 cos ，
10
所以 sin 3 10 ，
10
P 2 10 10 3 10所以点 横纵坐标分别为 2， 2 10 6，
10 10
即点 P坐标为 (2,6)，所以OP (2,6) . -------------7分
因为向量OP与OB的夹角为 45 ，且点 B在第二象限，
所以角 45 的终边位于射线OB上，
cos( 45 2 10 2 3 10 5又 ) ，
2 10 2 10 5
sin( 45 2 3 10 2 10 2 5 ) ， -------------9分
2 10 2 10 5
B 5 ( 5) 1 5 2 5所以点 的横纵坐标分别为 ， 2，
5 5
即点 B坐标为 ( 1,2)，所以OB ( 1,2)， -------------10分
因为OP xOA yOB，
所以 (2,6) x(1，0) y( 1,2)，
x y 2
所以 ， -------------11分
2y 6
x 5
解得 ，所以 x y 8 . -------------12分
y 3
3 10 2 3 10 2 10 2 5
（由题意知 sin ， sin( 45 ) ，由正弦定理可得
10 2 10 2 10 5
x |OA | |OP | y |OB |
sin ，解得 x 5， y 3，所以 x y 8 .）sin45 sin( 45 )
22.（12分）
证明：（1）法一： cos2x cos2y cos[(x y) (x y)] cos[(x y) (x y)]
cos(x y)cos(x y) sin(x y)sin(x y) cos(x y)cos(x y) sin(x y)sin(x y)
2sin(x y)sin(x y) . -------------3分
法二： 2sin(x y)sin(x y) 2(sin xcos y cos xsin y)(sin xcos y cos xsin y)
2(sin2 xcos2 y cos2 xsin2 y)，
2[sin2 xcos2 y (1 sin2 x)(1 cos2 y)]
高一数学答案 第 4页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
2(cos2 y cos2 x) 1 cos2y 1 cos2x cos2y cos2x ，
所以 cos2x cos2y 2sin(x y)sin(x y) .
（2）（ⅰ）法一：因为 asin A (b c)sinB，
由正弦定理可知 sin2 A (sinB sinC)sinB ，
即 sin2 A sin2 B sinBsinC ， -------------4分
1 cos2A 1 cos2B
即 sinBsinC，可得 cos2B cos2A 2sinBsinC ， -------------5分
2 2
由（1）可知 cos2B cos2A 2sin(A B)sin(B A) 2sinCsin(B A) ，
所以 2sinCsin(B A) 2sinCsinB ，因为 sinC 0，所以 sin(B A) sinB，------------6分
所以 sin(A B) sinB，因为 B (0, )，所以 sin(A B) 0，又因为 A (0, )，
所以 A B (0, )，所以 A B B或 A B B （舍），所以 A 2B . -------------7 分
法二：因为 asin A (b c)sinB，由正弦定理可得 bc a2 b2 ， -------------4分
2 2 2 c b
因为 cos A b c a ，所以 cos A 2b ， -------------5分2bc
所以 cos A
sinC sinB
2sinB ，即 2sinBcos A sinC sinB，
所以 2sinBcos A sin(A B) sinB ，
即 sin AcosB sinBcos A sinB ,所以 sin(A B) sinB， -------------6分
因为 B (0, )，所以 sin(A B) 0，又因为 A (0, )，
所以 A B (0, )，所以 A B B或 A B B （舍），所以 A 2B . -------------7 分
解：（ⅱ）法一：因为 asin A (b c)sinB，所以 a2 (b c)b，即 bc a2 b2 ，
因为 (b c)(m 2cos 2 B)≤2b ，所以 (bc c2 )(m 2cos2 B)≤2bc ，
所以 (a2 b2 c2 )(m 2cos2 B)≤2bc ，
b2 c2 a2
所以 2bc (m 2cos
2 B)≤1，
(m 2cos2 B)cosA 1≥0 ， -------------8分
因为 A 2B，所以 (m 2cos2 B)cos2B 1≥0，
(m 2cos2 B)(2cos2 B 1) 1≥0 ，
4cos4 B (2m 2)cos2 B m 1≥0 ， -------------9分
C (0 ) B (0 因为 A， B， , ，可得 , )3 ，
1
设 cos2 B t ，则 t ( ,1)，4
高一数学答案 第 5页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
即 4t 2 (2m 2)t m 1≥0 1对 t ( ,1)成立， -------------10分
4
令 f (t) 4t 2 (2m 2)t m 1，
1 m 1 1 3 3
当 ≤ 时，即m≥0时，可得 f ( )≥0，解得m≤ ，所以 0≤m≤ ；
4 4 4 2 2
1 1 m
当 1时，即 3 m 0时，可得 f (1 m)≥0，解得 3≤m≤1，所以 3 m 0；
4 4 4
1 m
当 ≥1时，即m≤ 3时，可得 f (1)≥0，解得m≥ 3，所以m 3.
4
综上， 3 3≤m≤ . -------------12分
2
法二：因为 (b c)(m 2cos 2 B)≤2b ，由正弦定理可知 (sinB sinC)(m 2cos 2B)≤2sinB ，
因为 A 2B，所以 sinC sin3B ,
sin3B sin(2B B) sin2BcosB sinBcos2B 2cos 2BsinB sinB(2cos 2B 1 ) sinB (4cos2B 1)
代入 (sinB sinC)(m 2cos 2B)≤2sinB ，整理得 (m 2cos2 B)(2cos2 B 1) 1≥0 ，下同法一.
法三：因为 A 2B，将 (m 2cos2 B)cosA 1≥0 整理得 (m 1 cosA)cosA 1≥0，
即 cos2 A (m 1)cos A 1≥0 ，由题意可得 A (0 , )，设 cos A t3 ，则 t (
1
,1)，
2
即 t 2 (m 1)t 1≥0 1对 t ( ,1)成立，令 f (t) t 2 (m 1)t 1，
2
m 1 1 m 0 1 3 3当 ≤ 时，即 ≥ 时，可得 f ( )≥0，解得m≤ ，所以 0≤m≤ ；
2 2 2 2 2
1 1 m 1 m
当 1时，即 3 m 0时，可得 f ( )≥0，解得 3≤m≤1，所以 3 m 0；
2 2 2
1 m
当 ≥1时，即m≤ 3时，可得 f (1)≥0，解得m≥ 3，所以m 3.
2
3 m 3综上， ≤ ≤ .
2
高一数学答案 第 6页（共 6页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}高一数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答
非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知角 的终边经过点 (1 , 1)，则 sin
A. 3 B. 2 C. 2 12 2
D.
2 2
2.下列角的终边与 60 角的终边关于 x轴对称的是
A. 660 B. 660 C. 690 D. 690
3. 1 cos2 已知 2，则
sin2 tan
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2 2
4.已知正四棱锥的侧棱长为 5 ，高与斜高的夹角为 30 ，则该正四棱锥的体积为
A. 4 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 3
3 3
5.在空间四边形 ABCD中，若 E， F 分别为 AB ， BC的中点，G CD ， H AD ，且
CG 2GD， AH 2HD，则
A.直线 EH 与 FG平行 B.直线 EH ， FG， BD 相交于一点
C.直线 EH 与 FG异面 D.直线 EG， FH ， AC相交于一点
6.古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，
在北回归线上）记为 A，夏至那天正午，阳光直
射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市
——埃及北部的亚历山大城记为 B，测得立杆与
太阳光线所成的角约为 7.2 .他又派人测得 A，
B两地的距离 AB 800 km，平面示意图如右图，
则可估算地球的半径约为（ 3.14）
A. 7260 km B. 6870 km C. 6369 km D.5669 km
高一数学第 1页（共 4页）
{#{QQABIQKAogAoABJAARhCQQFyCkGQkBACAIgOAEAEMAAAiBFABAA=}#}
7.如图， ABCD为正方形， DAM 45 ，点 E在 AB上，点 F 在射
线 AM 上，且 AF 2BE，则 ECF
A. 60 B. 45
C.30 D.不确定
8.在△ABC中， AB a ， AC b ，D为 AB的中点，E为 BC上一点，且CE 2EB ， AE
交CD于点 F ，则
A. AF 1 a+ 1 b B. AF 1 a+ 1 b C. AF 1 a+ 2b D. AF 2 a+1b
4 2 2 4 5 5 5 5
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.已知正方体 ABCD A1B1C1D1，则
A.直线 AB1与 A1C1 所成的角为 60 B.直线 AC与 B1D1所成的角为 60
C.二面角 B AD B1的大小为 45 D.二面角 A BD A1的大小为 45
10.记△ABC 的内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c .
A.若 sin2A sin2B，则△ABC是等腰三角形
B.若 tan AtanB 1，则△ABC是直角三角形
C.若 a 2ccosB，则△ABC是等腰三角形
D.若 sin(A B)sin(B C) 0 ，则△ABC是等边三角形
11.已知O为坐标原点，点 P1(cos ,sin )，P2 (cos ,sin )，P3 (cos( ) ,sin( ))，A(1,0)，
则
A. |OP1 | |OP3 | B. | AP3 | |P1P2 |
C.OA OP1 OP2 OP3 D.OA OP3 OP1 OP2
12.若函数 f (x) sin x cos x（ 0）在 [0,2 ]有且仅有 3个零点，则
A. y f (x) 5 的图象关于直线 x 对称 B. 在 (0, 单调递增4 f (x) 5
C. f (x) 11 15 2 在 (0,2 有且仅有1个解 D. 的取值范围是 [ , )
8 8
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知锐角 ， 满足 tan 2， tan 3，则 .
14.将函数 f (x) sin(2x
2
)
3 图象上的所有点向右平移 3 个单位，再把所得到的曲线上的所
有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，得到函数 y g(x)的图象，则 g(x) .
15.已知非零向量 a ， b 满足 | a | 2 | b |，且 (a b) b ，则向量 a 与 b 的夹角为 .
16.已知三棱锥 A BCD中， AB 平面 BCD， BDC 90 ， AB 3，BD 3 .在此棱锥
表面上，从点C经过棱 AD上一点到达点 B的路径中，最短路径的长度为 13 ，则该棱
锥外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
如图，四棱锥 S ABCD的底面为正方形， E为 SD的中点.
（1）证明： SB∥平面 ACE；
（2）若 SA 平面 ABCD，证明： SC BD .
18.（12分）
已知函数 f (x) 2 3cos2 x 2sin xcos x 3 .
（1）当 x [0 , ]时，求 f (x)的取值范围；
2
（2 8 12）若锐角 ， 满足 f ( ) ， cos( ) ，求 sin .
2 6 5 13
19.（12分）
记△ABC 的内角 A，B ，C所对的边分别为 a，b，c，已知向量m (b,cos(B ) )，
6
n ( sin A,a )，且 m n .
（1）求角 B；
（2）若 D为 AC的中点， BD 7， AC 2 3，求△ABC的面积.
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20.（12分）
图①是由矩形 ADEB ， Rt△ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB 1，
BE BF 2， CBF 60 .将其沿 AB， BC折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图②.
（1）证明：平面 ABC 平面 BCGE；
（2）证明： DG∥平面 ABC；
（3）求直线 AG与平面 ABC所成角的正切值.
21.（12分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(1，0)，点 B在第二象限，且 |OB | 5 .
（1）若点 B的横坐标为 2，现将向量OB绕原点O沿顺时针方向旋转 90 到OC 的位
置，求点C的坐标；
10
（2）已知向量OP与OA，OB的夹角分别为 ， 45 ，且 cos ， |OP | 2 10 ，
10
若OP xOA yOB，求 x y的值.
22.（12分）
（1）证明： cos2x cos2y 2sin(x y)sin(x y) ；
（2）记△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 asin A (b c)sinB .
（ⅰ）证明： A 2B；
（ⅱ）若 (b c)(m 2cos 2 B)≤2b 成立，求实数m的取值范围.
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