2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是( )
2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于( )
A. B.
C. D.
7. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8. 关于的分式方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则( )
A. B.
C. D.
10. 如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，相交于点，延长，相交于点，若，，则的长是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：______．
12. 如图，正方形与正五边形的边重合，连接，则的度数是______ ．
13. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形的周长等于______ ．
14. 如图，将一块正方形空地划出部分区域阴影部分进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为______
第12题图 第13题图 第14题图 第16题图
15. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______ ．
16. 如图，已知 中，，，两顶点、分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分 解不等式组，并写出它的整数解．
18. 本小题分
先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值．
19. 本小题分
解分式方程：
； ．
20. 本小题分
解一元二次方程：
； ．
21. 本小题分
已知：如图，在 中，，是直线上的两点，并且，连接，，求证：．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；请用黑色水笔描黑
平移，若点的对应点的坐标为，则平移距离为______，画出平移后对应的；请用黑色水笔描黑
若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．
23. 本小题分
已知：正方形中，点，分别在边，上．
如图，，垂足为点，求证：；
如图，点，分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
24. 本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25. 本小题分
已知中，，于点，点在直线上，，垂足为点，，垂足为点．
如图，点在边上时，小明同学利用三角形全等知识和图形等面积法两种方法发现了，，三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是______ ；
如图，图，当点在点左边或者在点右边的直线上时，问题中，，三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图或图中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．
26. 本小题分
在中，，，点，是边，的中点，连接，，点，分别是和的中点，连接．
如图，与的数量关系是______ ；
如图，将绕点顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系并就图的情形说明理由；
在的旋转过程中，当，，三点共线时，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和自身重合．
2.【答案】
【解析】解：，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】
【解析】解：、在不等式的两边同时乘，不等号方向不变，即，故本选项符合题意；
B、在不等式的两边同时乘，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；
C、在不等式的两边同时减去，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意；
D、在不等式的两边同时加上，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
故选A．
根据，运用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质．
4.【答案】
【解析】解：、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；
故选：．
利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
；
同理可得：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
6.【答案】
【解析】解：如图：设与相交于点，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
故选：．
设与相交于点，根据旋转的性质看得：，，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由图中可以看出，当时，，
故选：．
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母
解得，
当时，
解得，
所以的值为．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
，分别为，的中点，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由平移的性质得到，四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
．
故选：．
由平移的性质得到，四边形是平行四边形，求出，由，得到，，由菱形的性质得到，因此，由等腰三角形的性质得到．
本题考查菱形的性质，平移的性质，关键是由平移的性质，得到，由菱形的性质得到是等腰三角形．
11.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，
，
，
故答案为：．
利用多边形内角和及正多边形性质求得，的度数后即可求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，由题意得：矩形≌矩形，
，，，，，
四边形平行四边形，
平行四边形的面积，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的周长，
即重叠部分的四边形周长是，
故答案为：．
先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设原正方形的边长为，依题意有
，
解得：，不合题意，舍去，
即：原正方形的边长．
故答案是：．
本题可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：过点作于点，连接，
当点，，在一条直线上，此时最短，
平行四边形中，，，
，，
是等边三角形，
过点，为中点，
，，
，
故A的最小值为：．
故答案为：．
利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出和的长，进而求出的长．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点，，在一条直线上，此时最短是解题关键．
17.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的所有整数解为：，，．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
18.【答案】解：
；
把代入上式得：
原式．
【解析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是原方程的解．
去分母得：．
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由平行四边形的性质，推出，，因此，得到，即可证明和，推出．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出≌．
22.【答案】解：如图所示，即为所求；
即为所求， ；
．
【解析】解：见答案；
作图见答案，平移距离，
故答案为：；
如图所示，点即为旋转中心，，
故答案为：．
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
根据勾股定理结合网格即可求解，根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
本题主要考查了作图旋转变换，平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：和的大小关系是：．
理由如下：
过点作交于，过点作交于，
四边形为正方形，
，即：，
又，
四边形为平行四边形，
，
同理：，
由可知：，
．
【解析】首先证，然后依据“”判定和全等，进而可得出结论；
过点作交于，过点作交于，先由，得四边形为平行四边形，进而得，同理：，然后利用的结论得，据此可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解正方形的四条边都相等、四个角都是直角；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别相等．
24.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元．
【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】
【解析】解：连接，如图．
，
，
，
．
故答案为：；
不成立．连接．
当点在点左边的直线上时，如图．
，
，
，
；
当点点右边的直线上时，如图．
，
，
，
．
连接，利用等面积法即可证明；
连接，当点在点左边的直线上时，利用等面积法即可证明；当点点右边的直线上时，利用等面积法即可证明．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握“等积法”是本题的关键．本题也可以利用三角形全等得出结论．
26.【答案】
【解析】解：，，
，
点，是边，的中点，
，，
点，分别是和的中点，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
如图，，
，
又，，
≌，
，
点，分别是和的中点，
，
；
当点在线段上时，如图，连接，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
负值舍去，
点，分别是和的中点，
，
当点在线段上时，如图，连接，
同理可求：，
综上所述：的长为或．
由三角形中位线定理可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，由三角形中位线定理可得，即可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第1页，共1页
