第五单元 平面向量与复数检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河南南阳·高一统考期末）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．1
6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．（2023·北京·高三专题练习）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
8．（2021·全国·高三专题练习）已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z，，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的，有
B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C．若与垂直，则与共线
D．若与共线，则与的模相等
11．（2022·全国·高三专题练面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影是1
C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是
12．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
15．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知平面向量满足，则以为直径长的圆的面积的最大值为 .
16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2002·上海·高考真题）已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.
18．（2020秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考阶段练习）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
20．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
21．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函数的最小正周期为
①求的值；
②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围
22．（2022·高一课时练习）在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()第五单元 平面向量与复数检测（能力卷）
答题卡
准考证号：
姓 名：_________________________________________
贴条形码区
此栏考生禁填 缺考
标记
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
注意事项
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。多选、错选不给分，选对部分给2分。
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．____________________ 14．____________________
15．____________________ 16．____________________
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）
数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）
第五单元 平面向量与复数检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】设，得出的关系，结合其几何意义求解最值.
【详解】设，
因为，
所以，
因为，
所以相当于圆上的点到点距离，
所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.
故选：C.
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.
【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设，则，
由共线可知，，，故，
故选：C．
4．（2023春·河南南阳·高一统考期末）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.
5．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．1
【答案】A
【分析】先求出轨迹的方程，再利用直线与有且只有一个公共点，求出点的坐标，从而得解.
【详解】根据，可得，
化简得为动点的轨迹的方程为：，
设经过点的直线为：，（可判断斜率存在）
联立方程，得①,
由于直线与有且只有一个公共点，
所以，或，
得，或，
因为圆，圆心，
所以当点在轴上方时较小，以下只讨论点在轴上方的情况,
当时，代入①式，得，
再代入双曲线方程可得，
当时，点在圆内，
可得的最小值为；
当时，代入①式，得，
再代入双曲线方程可得则，
当时，点在圆外，
可得的最小值为；
则的最小值为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可.
【详解】如图：
取BC，BD中点E，G，可知，且，
取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，
故的最大值为12.
故选：A.
7．（2023·北京·高三专题练习）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
8．（2021·全国·高三专题练习）已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先根据题意，将其转换为如图1所示的图形，令，，，不妨设，取中点，再根据极化恒等式，由此可知取到最小时，取最小值，此时，，三点共线，设，则，又，再根据余弦定理可得，由此即可求出结果.
【详解】如图1：
令，，，不妨设
取中点，由，可得，由极化恒等式得；
要求的最小值，即最小时取到；显然，此时，，三点共线，如图2：
设此时，
因为
由余弦定理可知：
所以，即.
故选:A.
【点睛】本题考查平面向量的模、数量积及其几何意义，同时考查了极化恒等式、考查学生运用转化思想，函数思想解题能力．还考查学生的数学运算能力，本题属于难题．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z，，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.
【详解】若，设，所以，
则不一定为，故A错误；
若，设，所以，
则不一定为，故B正确；
若，设，，
则，，故C正确；
若，设，，，
，所以，
即，不一定为，故D错误；
故选：BC.
10．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的，有
B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C．若与垂直，则与共线
D．若与共线，则与的模相等
【答案】AD
【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组
，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.
【详解】设向量，，对于A，对任意的，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组
，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若与垂直，则，设，则，
，其中，故C不正确；
对于D，若与共线，则，设，
，
，所以与的模相等，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
11．（2022·全国·高三专题练面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影是1
C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是
【答案】ACD
【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.
【详解】解：因为，且，则，所以，
又，则，则，故A正确；
由于在方向上的投影是，故B错误；
设，
由于，即，故，
因为，取，则，
所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，
，则，，
设的中点为，的中点为，过作的垂线，
则，因为，所以的最大值是，故C正确；
设，因为，即，则，
所以，故在垂线上，
而，
又是的中点，所以，则，
过作的垂线，垂足为，则，
又，所以，
所以的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
【答案】AD
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算与概念即可得的值.
【详解】,
所以，所以.
故答案为：.
14．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,
设则由可得，
即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
则设，
则
，（为辅助角）
，
令，则，
则，
又，
而，
故，故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性.
15．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知平面向量满足，则以为直径长的圆的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】作出相关向量后用解三角形的知识求解.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以与的夹角大小为，
如图，作，
连接，则，所以，
又，所以四点共圆，
故当为圆的直径时，最大.
此时，
在Rt中，.
在中，，
所以，即，
所以，
整理得，
所以.
所以，即的最大值为.
所以以为直径的圆的面积的最大值为.
故答案为：
16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2002·上海·高考真题）已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.
【答案】ω＝±（7－i）．
【分析】根据已知，利用复数的一般形式、纯虚数的概念、复数的模长公式、复数的四则运算求解.
【详解】设z＝a＋bi（a，b∈R），
则（1＋3i）z＝（1＋3i）（a＋bi）＝a－3b＋（3a＋b）i，
由题意得a－3b＝0，3a≠－b，
因为，
又|ω|＝，所以，解得，
将a＝3b代入上式，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝．
18．（2020秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考阶段练习）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由共线定理结合齐次式弦化切可求；
（2）由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得，再结合三角函数的性质可得到结果．
【详解】解：（1），，，
，，
（2），，
，
，
，
，，
或，
或．
【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.
（2）令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以，
所以．
因为Q是BC的中点，所以，，
所以，
即的取值范围为；
（2）令，则 ，
∴，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以，从而，，
因为，
所以，
即的最小值为．
20．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
【答案】(1)焦距为，离心率为
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率；
（2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论；
（3）设，由，得出和，①当直线的斜率不存在时，得出，即可得出的面积；②当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，得出和，结合点在椭圆上，得出，再根据弦长公式得出，根据点到直线距离公式得出点到直线的距离，根据即可得出面积．
【详解】（1）由可知，
，，故，
所以焦距，离心率．
（2）设，，
由题意，，，，，，，，
又，
所以，得，
方法一：由三点共线，则，即，
同理可得，三点共线，则，即，
故，即，
又，，
所以，
所以，
由，整理得，
所以有，
又，
故，
所以，
所以三点共线．
方法二：因为，，则，
由得直线的方程为，
与椭圆联立，得，
则，
所以，
同理得，
所以，，即三点共线．
（3）设，
因为，，，
①当直线的斜率不存在时，则，
所以，，
又是椭圆上的点，此时，
故，
②当直线的斜率存在时，可设，
由，得，
所以，，
所以，
又点在椭圆上，代入整理得，，
从而，
于是，
点到直线的距离，
所以．
21．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函数的最小正周期为
①求的值；
②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围
【答案】(1)
(2)①；②见解析.
【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值；
（2）首先根据周期公式求，并利用三角函数的性质求的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，即可求解.
【详解】（1）依题意，
，
当时，，
（2）①由（1）知，
最小正周期，得，
②当时， ，当时，
，当，即时，的最大值为2，
不等式恒成立，即恒成立，
整理为，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，得，
综上可得，，
当时， ，当时，
，当，即时，的最大值为0
不等式恒成立，即恒成立，
整理为，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，得，
综上可得，，
综上可知，当时，，当时，.
22．（2022·高一课时练习）在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1） ，知，由， 知，所以，即可证明为等腰三角形；
（2）由，知，设，由，知，所以，由此能够求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故为等腰三角形，
（2）因为，所以，设，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，
，，即.
【点睛】本题主要考查了向量的加法和线性运算，是向量的综合应用，属于中档题.
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