2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图所示，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 下列性质中，是矩形的性质的是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 四边相等 D. 对角线平分一组对角
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
9. 如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，菱形中对角线与相交于点，且，，若点是对角线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得，连接、，则在点的运动过程中，线段的最小值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解： ．
12. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
13. 已知点，都在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”、“”或“”．
14. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花阴影部分，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为______ ．
15. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线分别与，，交于点，，若，，则______．
16. 将等腰直角三角形沿折叠，得到，连接并延长于点，连接，过点作交的延长线于点，若，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程：．
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
如图，、是正方形的对角线上的两点，求证：．
20. 本小题分
如图，在 中，，，，垂足分别为点、．
求的度数．
若 的面积为，，求的长．
21. 本小题分
在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，图、图、图均为顶点都在格点上的三角形每个小方格的顶点叫格点，
在图中，图经过一次______变换填“平移”或“旋转”或“轴对称”可以得到图；
在图中，图是可以由图经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点______填“”或“”或“”；
在图中画出图绕点顺时针旋转后的图．
22. 本小题分
一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件，
若降价元，则平均每天销售数量为____件用含的代数式表示：
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
23. 本小题分
槐荫区大力推动“书香校园”建设，为了深入实施中华经典诵读工程，某校开展名著诵读活动，李老师推荐了种不同的名著，，，甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
甲同学选中名著的概率是______ ．
求甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率．
24. 本小题分
如图，在四边形中，，，点在边上，连接、，若，平分．
如图，求证：四边形是菱形；
如图，连接交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中长度等于的线段．
25. 本小题分
如图，点，在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点、，连接、．
求反比例函数的表达式和的值；
求的面积；
如图，是线段上一点，作轴于点，过点作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标．
26. 本小题分
已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．
如图，求证：≌；
直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解答】
解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条斜实线，如图所示：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：反比例数解析式为，图象经过点，代入得：，
解得：，
反比例函数解析式为：，
A.，
不在反比例函数上，故该选项不正确，不符合题意；
B.，
不在反比例函数上，故该选项不正确，不符合题意；
C.，
不在反比例函数上，故该选项不正确，不符合题意；
D.，
在反比例函数上，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据题意求得，然后分别计算各选项即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；
B.矩形的对角线相等，故本选项符合题意；
C.矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；
D.矩形对角线互相平分但一条对角线不一定平分一组对角，故本选项符合题意；
故选：．
根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可．
本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，过一、三、四象限；函数的图象过一、三象限；
当时，过一、二、四象象限；函数的图象过二、四象限．
观察图形可知，只有选项符合题意．
故选：．
分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中的符号对函数图象的影响是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，
，
设，则，
故．
故选：．
分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据，得出为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
10.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，且，，
，，
，，
，
，
将绕点逆时针旋转使得，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当时最小，
此时，
．
故选：．
连接，由菱形的性质及，得出，，，，由勾股定理得，进而得出，，证明三角形全等于三角形，得出角，得出当时最小．求出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值三角函数的值，找出全等的三角形证明是关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：多边形的外角和是，根据题意得：
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式及外角和计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的和．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
13.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象分布在二四象限，点在四象限，在轴下方；点在二象限，在轴上方，
．
故答案为：．
根据反比例函数的性质，，图象分布在二四象限，根据点所在象限即可判断出、的大小．
本题考查了反比例函数的性质，数形结合是这类题目的突破口．
14.【答案】
【解析】解：由图可得，
，
故答案为：．
根据题目中的数据和图形，可以得到方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接．
由作图可知垂直平分线段，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
．
故答案为：．
如图，连接利用勾股定理求出，，，再证明，可得结论．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
由折叠得，，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
设交于点，
，
，
，，
，，
，
，
作交的延长线于点，于点，则，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
，，
，
故答案为：．
先证明四边形是正方形，得，，则，设交于点，由，得，则，由勾股定理得，则，作交的延长线于点，于点，可证明四边形是正方形，则，而，所以，可证明≌，由，求得，则，，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：，
则或，
，．
【解析】根据本题方程的特点，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18.【答案】解：原式
．
【解析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式或整式．
19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
先证，再根据证≌，从而得出．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
在四边形中，，
；
四边形是平行四边形，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】利用平行四边形的邻角互补的知识先求出的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出的度数．
根据平行四边形的性质得出的长，根据面积求出的长，进而利用三角函数得出的长，最后根据线段的和差关系解答即可．
此题考查了平行四边形及三角函数的知识，要求我们掌握平行四边形的邻角互补及锐角三角函数．
21.【答案】平移；
；
如图．
【解析】解：图经过一次平移变换可以得到图；
故答案为：平移；
图是可以由图经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点；
故答案为：；
见答案．
根据平移的定义可知图向右、向上平移可以得到图；
将图形绕着点旋转后能与图形重合，可知旋转中心；
以为旋转中心，顺时针旋转得到关键顶点的对应点连接即可．
本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．
平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
22.【答案】；
设每件商品降价元，
根据题意得：，
解得：，，
符合题意，
舍去，
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
根据“平均每天可售出件，每件盈利元，销售单价每降低元，平均每天可多售出件，若降价元”，列出平均每天销售的数量即可；
设每件商品降价元，根据“平均每天可售出件，每件盈利元，销售单价每降低元，平均每天可多售出件，每件盈利不少于元”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于元的答案即可．
【解答】
解：根据题意得：
若降价元，则多售出件，
平均每天销售数量为：，
故答案为：；
见答案．
23.【答案】
【解析】解：共有，，，种不同的名著，从中任意选一种，选任意一种都是等可能的．
所以选中名著的概率是，
故答案为：；
甲、乙两位同学从，，，种不同的名著中任意选一种，所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中甲、乙两位同学恰好选同一种名著的有种，
所以甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率为．
根据概率的定义进行解答即可；
用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
24.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，平行四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
，
；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
图中长度等于的线段的线段是、、、．
【解析】根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，，，根据等边三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到；根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：设反比例函数的解析式为，
将的坐标代入，得．
反比例函数的解析式为．
将的坐标代入，得．
如图，设直线的解析式为，
把和代入上式，得：
，
解得：，
故直线的解析式为：，
，，
．
设点的坐标为，则，
．
，
．
解得，，
经检验，，是分式方程的根，
的坐标为或．
【解析】设反比例函数的解析式为，根据题意点坐标得出的值以及的值；
设直线的解析式为，求出直线的解析式，再利用，求出答案即可；
设点的横坐标为，则，，求出，得出关于的方程，求出即可．
本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线的解析式是解题关键．
26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌；
证明：如图，设与相交于点．
，
，
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，．
．
又
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，
此时≌．
，
，，
最大时，最小，，
，
由可知，是等腰直角三角形，
．
【解析】根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页
