2022-2023学年吉林省长春市二道区七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列漂亮的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）现有长度分别为10cm和20cm的两根小棒，王红要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则她所选择的小棒是（ ）
A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．（3分）下列方程变形正确的是（ ）
A．由x+3＝y﹣7，得x+7＝y﹣11
B．由7y﹣6＝5﹣2y，得7y+6＝17﹣2y
C．由7x＝﹣7x，得1＝﹣1
D．由4x＝3﹣2x，得4x﹣2x＝3
6．（3分）如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（ ）
A．15cm B．13cm C．12cm D．9cm
7．（3分）如图，将一副三角板重叠，使两个直角顶点重合，若两直角重叠形成的角∠BAE＝72°，则图中∠α的度数为（ ）
A．108° B．120° C．145° D．147°
8．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（ ）
A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）已知关于x的方程2x+a﹣3＝0的解是x＝﹣1，则a的值为 ．
10．（3分）若将二元一次方程3x﹣y＝5写成用含x的代数式表示y的形式，则y＝ ．
11．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+y＞1，则满足题意的最小整数a是 ．
12．（3分）如图，已知△ABC≌△DBC，∠ABC＝60°，∠ACD＝50°，那么∠D＝ 度．
13．（3分）如图，等边△ABC的每个内角都等于60°，点D是边AB上的点，连结CD，将△CDB沿CD折叠，点B的对应点为点B'，连结B′D．若∠BCB'＝90°，B′D交AC于点E，则∠AEB'＝ 度．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点．若△ABC的面积为10cm2，则△FBC的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程组．
16．（6分）解方程：．
17．（6分）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
去分母，得24﹣（x﹣7）＞8x+4．
任务一：“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．
18．（7分）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）如果从这个多边形的一个顶点引出对角线，最多可以引 条对角线．
19．（7分）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求：
（1）∠EBC的度数；
（2）∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝ ．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD ，
∴∠EBC＝ +35°＝ （等量代换）
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ ）
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ ﹣90°＝ （等量代换）．
你还能用其他方法解决这一问题吗？
20．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．△ABC的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）在图①中作△ABC边AB上的高CD．
（2）在图②中作△ABC边BC上的高AE．
（3）在图③中作△ABC边AC上的高BF．
21．（8分）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为或．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个．
（2）直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解
（3）若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
22．（9分）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．
解：结论：∠P＝ ．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB．
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝
【模型发展】如图②，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．
【解决问题】如图③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，点Q是△PBC的外角平分线BQ与CQ的交点．若∠A＝68°，则∠Q＝ 度．
23．（10分）某学校七年级甲、乙两班为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格．
（2）若该校七年级丙班在同一商场购买了同种型号的足球3个、篮球1个，则该班共消费 元．
（3）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不少于460元，则该校八年级至少购买了多少个足球？
24．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线AB一BC运动，同时点Q从点C出发，以每秒1.5cm的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）①当点P在AB上运动时，BP＝ cm．（用含t的代数式表示）
②当点P在BC上运动时，BP＝ cm．（用含t的代数式表示）
（2）当点P运动到BC的中点时，求线段BQ的长．
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．
（4）当点P在BC上运动时，连结AP、AQ．直接写出△APQ的面积是3cm2时t的值．
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2．【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系确定答案即可．
3．【答案】D
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
4．【答案】B
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
5．【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
6．【答案】C
【分析】先利用平移的性质得到AD＝BE，DE＝AB，然后计算阴影部分的周长．
7．【答案】D
【分析】根据三角形外角的性质得出∠BGE＝∠BAE+∠B，∠α＝∠BGE+∠E，结合三角板的性质即可求出∠α的度数．
8．【答案】A
【分析】若每人7两，还剩4两，则银子共有（7x+4）两；若每人9两，还差8两，则银子共有（9x﹣8）两．根据银子数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9．【答案】5．
【分析】将x＝﹣1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．
10．【答案】3x﹣5．
【分析】根据等式的性质进行变形即可．
11．【答案】3．
【分析】先利用整体的思想求出9x+9y＝3a+2，从而可得：x+y＝，然后根据已知x+y＞1，可得＞1，最后进行计算即可解答．
12．【答案】95．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠DBC，∠BCD的度数，进而得出答案．
13．【答案】90．
【分析】由等边三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝60°，求出∠ECB′＝∠BCB′﹣∠ACB＝30°，由折叠的性质得到∠B′＝∠B＝60°，因此∠CEB′＝90°，于是得到∠AEB′＝180°﹣∠CEB′＝90°．
14．【答案】2.5．
【分析】连接CE，然后根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，从而求出S△BCE＝S△ABC，再根据S△BCF＝S△BCE计算即可得解．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】本题先用（1）式两边同时乘以3，与第二个方程相减即可求得y，代入求得x即可．
16．【答案】x＝．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
17．【答案】任务一：A；
任务二：x＜3，解集在数轴上表示见解答．
【分析】任务一：根据不等式的基本性质，即可解答；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
18．【答案】（1）九边形；
（2）6．
【分析】（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1260°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
（2）从n边形的一个顶点引出对角线，可以引（n﹣3）条．
19．【答案】（1）90°；（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）；90°；125°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；∠EBC；35°．
另解见解答过程．
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的外角性质计算；
另解：根据直角三角形的两锐角互余解答．
20．【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）见解答．
【分析】根据网格线的特点及高的定义作图．
21．【答案】（1）6；
（2）；
（3）共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
【分析】（1）由为非负整数，可得出x﹣3可以为1，2，4，5，10或20，进而可得出x的值；
（2）由2x+3y＝8，可得出x＝4﹣y，结合x，y均为正整数，即可得出二元一次方程的正整数解；
（3）设可以截成a段3m，b段4m的绳子，根据绳子的总长为32m，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各截法．
22．【答案】【探索发现】90°+∠A，90°+∠A；
【模型发展】∠P＝90°﹣∠A，理由见解析；
【解决问题】28．
【分析】【探索发现】由角平分线定义得，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
【模型发展】由三角形的外角性质和角平分线定义得∠CBP＝（∠A+∠ACB），∠BCP＝（∠A+∠ABC），再由三角形内角和定理即可得出结论；
【解决问题】由【探索发现】得∠P＝90°+∠A＝124°，再由【模型发展】得∠Q＝90°﹣∠P，即可得出结论．
23．【答案】（1）每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）190；
（3）该校八年级至少购买了6个足球．
【分析】（1）设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，利用总价＝单价×数量，结合七年级甲、乙两班购买的足球和篮球的数量及消费的金额，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，即可求出结论；
（3）设该校八年级购买了m个足球，则购买了（10﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合总价不少于460元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
24．【答案】（1）①6﹣4t；②4t﹣6；
（2）1cm；
（3）或；
（4）或2．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）求出t的值，即可求出BQ的长；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）根据三角形APQ的面积求出PQ＝1，分两种情形构建方程求解．
