第3章 图形的相似 单元 检测 试卷（解答卷）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．如图，在中，，如果，，，那么的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，
然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．
有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
【答案】D
4．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，
则她的影长为（ ）
A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m
【答案】C
6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
【答案】D
7.如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
8．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
【答案】D
一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米．
当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°．
已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．6米
【答案】B
10 .如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，
折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，
使点A落在边上的处，称为第2次操作，
折痕到的距离记为.按上述方法不断操作下去……
经过第2015次操作后得到的折痕到的距离记为，
若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则的值为 ．
【答案】
12．如图，，相交于点E，若，，则的长是 ．
【答案】6
13 . 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 米．
【答案】8
14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
不能得出和相似的是： （填序号）．
【答案】③
15 .如图所示，在□ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，
则△DEF的面积与△BAF的面积之比为_____________
【答案】9：16
如图，四边形是内接正方形，，高，
则内接正方形边长 ．
【答案】
17．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面 .
【答案】3
18 .如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，
已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；
其中正确的是_________________
【答案】①③④
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．已知：，求的值．
解：将两边减去1得，
．
∴ ．
20．已知：如图，在中，.求证：.
证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
21．如图，已知在 ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CD∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE，
∴△AEF∽△CDF，
∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，
∴△AEF与△CDF的周长之比为1∶3（周长比等于相似比）；
（2）∵△AEF∽△CDF，AE∶CD＝1∶3，
∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9，
∵S△AEF＝6 cm2，
∴S△CDF＝54 cm2．
22 .如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
求证：∠DAF＝∠CDE；
求证：△ADF∽△DEC；
(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
解：如图：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，
即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3
∴△ADF∽△DEC
(3)∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD
∴DE=
由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴
∴
∴AF=
23 .如图1，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），
过D作，交的延长线与G、F．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由；
②若，求的值．
解:（1）∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）①点E在运动过程中，能是等腰三角形，
由（1）知，
∴．
∴．
∴，
∴只能．
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的值是．
②在中，，设，
则，，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
整理得，．
解得：，（不合题意，舍去）
∴．
24．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=，CE=3，求∠AED的度数；
（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，
当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．
解：（1）CE=AF
证明：∵ ABCD是正方形
∴AD=CD，∠ADC=900
∵ △DEF是等腰直角三角形
∴ DE=DF，∠FDE=900
∴ ∠ADF+∠ADE=∠CDE+∠ADE
∴ ∠ADF=∠CDE
∴ △ADF≌△CDE，
∴ CE=AF
（2）设DE=
∵DE：AE：CE=1：：3
∴AE=，CE=AF=3，
∵△DEF为等腰直角三角形
∴EF=，∠DEF=450
∴AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2
∴AE2+EF2=AF2
∴△AEF为直角三角形
∴∠AEF=90°
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=90°+45°=135°
∵M是AB中点，
∴MA=AB=AD，
∵AB∥CD，
∴，
在Rt△DAM中，DM=，
∴ DO=，
∵ OF=，
∴ DF=，
∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO
∴，
∴，
∴DN=
∴CN=CD﹣DN=4﹣=
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第3章 图形的相似 单元 检测 试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，如果，，，那么的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，
然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．
有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
4．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，
则她的影长为（ ）
A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m
6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
7.如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米．
当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°．
已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．6米
10 .如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，
折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，
使点A落在边上的处，称为第2次操作，
折痕到的距离记为.按上述方法不断操作下去……
经过第2015次操作后得到的折痕到的距离记为，
若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则的值为 ．
12．如图，，相交于点E，若，，则的长是 ．
13 . 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 米．
14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
不能得出和相似的是： （填序号）．
15 .如图所示，在□ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，
则△DEF的面积与△BAF的面积之比为_____________
如图，四边形是内接正方形，，高，
则内接正方形边长 ．
17．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面 .
18 .如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，
已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；
其中正确的是_________________
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．已知：，求的值．
20．已知：如图，在中，.求证：.
.
21．如图，已知在 ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．
22 .如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
求证：∠DAF＝∠CDE；
求证：△ADF∽△DEC；
(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
23 .如图1，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），
过D作，交的延长线与G、F．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由；
②若，求的值．
24．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=，CE=3，求∠AED的度数；
（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，
当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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