第十一章 三角形素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023山东滨州期中)下列生活实物中,没有应用到三角形的稳定性的是 ( )
A.太阳能热水器 B.篮球架
C.三脚架 D.活动衣架
2.(2022江苏南通中考)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm,6 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以为 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
3.(2023河北石家庄二中期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,∠AFE=55°,则∠B的度数为 ( )
A.30° B.35° C.50° D.55°
4.(2021湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB,若∠CDE=160°,则∠B的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.【主题教育·中华优秀传统文化】【跨学科·建筑】窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种类繁多的优美图案.如图所示的是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分.已知BC∥DE,∠3=85°,则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ( )
A.320° B.265° C.245° D.225°
6.【新独家原创】将一副直角三角板按如图所示的方式摆放,若直线a∥b,则∠1的大小为 ( )
A.105° B.75° C.60° D.45°
7.(2021台湾省中考改编)如图,四边形ABCD中,∠1、∠2、∠3分别为四边形ABCD的外角.判断下列大小关系何者正确. ( )
A.∠1+∠3=∠ABC+∠D
B.∠1+∠3<∠ABC+∠D
C.∠1+∠2+∠3=360°
D.∠1+∠2+∠3>360°
8.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E,过点A作AD⊥BC,垂足为D,过点E作EF⊥AC,垂足为F.若∠DAE=15°,∠AEF=50°,则∠B的度数为 ( )
A.55° B.65° C.75° D.80°
9.(2023广东湛江月考)如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为28 cm,AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为 ( )
A.31 cm B.25 cm
C.22 cm D.19 cm
10.如图,已知△ABC中,∠B=α,∠C=β(α>β),AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,则∠DAE的度数为 ( )
A.α-β B.2(α-β)
C.α-2β D.(α-β)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2023山东青岛市南期末)如图,△ABC中,∠A=54°,∠B=46°,点D、E分别在AB、AC上,连接DE并延长,交BC的延长线于F,若∠F=25°,则∠1的度数为 .
12.(2022四川眉山中考)一个多边形外角和是内角和的,则这个多边形的边数为 .
13.(2023湖北咸宁咸安期中)已知,△ABC的三边长分别为4,10,x.当△ABC的周长为偶数时,x的值为 .
14.(2021天津南开田家炳中学期中)将一副分别含有30°角和45°角的两个直角三角板拼成如图所示的图形,其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是 .
15.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,点E在射线BC上,EF⊥AD于F,∠E=34°,∠ACE=72°,则∠B的度数为 .
16.在△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线,则∠ADB的度数为 .
17.(2023山东烟台莱州一模)已知关于x的不等式组至少有两个整数解,且存在以3,a,7为边长的三角形,则a的整数值有
个.
18.(2022福建泉州七中期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE是△ABC的角平分线,CD⊥AB,垂足为D,延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F.若∠A=60°,则∠DCE+∠F= .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,已知AD是△ABC的边BC上的中线.
(1)作出△ABD的边BD上的高;
(2)若△ABC的面积为10,求△ADC的面积;
(3)若△ABD的面积为6,且BD边上的高为3,求BC的长.
20.(6分)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,∠A=70°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC=118°,求∠ABC的度数.
21.【分类讨论思想】(2023四川成都七中期中)(6分)如图,在三角形ABC中,AB=10 cm,AC=6 cm,D是BC的中点,E点在边AB上.
(1)若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等,求线段AE的长;
(2)若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2 cm,求线段AE的长.
22.(8分)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)若∠C=40°,求∠DAE的度数;
(2)若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.
23.(2022吉林白山临江期末)(10分)我们探究过三角形内角和等于180°,四边形内角和等于360°,请解决下面的问题:
(1)如图1,∠A+∠B+∠C+∠D=180°,则∠AOB+∠COD= (直接写出结果);
(2)连接AD、BC,若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图2,如果∠AOB=110°,求∠COD的度数;
②如图3,若∠AOD=∠BOC,AB与CD平行吗 请写出理由.
24.(10分)已知∠MON=90°,点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合).
(1)如图①,AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,随着点A、点B的运动,∠AEB= ;
(2)如图②,若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D.
(i)若∠BAO=70°,则∠D= °;
(ii)随着点A、B的运动,∠D的大小会变化吗 如果不会,求∠D的度数;如果会,请说明理由;
(3)在图②的基础上,如果∠MON=α,其余条件不变,随着点A、B的运动(如图③),求∠D的度数(用含α的式子表示).
答案全解全析
1.D A中的太阳能热水器、B中的篮球架、C中的三脚架都应用到了三角形的稳定性,D中的活动衣架没有应用到三角形的稳定性,故选D.
2.D 设这根小木棒的长为x cm,∵3 cm,6 cm,x cm为三角形的三边长,∴6-3
∵∠A=90°,∴∠B=90°-∠C=90°-55°=35°,故选B.
4.D ∵∠CDE=160°,
∴∠ADE=180°-160°=20°,
∵DE∥AB,∴∠A=∠ADE=20°,
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-20°-90°=70°.故选D.
5.B ∵BC∥DE,∴∠C=∠3=85°,
∴与∠C相邻的外角=180°-∠C=180°-85°=95°,
∵五边形ABCDE的外角和为360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-95°=265°.故选B.
6.C 如图,延长BA交直线a于点H,
∵a∥b,AB⊥BC,∴AH⊥GH,
∵∠BAF=45°+60°=105°,
∴∠HAF=180°-105°=75°,
∴∠AFH=90°-75°=15°,即∠EFG=15°.
∴∠1=∠EFG+∠FEG=15°+45°=60°.故选C.
7.A 如图,连接BD,
∵∠1=∠ABD+∠ADB,∠3=∠DBC+∠BDC,
∴∠1+∠3=∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC=∠ABC+∠ADC.
∵四边形的外角和是360°,
∴∠1+∠2+∠3<360°.故选A.
8.B ∵AD⊥BC,∠DAE=15°,
∴∠AED=90°-15°=75°,
∵∠AEF=50°,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AED=55°,
∵EF⊥AC,
∴∠EAF=90°-∠AEF=40°,∠C=90°-∠FEC=35°,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC=80°,
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°.
9.C ∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,
∵△ABD的周长为28 cm,AB比AC长6 cm,
∴△ACD的周长为28-6=22(cm).故选C.
10.D 在△ABC中,∠B=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β,
∵AE是∠BAC的平分线,∴∠EAC=∠BAC=90°-(α+β).
在Rt△ADC中,∠DAC=90°-∠C=90°-β,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-90°+(α+β)=(α-β),故选D.
11.答案 125°
解析 ∵∠1=∠F+∠ECF,∠ECF=∠A+∠B,
∴∠1=∠F+∠A+∠B,
∵∠A=54°,∠B=46°,∠F=25°,
∴∠1=25°+54°+46°=125°.故答案为125°.
12.答案 11
解析 设这个多边形的边数为n,
根据题意可得×(n-2)×180°=360°,
解得n=11,故答案为11.
13.答案 8,10,12
解析 ∵三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边,∴10-4
14.答案 15°
解析 ∵Rt△CDE中,∠C=90°,∠E=30°,
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°,
∵△BDF中,∠B=45°,∠BDF=120°,
∴∠BFD=180°-45°-120°=15°.故答案为15°.
15.答案 40°
解析 ∵EF⊥AD,∠E=34°,
∴∠ADE=90°-∠E=90°-34°=56°,
∴∠CAD=∠ACE-∠ADC=72°-56°=16°,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=2×16°=32°.
在△ABC中,∠ACE=∠B+∠BAC,
∴∠B=∠ACE-∠BAC=72°-32°=40°.
16.答案 108°
解析 ∵在△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,
∴令∠A=x,则∠ABC=∠C=2x,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠A=36°,∠ABC=72°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°,
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°.
17.答案 4
解析
解不等式①得x
又∵存在以3,a,7为边长的三角形,
∴4
18.答案 45°
解析 ∵CD⊥AB,∠A=60°,
∴∠ADC=90°,∠ACD=30°,
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°,
∵∠ABG=∠A+∠ACB=150°,BF平分∠ABG,
∴∠FBG=∠ABG=75°,
∵∠FBG=∠F+∠FCB,∴∠F=75°-45°=30°.
∴∠DCE+∠F=15°+30°=45°.
19.解析 (1)如图所示,虚线即为所求.
(2)∵AD是△ABC的边BC上的中线,△ABC的面积为10,
∴△ADC的面积=×10=5.
(3)∵AD是△ABC的边BC上的中线,∴BD=CD,
∵△ABD的面积为6,∴△ABC的面积为12,
∵BD边上的高为3,∴BC=12×2÷3=8.
20.解析 (1)∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=90°,
∵∠A=70°,∴∠ABD=90°-70°=20°.
(2)∵∠BEC=∠BDC+∠DCE,且∠BEC=118°,∠BDC=90°,
∴∠DCE=118°-90°=28°,
∵CE平分∠ACB,∴∠DCB=2∠DCE=56°,
∴∠DBC=90°-56°=34°,
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=20°+34°=54°.
21.解析 (1)∵三角形BDE的周长=BE+BD+DE,四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE,又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等,
∴BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE,
∵D为BC中点,∴BD=DC,∴BE=AE+AC,
∵AB=10 cm,AC=6 cm,
∴10-AE=AE+6,∴AE=2 cm.
(2)由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2 cm,可得BE=AE+AC+2或BE=AE+AC-2,
∴AE=1 cm或AE=3 cm.
故AE的长为1 cm或3 cm.
22.解析 (1)∵∠C=40°,∠B=2∠C,
∴∠B=80°,∴∠BAC=180°-80°-40°=60°,
∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAC=30°,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-40°=50°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-30°=20°.
(2)证明:∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,
∴∠AED+∠FEC=90°,
∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠DAE=∠FEC,
∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=(180°-3∠C)=90°-∠C,
∵∠DAE=∠DAC-∠EAC,∴∠DAE=∠DAC-=90°-∠C-90°+∠C=∠C,
∴∠FEC=∠C,∴∠C=2∠FEC.
23.解析 (1)∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D=180°×2=360°,
∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
∴∠AOB+∠COD=360°-180°=180°.
故答案为180°.
(2)①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,
∴∠OAB=∠DAB,∠OBA=∠CBA,∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=×360°=180°,
在△OAB中,∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB,
在△OCD中,∠OCD+∠ODC=180°-∠COD,
∴180°-∠AOB+180°-∠COD=180°,
∴∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=110°,∴∠COD=180°-110°=70°.
②AB∥CD.理由如下:
由①可得∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOD+∠BOC=360°-(∠AOB+∠COD)=360°-180°=180°,
∵∠AOD=∠BOC,∴∠AOD=∠BOC=90°.
在△AOD中,∠DAO+∠ADO=180°-∠AOD=180°-90°=90°,
∵∠DAO=∠DAB,∠ADO=∠ADC,
∴∠DAB+∠ADC=90°,
∴∠DAB+∠ADC=180°,∴AB∥CD.
24.解析 (1)∵∠MON=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠BAE=∠BAO,∠ABE=∠ABO,
∴∠BAE+∠ABE=(∠BAO+∠ABO)=45°,
∴∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)=135°.
故答案为135°.
(2)(i)∵∠AOB=90°,∠BAO=70°,
∴∠ABO=20°,∠ABN=160°,
∵BC是∠ABN的平分线,∴∠ABC=×160°=80°,
∵AD平分∠BAO,∴∠BAD=35°,
∴∠D=∠ABC-∠BAD=80°-35°=45°,故答案为45.
(ii)∠D的度数不随A、B的运动而发生变化.
设∠BAD=x,∵AD平分∠BAO,∴∠BAO=2x,
∵∠AOB=90°,∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2x,
∵BC平分∠ABN,∴∠ABC=45°+x,
∵∠ABC=∠D+∠BAD,
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+x-x=45°.
(3)设∠BAD=x,∵AD平分∠BAO,∴∠BAO=2x,
∵∠MON=α,∴∠ABN=∠MON+∠BAO=α+2x,
∵BC平分∠ABN,∴∠ABC=α+x,
∵∠ABC=∠D+∠BAD,
∴∠D=∠ABC-∠BAD=α+x-x=α.
