湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、( )
A.-1 B.1 C. D.
2、一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,4,4,4,x,7,8,8,9，若该组数据的中位数是众数的倍，则x为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3、已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4、某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中a的值为0.006
B.估计某校成绩落在内的学生人数为50人
C.估计这20名学生考试成绩的众数为80分
D.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分
5、已知m,n,l是三条不同的直线，,,是三个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.，,则
B.m与n异面，，则不存在，使得,,
C.,,则
D.，,则
6、在棱长为2的正方体中，E,F分别是棱BC,的中点，P是侧面（包含边界）上的一动点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、已知,,,N是边BC上的点，且,O为的外心，则的值为( )
A. B.10 C. D.9
8、已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若复数z满足，则或
D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10、为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为6，方差为8：图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均数为9，方差为11.若将两个样本合在一起组成一个容量为300的新样本，则新样本数据的( )
A.平均数为7.5 B.平均数为8
C.方差为12 D.方差为10
11、已知，且.当时，定义平面坐标系xOy为“-仿射”坐标系，在“-仿射”坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：,分别为x轴，x轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是( )
A.设，则
B.设，若，则
C.设，若，则
D.设，若与的夹角为，则
12、某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有( )
A.多面体ABCDEF的体积为
B.经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为
C.异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
D.球离球托底面DEF的最小距离为
三、填空题
13、已知是关于x的方程的一个根，则__________.
14、在正四棱锥中，,E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为__________.
15、在中，它的内角A,B,C对应边分别为a,b,c.若，则__________.
16、甲 乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
四、解答题
17、已知点，,直线AB与单位圆在第一象限的交点为P.
（1）求；
（2）求.
18、已知直三棱柱面,M为AB的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19、某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 a 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和，样本方差分别为和.
已知,,
（1）求a,；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.
20、等腰直角中，,,P为内一点，.
（1）若，求PC；
（2）若，求.
21、如图，在三棱台中，平面平面ABC,,.
（1）求异面直线EF与DB所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小的正切值.
22、明对圆柱中的截面进行一番探究.他发现用平行于底面的平面去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角的平面去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面.
（1）图1中，圆柱底面半径为，高为2，轴截面为ABCD，设Q为底面（包括边界）上一动点，满足Q到A的距离等于Q到直线DB的距离QH，求三棱锥体积的最大值；
（2）如图2，过圆柱侧面上某一定点O的水平面与侧面交成为圆，过O点与水平面成角的平面与侧面交成为椭圆，小明沿着过O的母线MN前开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆展开后得到线段，椭圆展开后得到一正弦曲线（如图3），设P为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以O为原点，为x轴建立了平面直角坐标系，且设（图3）.试说明为什么椭圆展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式.
参考答案
1、答案：C
解析：.
故选: C.
2、答案：C
解析：10 个数据按从小到大的顺序排列为1、2、4、4、4、x、7、8、8、9,所以该组数据的中位数是 ,众数是4 ,由,
解得.
故选:C.
3、答案：B
解析：因为向量与的夹角为, 且,
所以
所以在方向上的投影向量为
故选:B.
4、答案：D
解析：由频率分布直方图,
得:,
解得,故A错误;
总体中成绩落在内的学生人数为,故B错误.
这20名学生数学考试成绩的众数为75,故C错误;
前三个矩形的面积和为
这20名学生数学考试成绩的第6 百分数为80 ,故D正确;
故选: D
5、答案：A
解析：
6、答案：C
解析：
7、答案：A
解析：
8、答案：D
解析：如第一个图所示，正四棱锥中，其侧棱上的八个三等分点构成正四棱台，且正方形ABCD的边 长为2，正方形 的边长为4；正四棱台 中，设M、N分别是上、下底面对角线交点，即上、下底 面中心，MN是正四棱台的高.
，
在直角梯形中，
$
由对称性外接球球心O在直线MN上，设球半径为r，
连接OA,，,
若O在线段MN上（如第二个图所示），由得，
因为,，所以方程无实数解，
因此O在MN的延长线上(如第三个图所示)，即在平面下方，
因此有，解得
所以球表面积为.
故选:D
9、答案：BD
解析：复数不能比较大小, A错误;
设(a,b为实数),则,B正确;
当是,C显然错误;
由可得 ,
即,此时所对应的点的轨迹为直线,D正确.
故选: BD.
10、答案：BC
解析：由题意可知, 新样本数据的平均数为:
新样本数据的方差为:
故选：BC.
11、答案：BD
解析：
12、答案：ACD
解析：
13、答案：38
解析：因为是关于x的方程的一个根，
可得，整理 得，
所以，解得,，所以.
14、答案：
解析：
15、答案：
解析：
16、答案：
解析：设母线长为l，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又 ，则，所以，
所以甲圆锥的高
乙圆锥的高
所以.
故答案为:.
17、答案：(1)
(2)2
解析：（1），
.
（2）设P点坐标为，由于B,P,A三点共线，,
,
（或由得,）
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：连结与交于点N，
则N为中点，MN为中位线，
，又面,面
平面
（2）平面,是在平面上射影
是直线与平面所成的角
又,,
在中，.
直线与平面所成角的正弦值为
19、答案：(1)0.04
(2)认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高
解析：（1）
（2）由（1）中数据可得：
而
显然有成立
所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）中，，
.
.
在中，由余弦定理得
（2）设，则，
又，在中由正弦定理得
即
即
.
21、答案：(1)0
(2)
解析：（1）如图，过点D作，交直线AC于点O，连接OB.
由,
得.
由平面平面ABC得
平面ABC,.
由,得
,
平面BDO,.
又由三棱台，得,
EF与DB所成角的余弦值为0.
（2）过B作，垂足为H，
由面面ABC，得面ADFC.
过H作，垂足为K，连接BK.
面ADFC,.又,平面BHK
,为二面角的平面角
设，则,
在中，.
二面角大小的正切值为.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）过Q作，垂足为K，过K作，
则平面QKH
,QH是Q到DB的距离
,DK平分.
,
Q点的轨迹是过K与AB垂直的垂线段上，（圆内部分）.
当三棱锥体积最大时，
即高最大时，点Q在圆周上，此时在
中，
.
（2）设倾斜平面与水平面交线为.
过P作水平面，垂足为T，
过T作，连接PH，
则是倾斜平面与水平面的夹角.
设,,.
则
在中，
