2022-2023学年四川省眉山市仁寿县高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A．i+2 B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
2．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．化简++（ ）
A．0 B． C． D．
4．在△ABC中，cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40o的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70o，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65o，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．已知向量，满足，，，则λ+μ＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（m﹣2，﹣n），且（+）∥，则mn的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
8．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．sin（α﹣3π）＝sinα B．
C．tan（﹣α﹣π）＝﹣tanα D．
（多选）10．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件
C．若与同向，且||＞||，则＞
D．λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
（多选）11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
（多选）12．在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝角三角形
C．sinA：sinB：sinC＝7：5：3
D．若b+c＝8，则△ABC的面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z满足z（1﹣2i）＝1（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是 ．
15．已知曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，则|ω|的最小值为 ．
16．关于函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）已知m∈R，复数z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）已知复数z满足方程z+（z﹣2）i＝0，求及||的值．
18．已知向量，，∠AOB＝60°，且．
（1）求，；
（2）求与的夹角及与的夹角．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c＝2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．
20．如图，在圆内接△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足acosC+ccosA＝2bcosB．
（1）求B的大小；
（2）若点D是劣弧上一点，AB＝2，BC＝3，AD＝1，求ABCD四边形的面积．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的单调递增区间．
（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．
22．已知向量，函数，．
（1）求f（x）在上的最值，并求出相应的x的值；
（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A．i+2 B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可依次求解．
解：＝﹣2﹣i，其共轭复数为﹣2+i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．
解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，
∴，
由tanα＜0，得α在第二、四象限，
由cosα＜0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
3．化简++（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】直接根据向量的加法运算即可求解．
解：∵++＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是向量加减运算，属于基础题．
4．在△ABC中，cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理和余弦定理求出a、c的值，即可解得△ABC的面积．
解：△ABC中，cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，
由正弦定理得c＝2a；
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+4a2﹣2a 2a ＝4a2＝4，
解得a＝1，
可得c＝2；
可得△ABC的面积为S＝acsinB＝×1×2×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积的计算问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40o的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70o，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65o，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【分析】根据题意，确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．
解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，
从而∠ACB＝45°．
在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin30°＝10海里．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查．
6．已知向量，满足，，，则λ+μ＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据题意可解，再根据，可解出λ和μ，可解此题．
解：∵，则4＝（0，6），①，
又，②，
由①﹣②得：3＝（3，6），即，
同理，＝（2，1），
又＝（λ+2μ，2λ+μ）＝（﹣1，1），即，得，
故λ+μ＝1+（﹣1）＝0，
故答案为：B．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
7．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（m﹣2，﹣n），且（+）∥，则mn的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
【分析】根据向量平行得到2m+n＝4，再利用均值不等式计算得到答案．
解：＝（2，1），＝（﹣1，1），
则，
∵＝（m﹣2，﹣n），且（+）∥，
∴﹣n＝2（m﹣2），即2m+n＝4，
当m≤0，n＞0或n≤0，m＞0时，mn≤0，
当m＞0且n＞0时，，即mn≤2，
当且仅当，即m＝1，n＝2时，等号成立，
综上所述，mn的最大值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
8．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A和B．
当x＝时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．sin（α﹣3π）＝sinα B．
C．tan（﹣α﹣π）＝﹣tanα D．
【分析】由题意利用诱导公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
解：∵sin（α﹣3π）＝sin（α﹣π）＝﹣sin（π﹣α）＝﹣sinα，故A不正确；
∵，故B正确；
∵tan（﹣α﹣π）＝tan（﹣α）＝﹣tanα，故C正确；
∵，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
（多选）10．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件
C．若与同向，且||＞||，则＞
D．λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
【分析】由题意，利用向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解：两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，故它们不一定是共线向量，故A错误．
若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故B正确．
若与同向，且||＞||，则与不能比较大小，故C错误．
λ，μ为实数，若λ＝μ，则与不一定共线，例如当λ＝μ＝0时，与是任意的，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查向量的相关概念，向量共线及向量相等，属于基础题．
（多选）11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
【分析】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
解：对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B △ABC是等腰三角形，或2A+2B＝π A+B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；
对于B：由sinA＝cosB，∴A﹣B＝或A+B＝．∴△ABC不一定是直角三角形；
对于C：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，∴a2+b2＜c2．∴△ABC为钝角三角形，C正确；
对于D：由正弦定理，得
sinC＝＝．而c＞b，∴C＝60°或C＝120°．∴A＝90°或A＝30°．
∴S△ABC＝bcsinA＝或．D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考查．
（多选）12．在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝角三角形
C．sinA：sinB：sinC＝7：5：3
D．若b+c＝8，则△ABC的面积是
【分析】根据边长比例关系，求出a，b，c的关系，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式分别进行计算，判断即可．
解：∵（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4，
∴设a+b＝6k，c+a＝5k，b+c＝4k，（k＞0），
得a＝k，b＝k，c＝k，
则a：b：c＝7：5：3，
则sinA：sinB：sinC＝7：5：3，故C正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误，
cosA＝＝＝﹣＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确，
若b+c＝8，则k+k＝4k＝8，
则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．故D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合三角形的边长关系，求出a，b，c的比例关系是解决本题的关键．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z满足z（1﹣2i）＝1（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为 ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由z（1﹣2i）＝1，得z＝，
∴复数z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14．在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是 1 ．
【分析】根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．
解：∵A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），
∴||＝
＝
＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值，是基础题．
15．已知曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，则|ω|的最小值为 ．
【分析】利用y＝sinx的对称轴方程可得已知曲线的对称轴方程，利用整体代换思想可求出ω的关系式，进而求出结果．
解：因为曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，
所以ω+＝+kπ（k∈Z），
所以ω＝（k∈Z），
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的对称性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，属于基础题．
16．关于函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是 ①②③ ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【分析】利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
解：函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+）＝
＝＝＝．
∴函数f（x）的最大值为，因此①正确；
周期T＝，因此②正确；
当时，，因此y＝f（x）在区间（，）上单调递减，因此③正确；
将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，得到y＝
＝＝＝，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
【点评】熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）已知m∈R，复数z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）已知复数z满足方程z+（z﹣2）i＝0，求及||的值．
【分析】（Ⅰ）根据z为纯虚数，得z的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；
（Ⅱ）根据方程求出z，然后求出z的共轭复数和即可．
解：（Ⅰ）∵z为纯虚数，
∴，
∴m＝﹣1；
（Ⅱ），
∴，
∴
【点评】本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．
18．已知向量，，∠AOB＝60°，且．
（1）求，；
（2）求与的夹角及与的夹角．
【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；
（2）记与的夹角为α，与的夹角为β，β∈[0°，180°]，由平面向量数量积的定义可得cosα、cosβ，即可得解．
解：（1）因为向量，，∠AOB＝60°，且，
所以＝，
所以，
又＝，
所以；
（2）记与的夹角为α，α∈[0°，180°]，与的夹角为β，β∈[0°，180°]，
则，
所以α＝30°．，
所以β＝60°．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c＝2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出，
（2）由余弦定理求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）因为a+2c＝2bcosA，
由正弦定理，得sinA+2sinC＝2sinBcosA，
因为C＝π﹣（A+B），
所以sinA+2sin（A+B）＝2sinBcosA．
即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB＝2sinBcosA，
所以sinA（1+2cosB）＝0，
因为sinA≠0，
所以cosB＝﹣，
又因为0＜B＜π，
所以B＝，
（2）由余弦定理a2+c2﹣2accosB＝b2及b＝2得，a2+c2+ac＝12，
即（a+c）2﹣ac＝12，
又因为a+c＝4，
所以ac＝4，
所以S△ABC＝acsinB＝×4×＝．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题．
20．如图，在圆内接△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足acosC+ccosA＝2bcosB．
（1）求B的大小；
（2）若点D是劣弧上一点，AB＝2，BC＝3，AD＝1，求ABCD四边形的面积．
【分析】（1）根据正弦定理化简即可．
（2）在△ABC，利用余弦定理求出AC，已知B，可得∠ADC，再余弦定理求出DC，即可△ABC和△ADC面积，可得四边形ABCD的面积．
解：（1）∵acosC+ccosA＝2bcosB．
由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB．
得sinB＝2sinBcosB．
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴cosB＝，
即B＝．
（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝．
由余弦定理，cos ＝＝，
可得：AC＝．
在△ADC中，AC＝，AD＝1，ABCD在圆上，
∵B＝．
∴∠ADC＝．
由余弦定理，cos ＝＝．
解得：DC＝2；
四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADC＝AD DC sin +AB BC sin ＝2 ．
【点评】本题考查三角形的面积的求法，正弦余弦定理的合理运用．圆内角四边形的角的关系．属于中档题．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的单调递增区间．
（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．
【分析】（1）由函数f（x）的图象求得A、T和ω、φ的值，即可写出函数的解析式；
（2）由三角函数的图象与性质，即可求f（x）的单调递增区间；
（3）根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的取值范围即可．
解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，
A＝2，T＝2×（﹣）＝π，
所以＝π，解得ω＝2；
由函数图象过点（，0），
得2sin（+φ）＝0，
则+φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+）；
（2）由函数f（x）的解析式，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，
则（2x+）∈[，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
则f（x）＝2sin（2x+）的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
22．已知向量，函数，．
（1）求f（x）在上的最值，并求出相应的x的值；
（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，再利用三角函数公式化f（x）为含一个角的一种三角函数形式，利用三角函数的性质求最值．
（2）由（1）得，g（x）＝f（）＝sin（x﹣）．注意到T＝4，利用分组方法求和．
（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y＝sin（x﹣）与y＝﹣两图象交点个数．利用数形结合的方法进行讨论．
解：（1）f（x）＝2 ＝2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx＝sin2x+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣），
∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，
∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，
当，即x＝时，f（x）取得最小值﹣1，
当，即x＝时，f（x）取得最大值为 ．
（2）由（1）得，f（x）＝sin（2x﹣）．
∴g（x）＝f（）＝sin（x﹣）．T＝4，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝g（5）+g（6）+g（7）+g（8）＝…＝g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）＝503×+g（1）+g（2）
＝1006+＝．
（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y＝sin（x﹣）与y＝﹣两图象交点个数．
在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．
当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y＝sin（x﹣）与y＝﹣两图象无交点，g（x）无零点，
当+4k≤t＜2+4k或+4k＜t≤4+4k时，y＝sin（x﹣）与y＝﹣两图象1个交点，g（x）1个零点，
当2+4k≤t≤+4k时，y＝sin（x﹣）与y＝﹣两图象2个交点，g（x）2个零点．
【点评】本题考查向量与三角，函数与方程的结合，融合了重要的知识点，公式和思想方法，属于难题．
