2023年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我国的珠穆朗玛峰高于海平面，可记为，吐鲁番盆地大部分地面低于海平面，应记为( )
A. B. C. D.
2. 下列立体图形中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 年“五一”假期，文化和旅游行业复苏，经文化和旅游部数据中心测算，长春市实现国内旅游总收入元，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 已知药品的保存温度要求为，药品保存温度要求为，若需要将，两种药品放在一起保存，则保存温度要求为( )
A. B. C. D.
5. 如图，直线与直线、分别交于点、，将含角的直角三角板如图所示放置，若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转的最小角度为( )
A. B. C. D.
6. 如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度为米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则、之间的距离为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧相交于点，作射线交于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点， 的顶点在函数的图象上，点在函数的图象上，若点、的横坐标分别为、，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 因式分解： ______ ．
10. 一元二次方程根的判别式的值为______ ．
11. 两个日常生活现象如图所示能用“垂线段最短”来解释的是______ 填“”或“”
12. 如图所示：边长是的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，余下纸片的面积为______ ．
13. 某正六边形的雪花图案如图所示这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为______ 度
14. 如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点到的距离为，在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点、在边上，点、在该抛物线上按如图所示建立平面直角坐标系若，则矩形窗户的宽的长为______
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
学校准备组织“亲子活动”，每名学生需要邀请一名家长参加．小明的爸爸、妈妈都很愿意参加，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁参加每次掷一枚硬币，连掷三次，现约定：若两次或两次以上正面向上，则爸爸参加；若两次或两次以上反面向上，则妈妈参加，请用画树状图或列表等方法求出爸爸参加这次“亲子活动”的概率．
17. 本小题分
如图，为 的对角线，点、分别在边、上，，连接
交于点若，求证：四边形是菱形．
18. 本小题分
某商场用元购进一批新型衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的倍，但进价每件涨了元，结果用去元求该商场第一批购进衬衫的件数．
19. 本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为，线段的端点和点都在格点上在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中画一个，使得；
在图中画一个，使得；
在图中画一个，使得点到三边的距离相等．
20. 本小题分
吉林省年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，年末全省机动车保有量达到万辆，比上年末增长根据公报出示的数据绘制了年年全省机动车保有量及其增长速度的统计图表根据该统计图表解答下列问题：
吉林省从年到年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多______ 万辆；
吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度的中位数是______ ；
与年相比，年吉林省机动车保有量增加了______ 万辆，机动车保有量增长速度提高了______ 个百分点；注：为个百分点
根据统计图提供的信息，有下列说法，其中正确的是______ 填写字母
A.吉林省从年到年，全省机动车保有量持续增长．
B.全省机动车保有量年增长率，设年吉林省机动车保有量为，则通过列方程来求得年吉林省机动车保有量．
C.通过统计数据，从年到年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，因此这三年的机动车保有量增长率是负增长．
21. 本小题分
某水果店分别以每千克元和元进价购进风梨和火龙果两种水果各火龙果在销售后采取了降价销售，这个价格保持到销售完这批火龙果这两种水果的各自销售额元与各自的销售量之间的函数图象如图所示．
的值为______ ，火龙果降价前每千克的销售价为______ 元；
求火龙果降价后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当两种水果销售额相同，且销售额大于时，求销售这两种水果的利润和．
22. 本小题分
【发现问题】如图，小明同学发现笔记本上每相邻两条直线互相平行且距离相等于是他把这样的平行线称为等格线；
【实验探究】如图，小明同学继续在作业本上任作一条直线与等格线交于、、三点，测量发现，勤于思考的他分别过点、点作、的垂线，垂足分别为点、，可证≌，进而证得可得一直线被等格线截得的线段长相等；不需要再证明
【应用】如图，三条等格线、、称为三格线，的直角顶点在上，点、分别在、上，将沿翻折，点的对称点在上，延长交于点求证：为等边三角形；
【拓展】如图，将图中的三格线改为四格线，的直角顶点在上，点、分别在、上，将沿翻折，点的对称点在上，延长交于点若，则 ______ ， ______ ．
23. 本小题分
如图，是的直径，，点是的中点，连接、是的半径点不与点重合，点关于直线的对称点为点，连接，、．
的长为______ ；结果保留
当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积；结果保留
当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长；
当时，直接写出的长．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点点在轴上，其纵坐标为，作点关于点的对称点为点，以点为对称中心，以长为边长作正方形，且轴．
求该抛物线对应的函数关系式；
当点在点的上方，且正方形的顶点在抛物线上时，求的长；
当正方形的某一条边与抛物线有两个交点时，设这两个交点的横坐标分别为、若，求的值；
当抛物线在正方形内部的图象对应的函数值先随值的增大而减小，后随值的增大而增大时，若该抛物线与正方形交点的纵坐标之差为，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：高于海平面，可记为，
低于海平面，应记为，
故选：．
正数和负数是一对具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数的意义，充分理解其意义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
B.三棱柱的主视图的矩形矩形内部有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；
C.圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D.球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
4.【答案】
【解析】解：药品的保存温度要求为，药品保存温度要求为，
将，两种药品放在一起保存，保存温度要求为．
故选：．
需要将，两种药品放在一起保存，保存温度正好是药品保存温度的最低度数和药品保存温度的最高度数．
此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂药品保存温度和药品保存温度的要求．
5.【答案】
【解析】解：如图，
直线与直线平行，
，
，
旋转的最小角度，
故选：．
由平行线的性质可求，由旋转的性质和平行线的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可得：米，，
，
米．
故选：．
由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正切值即可求出．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
7.【答案】
【解析】解：连接，，，
由题意得：，，
、在的垂直平分线上，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，，，由，，推出，，由等腰直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出的长，即可得到的长．
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，关键是由条件证明垂直平分，由等腰直角三角形的性质求出的长，得到的长．
8.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，
的顶点在函数的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，，
的横坐标为，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
≌，
，，
，
点在函数的图象上，
．
故选：．
作轴于，轴于，求得的纵坐标，即可得到，，，通过证得≌，求得，代入，即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得点的坐标是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
由题意通过提取公因式进行分解．
此题考查了运用提公因式法进行因式分解的能力，关键是能根据具体整式选择正确的方法并分解．
10.【答案】
【解析】解：，，，
．
所以一元二次方程根的判别式的值为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出值．
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，日常生活现象是运用数学知识“垂线段最短”，
日常生活现象是运用数学知识“两点之间，线段最短”，
故答案为：．
根据问题和所用的数学知识进行求解．
此题考查了垂线段最短和两点之间，线段最短数学知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12.【答案】
【解析】解：余下纸片的面积为．
故答案为：．
利用大正方形的面积减去剪去的四个小正方形的面积即可求解．
本题主要考查列代数式，读懂题意，找出题目所蕴含的等量关系式解题关键．
13.【答案】
【解析】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故答案为：．
根据图形的对称性，用除以计算即可得解．
本题考查利用旋转设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设抛物线表达式为，
由图象可知：，点，
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
，
当时，，
，
矩形窗户的宽的长为，
故答案为：．
根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达式为，依题意得点，点在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；根据可确定，再把代入解析式求出相应的值，然后再减去，即可得到的长．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：原式
；
当时，
原式
．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后将的值代入计算．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和单项式乘多项式的法则，把所求式子化简．
16.【答案】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中爸爸参加的情况有种，妈妈参加的情况有种，
则；，
爸爸参加这次“亲子活动”的概率是．
【解析】此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，解题时要注意审题．列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰三角形，
，
四边形是菱形．
【解析】由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论．
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
18.【答案】解：设该商场第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场第一批购进衬衫件．
【解析】设该商场第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件，利用单价总价数量，结合第二批的进货单价涨了元，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，即为所求．
【解析】根据要求画出图形即可；
根据要求利用数形结合的思想画出图形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】
【解析】解：吉林省从年到年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多：万辆，
故答案为：；
吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度的中位数是，
故答案为：；
与年相比，年吉林省机动车保有量增加了：万辆，
机动车保有量增长速度提高了个百分点；
故答案为：，；
吉林省从年到年，全省机动车保有量持续增长，说法正确，故A符合题意；
设年吉林省机动车保有量为，则通过列方程来求得年吉林省机动车保有量，说法正确，故B符合题意；
通过统计数据，从年到年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，但这三年的机动车保有量增长率是正增长，原说法错误，故C不符合题意；
故答案为：．
根据条形统计图数据判断即可；
根据中位数的定义判断即可；
根据题意列式计算可得答案；
根据折线统计图数据解答即可．
本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图，利用数形结合的方法解答是解题思的关键．
21.【答案】
【解析】解：由图可知，，
元，
火龙果降价前每千克的销售价为元；
故答案为：，；
设火龙果降价后与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
火龙果降价后与之间的函数关系式为；
风梨销售额与销售量的关系为，
由得，
销售额，
元，
销售这两种水果的利润和是元．
由图直接可得，用销售额除以销售量可得火龙果降价前每千克的销售价为元；
用待定系数法可得火龙果降价后与之间的函数关系式为；
求出风梨销售额与销售量的关系为，由得，即知销售额，用两种水果销售额减去成本即为利润．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
22.【答案】
【解析】【应用】证明：将沿翻折，
，，，，
、、为三格线，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
是等边三角形；
【拓展】解：将沿翻折，
，，，，
、、，为四格线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
由“”可证≌，可得，，由平行线的性质可证，可得结论；
由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：是的直径，点是的中点，
的长为．
如图：
当与点重合时，则平分，
是的直径，点是的中点，
，
，
，
当时，如图：
则，
由翻折得，
，
，
，
，
是等边三角形．
，
当时，如图：
由翻折得，
，
，且为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上可得或．
当点在点右侧时，如图：
，
，
，
点和点重合，
，
当点在点左侧时，如图，连接，设交于点，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
点关于直线的对称点为点，
，
，，
，
或，
根据是直径，点是中点，可直解求弧长．
先求出弧所对应的圆心角，即可求出长度．
分别根据和两种情况进行讨论，当时，证明是等边三角形，即可求出的长，当时，是等边三角形，即可求出的长，
分别根据当点在点右侧和左侧两种情况进行讨论，当点在点右侧时，可得到，根据勾股定理求出的长，当点在点左侧时，证明是等边三角形，即可求出的长．
本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握弧长的周长，扇形的面积及等边三角形的相关知识．
24.【答案】解：将代入，
，
抛物线的解析式为；
由题可知，
点关于点的对称点为点，
，
，
当点在点右侧时，，
，
解得或舍，
此时；
当点在点右侧时，，
，
解得舍或，
此时；
综上所述：的长为或；
，
对称轴为直线，
，
，
，，
当时，，
当时，；
当时，，解得；
是正方形的中心，
抛物线与正方形的一个交点纵坐标为．
抛物线与正方形交点的纵坐标之差为，
抛物线与正方形另一个交点的纵坐标为或，
当点在点右侧时，，
或．
【解析】将代入，即可求函数的解析式；
根据题意分别求出，，则，当点在点右侧时，，再将点代入函数解析式求出，此时；当点在点右侧时，，再将点代入函数解析式求出，此时；
根据抛物线的对称性可得，结合已知求出，，当时，，当时，；当时，，解得；
根据正方形的中心对称性可知抛物线与正方形的一个交点纵坐标为，由题意可知抛物线与正方形另一个交点的纵坐标为或，当点在点右侧时，，则或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的中心对称性和轴对称性是解题的关键．
第1页，共1页
