第一章 三角形
章末复习
考点整合
考点1 三角形的内角和
1.在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C等于( )
A.32° B.36° C.40° D.128°
2.如图，点 D，E分别在线段BC,AC 上,连接 AD,BE.若∠A = 35°,∠B= 25°, ∠C=50°,则∠1的大小为( )
A.60° B.70° C.75° D.85°
3.将一副直角三角尺如图放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1+∠2的度数为_____________.
考点2 三角形的三边关系
4.已知三角形的两边长分别为 5cm 和8cm ，则第三边的长可以是( )
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.13 cm
5.已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为_________.
考点3 三角形的中线、角平分线、高
6.已知 AD为△ABC 的中线,AB=5cm ,且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm,则AC=____________.
7.如图,AE 是△ABC 的角平分线,AD⊥BC于点 D. 若∠BAC= 130°,∠C=30°,则
∠DAE的度数是__________.
考点4 全等三角形的性质与判定
8.如图,已知 AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌ △CBE的是( )
A.∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC
9.如图,OA=OC,OB=OD,OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:①△AOD≌△COB;②CD=AB; ③∠CDA=∠ABC.其中正确的结论是( )
A.①② B.①②③ C.①③ D.②③
10.已知，在如图所示的“风筝”图案中,AB= AD,AC= AE,∠BAE=∠DAC.
试说明:∠E=∠C.
易错易混
考虑不周 忽略分类讨论
11.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是_________度.
培优创新
12.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线 OA,射线 OB,射线 OC上的点,D,E,F与O 点都不重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是( )
A. OD=OE B. OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE
13.如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为点 F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
14.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接 AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°; ③OM 平分∠BOC;④MO 平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
15.△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是____________.
16.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE 的中点,且 4cm ，则阴影部分的面积为______________cm .
17.如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.试说明:AE∥FB.
18.(1)如图1,已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.试说明:△ACE≌△BCE.
(2)如图2，已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究 AE与BE的数量关系，并说明理由.
参考答案
1. A 【解析】因为在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
所以20°+4∠C+∠C=180°.所以5∠C=160°.所以∠C=32°.故选 A.
2. B 【解析】因为∠1=180°-(∠B+∠ADB),∠ADB=∠A+∠C,
所以∠1=180°-(∠B+∠A+∠C)=180°-(25°+35°+50°)=70°.故选B.
3.210°
4. C【解析】因为三角形的两边长分别为 5cm 和8cm，所以第三边x的长度范围为 3cm＜x＜13cm，所以第三边的长度可能是6cm.故选C.
5.5 6.3 c m 7.5° 8. B 9. B
10.解:因为∠BAE=∠DAC,所以∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE,即∠CAB=∠EAD.
又因为AB=AD,AC=AE,所以△ABC≌△ADE(SAS).所以∠C=∠E.
11.80或40【解析】当△ABC为锐角三角形时,如图,
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,
∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°.
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,
∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°.
综上所述,∠BAC=80°或40°.
12. D【解析】因为OB平分∠AOC,所以∠DOE=∠FOE.
又有OE=OE,若∠ODE=∠OFE,则根据AAS 可得△DOE≌△FOE,故选 D.
13. C【解析】因为 BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,
所以 =∠EFB.
因为BF=BF,所以△ABF≌△EBF(ASA).所以AB=BE.
因为∠ABC=35°,∠C=50°,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°.所以∠ADB=67.5°.
在△ABD与△EBD中, 所以△ABD≌△EBD(SAS).
所以∠ADB=∠EDB.所以∠ADE=2∠ADB=135°.
所以∠CDE=180°-∠ADE=45°.
14. B【解析】因为∠AOB=∠COD=40°,所以∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,
即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中, 所以△AOC≌△BOD(SAS).
所以∠OCA=∠ODB,∠OAC=∠OBD,AC=BD,①正确；
由题意得∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,所以∠AMB=∠AOB=40°,②正确;
根据题中已知条件，无法证得OM平分∠BOC，③错误；
如图,作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点H.则∠OGC=∠OHD=90°.
在△OCG 和△ODH中, 所以△OCG≌△ODH(AAS).
所以OG=OH.所以MO平分∠BMC,④正确;正确的个数为3.
15.1＜m＜4 16.1
17.解:因为 AD=BC,所以AD+CD=BC+CD,即AC=BD.
在△ACE和△BDF中,AC=BD,AE=BF,CE=DF,所以△ACE≌△BDF(SSS).所以∠A=∠B.
所以AE∥FB.
18.解:(1)在△ACE和△BCE中, 所以△ACE≌△BCE(SAS).
(2)AE=BE.
理由:如图,在CE上截取CF=DE.
在△ADE和△BCF中, 所以△ADE≌△BCF(SAS).
所以AE=BF,∠AED=∠CFB.
因为∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,所以∠BEF=∠EFB.
所以BE=BF.所以AE=BE.
