5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 暑假预习自测题 北师大版八年级数学上册
一、单选题
1．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货（ ）
A．2吨 B．2.5吨 C．3吨 D．3.5吨
2．已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在的年龄时，甲20岁，则（ ）
A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁
5．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.例如：图中 的与四边形 均为格点多边形.格点多边形的面积记为 ，其内部的格点数记为 ，边界上的格点记为 ，已知格点多边形的面积可表示为 （ ， 为常数），若某格点多边形对应的 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的小明和已经复工的爸色购买口罩.若买40只一次性医用口罩和20只KN95口罩，需付380元；若买50只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付550元.设一只一次性医用口罩x元，一只KN9S5口罩y元，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为（ ）
A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
9．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下
时刻 9：00 9：45 12：00
碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0
9：00时看到的两位数是（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
二、填空题
11．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 ，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 ，则每块墙砖的截面面积是 .
12．关于，的二元一次方程，无论取何值，所得到的方程都有一个相同解，则这个相同解是 ．
13．一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第 象限．
14．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下。若这个班的数学平均成绩是69分，则x= ，y=
15．如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= .
三、解答题
16．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满
①请写出a、b满足的关系式 ．
②若小客车每辆租金2000元，大客车每辆租金3800元，请你设计出最省钱的租车方案．
17．小明家原有15头大牛和5头小牛，每天约用饲料325kg；三月后，由于经济效益好，小明父亲决定扩大养牛规模，又购进了10头大牛和5头小牛，这时每天约用饲料550kg．问每头大牛和每头小牛1天各需要多少饲料？若小明父亲估计每头大牛1天约需要饲料15～18kg，每头小牛1天约需要饲料7～8kg，你觉得小明父亲的估计准确吗？
18．A、B两地的路段有一段上坡路和一段下坡路组成，某人步行的速度是：上坡4km/h、下坡5km/h，此人从A地到B地花了5h，从B返回A地时花了4.9h，求A、B两地的距离．
19．某小区计划对外墙进行装饰维护.若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作小区总共需要支付9.2万元.求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用.
20．一条船顺流航行，每小时行 千米；逆流航行，每小时行 千米.求船在静水中的速度与水流的速度.
21．为了更好治理城市污水，保护环境，县治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/天） 240 200
经调查：购买一台A设备比购买一台B设备多2万元，购买2台A设备比购买3台B设备少6万元．
（1）求a，b；
（2）现治污公司购买的设备每天能处理污水2160吨，求治污公司购买设备的资金．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，依题意得：
，
解得：
.
故答案为：B.
【分析】设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，根据“ 2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨 ”，列出二元一次方程组求解即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：①当时，方程组为，
解得：，
∴，故符合题意；
②当时，方程组为，
解得，，即、的值互为相反数，故符合题意；
③，
解得，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故符合题意；
④当时，原方程组为，无解，故不符合题意；
综上，①②③符合题意，
故答案为：C．
【分析】①当时，②当时，③，④当时，分别代入求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费.
设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，由题意，得2x+y=5，y=5-2x
因为x，y都是自然数，所以符合条件的解为
则共有3种不同截法.
故答案为：C.
【分析】设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，结合“当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费”，得出x，y都是自然数，然后分别讨论即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：设甲现在的年龄为x岁，乙年龄的年龄为y元，
∴，
解得，
∴x-y=16-12=4.
故答案为：C.
【分析】设甲现在的年龄为x岁，乙年龄的年龄为y元，根据年龄差相等在两种情况下分别列方程，联立求解即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：依题意得： ，
解得： ，
∴x﹣y=8﹣2=6．
故答案为：C．
【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论．
6．【答案】A
【解析】【解答】解： 中， ， ， ，则 ；
同理，四边形 中， ，
，
∴ ；
联立得
解得： ，
∴ ， ，则 ，
故答案为：A.
【分析】观察图形，在△ABC中可得到S，N，L的值，可得到4a+b=1；在四边形DEFG中，可求出S，N，L的值，可求出5a+b=1.5，由此建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；将N，L，a，b分别的数可求出S的值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：B.
【分析】根据：买40只一次性医用口罩和20只KN95口罩，需付380元可得方程40x+20y=380；根据：买50只一次性医用口罩和30只KN95口罩，需付550元可得方程50x+30y=550，联立就可得到方程组.
8．【答案】C
【解析】【解答】设每块巧克力的质量为xg，每个果冻的质量为yg，
由题意得： ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】设每块巧克力的质量为xg，每个果冻的质量为yg，根据两种情况下天平两边的质量相当建立关于x、y的二元一次方程组求解即可.
9．【答案】D
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；
则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x） （10x＋y）；
则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y） （10y＋x）；
由题意列方程组得： ，
解得：
所以9：00时看到的两位数是27.
故答案为：D.
【分析】设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；则9：45时看到的两位数为x＋10y；9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y＋x) (10x＋y)；12：00时看到的数为100x＋y；9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x＋y) (10y＋x)；根据两位数数字之和为9及车的速度不变列出y与x的方程组，求解即可.
11．【答案】525cm2
【解析】【解答】解:设每块墙砖的长为xcm,宽为ycm,根据题意得:
,
计算得出: ,
则每块墙砖的截面面积是35×15=525（cm ）
因此，本题符合题意答案是:525cm .
【分析】设每块墙砖的长为xcm,宽为ycm,根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm,两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm”列方程组求解可得.
12．【答案】
【解析】【解答】解：（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，
整理，得m（x+y﹣2）+（y﹣2x+7）＝0，
由方程的解与m无关，得
x+y﹣2＝0，且y﹣2x+7＝0，
解得，
即这个相同解是．
故答案为：．
【分析】先将方程变形为m（x+y﹣2）+（y﹣2x+7）＝0，再根据“方程的解与m无关”可得x+y﹣2＝0，且y﹣2x+7＝0，再求出x、y的值即可。
13．【答案】三
【解析】【解答】解：∵k=﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第二、四象限；
∵b=1＞0，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为三．
【分析】根据了一次函数与系数的关系可判断一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限．
14．【答案】18；4
【解析】【解答】解：
【分析】根据题意和表格中的信息可列方程组2+x+10+y+4+2=40，50×2+60x+70×10+80y+90×4+100×2=69×40，解方程组即可求解。
15．【答案】2x-7
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
16．【答案】（1） 解：设每辆小客车能坐x名学生 ,每辆大客车各能坐y名学生 ,
∴,
解得
答：每辆小客车能坐20名学生 ,每辆大客车各能坐45名学生 .
（2）；由①得b=,∵a、b均为正整数，∴,∴共有3种租车方案，①小客车20辆，大客车0辆，租金2000×20=40000（元）；②小客车11辆，大客车4辆，租金2000×11+3800×4=37200（元）；③小客车2辆，大客车8辆，租金2000×2+3800×8=34400（元）；∴方案③最省钱.
【解析】【解答】（2）①20a+45b=400,
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生 ,每辆大客车各能坐y名学生 ,根据“ 3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人 ”列出方程组，解出即可.
（2）①根据坐小客车人数+坐大客车人数=400，可得a、b关系式；②求出①中方程的正整数解，即可租车方案，然后分别求出租金，比较即得.
17．【答案】解：设每头大牛1天需要x kg饲料，每头小牛1天需要y kg饲料，
依题意得：，
解得，
∵，，
∴小明父亲的估计不准确，
答：每头大牛1天需要20kg饲料，每头小牛1天需要5kg饲料，小明父亲的估计不准确．
【解析】【分析】设每头大牛1天需要x kg饲料，每头小牛1天需要y kg饲料，根据题意列出方程组，再求解即可。
18．【答案】解：设从A地到B地上坡路段长x km，下坡路段长y km，依题意得
，解得，
所以A、B两地的距离为（12+10）km=22km．
【解析】【分析】 设从A地到B地上坡路段长x km，下坡路段长y km， 根据“ 此人从A地到B地花了5h，从B返回A地时花了4.9h ”列出方程组并解之即可.
19．【答案】解：设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元。根据题意得，
，解得 。
答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元。
【解析】【分析】 设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元 ，根据两种情况下的支付的费用总和分别建立关于x、y的二元一次方程，联立求解，即可解答.
20．【答案】解：设船在静水中的速度为 ，水流的速度为 .根据题意可得：
，
解得：
答：船在静水中的速度为 ，水流的速度为 .
【解析】【分析】直接根据题意结合静水速度+水速度=顺水速度，静水速度-水速度=逆水速度，进而列出方程组，求出答案.
21．【答案】（1）解：由题意得 ，
解得： ，
即a的值为12，b的值为10.
（2）解：设购买A设备x台，B设备y台，
由题意得 ，
解得： ，
购买设备的资金=4×12+6×10=108万元．
答：现治污公司购买的设备每天能处理污水2160吨，治污公司购买设备的资金为108万元．
【解析】【分析】（1）根据购买一台A设备比购买一台B设备多2万元，购买2台A设备比购买3台B设备少6万元，列出a、b的方程组解答即可；
（2） 设购买A设备x台，B设备y台， 根据购买污水处理设备的数量以每天处理污水的数量，列出x、y的方程组求出x、y的值，再结合（1）的结果解答即可。
