2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学学业水平试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 抛物线的顶点( )
A. B. C. D.
6. 方程的解是( )
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8. 某型号的彩电连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 已知地球距离月球表面约为千米，那么用科学记数法表示为______ ．
12. 函数中，自变量的取值范围是______．
13. 计算： ______ ．
14. 因式分解： ______ ．
15. 不等式组的解集是______．
16. 已知反比例函数，同时经过点，，则 ______ ．
17. 不透明的袋子里装有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是______．
18. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为______．
19. 中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为______ 度
20. 如图，菱形的对角线、交于点，于点，连接，，，则菱形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
22. 本小题分
如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，方格纸中画有线段，，线段的端点、、、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中以为直角边画等腰直角三角形，点在小正方形顶点上；
在方格纸中以为边画出菱形，点、均在小正方形顶点上；
在和的条件下，连接，请直接写出线段的长．
23. 本小题分
某中学开展以“你今后想从事的职业”为主题的调查活动，围绕在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最想从事哪一类职业？必选且只选一类的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
本次调查共抽取了多少名学生？
通过计算补全条形统计图；
若该中学共有名学生，请你估计该中学最喜爱医生职业的学生有多少名？
24. 本小题分
如图，平行四边形，对角线、交于点，点在上，点在上，．
求证：；
如图，当，时，连接，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出与面积相等的四个三角形不包括．
25. 本小题分
某商场销售甲，乙两种小家电，其中销售台甲型和台乙型小家电共销售元；销售台甲型和台乙型小家电共销售元．
求甲，乙两种小家电每台各销售多少元？
该商场某天销售甲，乙两种小家电的总金额不少于元，其中甲型小家电销售了台，那么乙型小家电最少销售了多少台？
26. 本小题分
已知是的直径，是的切线，连接并延长，交于点，连接，．
如图，求证：；
如图，连接，交于点，且，求证：；
如图，在的条件下，，点是弧的中点，连接，，求的长．
27. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，连接，点为第四象限抛物线上一点，设点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，设线段的长度为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，连接交轴于点，点是中点，连接，，是轴上一点，且点，点是抛物线上一点，连接，，，求点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．分别对各项进行计算，找出正确的一项即可．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，可得到图形：
．
故选：．
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】
【解析】解：
，
抛物线顶点坐标为，
故选A．
由抛物线解析式可求得其顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线．
6.【答案】
【解析】解：方程两边同乘，得
，解得．
检验：时，故选C．
观察可得方程的最简公分母为，方程两边乘最简公分母可化为整式方程来解，再通过验根看是否是增根．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根，本题也可以采用逐一检验的方法．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后再利用圆周角定理可得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得出方程为：．
故选：．
根据降价后的价格原价降低的百分率，本题可先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是两次变化后的量，表示平均每次的增长率．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质和翻折变换，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由折叠的性质可得出的度数，由矩形的性质可得出，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．
【解答】
解：由折叠的性质可知：，
因为四边形为矩形，
所以，
所以．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意知：，，
，，，
，，中的结论正确，中结论错误，
故选：．
根据题意知，，可知相应的线段比例关系即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行线所截线段成比例，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定值是关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
分式的意义可知分母：就可以求出的范围．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据二次根式的加减运算法则计算．
本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查解一元一次不等式组，分组解答后，也可以通过数轴表示出公共部分即为该不等式组的解集．值得注意的是，在化系数为时，若遇到负号，要改变不等号的方向．分别求出每个不等式的解集，再找出它们解集的公共部分即可得出解集．
【解答】
解：不等式组
解式得：，
解式得：，
故该不等式的解集为：．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：将点代入解析式可得．
反比例函数为，
将代入得：．
故答案为：．
将点坐标代入函数解析式即可求得的值，然后代入点坐标即可得解．
本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
17.【答案】
【解析】解：不透明的袋子里装有个红球、个白球，
从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是：．
故答案为：．
用红球的数量除以球的总数量即可求得摸到红球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】
【解析】解：扇形的圆心角为，面积为，
由得：，
故答案为．
直接利用扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径即可．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
19.【答案】
【解析】解：，平分．
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记图形的性质与定理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
，
由菱形的性质可知，为的中点，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，即，
解得，舍去，
，，，
菱形的面积为，
故答案为：．
由，可得，由菱形的性质可知，为的中点，，则，，设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，则，即，解得，舍去，即，，，根据菱形的面积为，计算求解即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】先计算分式的除法，再算同分母分式的减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22.【答案】解：如下图：
即为所求；
菱形即为所求；
．
【解析】根据网格线的特点及等腰三角形的性质求解；
根据网格线的特点及菱形的性质作图；
根据勾股定理求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及菱形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：学生总人数为：名，
答：则本次共抽取了名学生．
教师人数为：人，
条形统计图如下：
该中学最喜爱医生职业的学生人数为：名，
该中学最喜爱医生职业的学生人数为名．
【解析】根据想成为演员的人数为占总人数的，即可求出总人数；
想成为教师的人数为：总人数，求出想成为教师的人数，补全统计图，即可；
先求出想成为医生的百分比，然后乘以，即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
≌，
．
解：四边形是平行四边形，且，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
根据解析可知，，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
即；
综上分析可知，、、、与面积相等．
【解析】首先根据平行四边形的性质以及平行线的性质证明，再根据证明≌即可求得结论；
证明四边形是矩形，得出，求出，得出，证明，得出，≌，得出，根据，得出．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识，正确掌握相关性质是解答本题的关键．
25.【答案】解：设甲型小家电每台售价元，乙型小家电每台售价为元．
根据题意，得，
解得；
答：甲型小家电每台售价元，乙型小家电每台售价元．
设乙型小家电销售了台，由题意得：
，
解得：，
所以最少是．
答：该商场最少销售了乙型小家电台．
【解析】设甲型小家电每台售价元，乙型小家电每台售价为元，根据“销售台甲型和台乙型共销售元；销售台甲型和台乙型小家电共销售元”即可列出关于、的方程组，解方程组即得结果；
设乙型小家电销售了台，根据销售，乙两种小家电的总金额超过了元即可列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围，进一步即可求出的最小值．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键．
26.【答案】证明：由半径知，，
，
，
．
解：连接、，，
是的切线，
，
由知，
，
是的直径，
，
，是等腰直角三角形．
设，则，
，
，
，
；
解：由知，，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，，
连接，
点是弧的中点，
，，
，
连接，则：，
又，，
≌，
．
【解析】等边对等角得到，进而得到，即可得证；
连接、，，易得，是等腰直角三角形．设，推出，即可得证；
证明≌，得到，连接，求出的长，证明≌，得到，即可得出结果．
本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
27.【答案】解：抛物线，过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
对于，令得：，
；
令得：，
解得：，，
．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴，
点横坐标为，代入直线，得：，即；
如图，取的中点，连接，
点为中点，
，，，
，即．
，，
，，．
，即，
，
．
点横坐标，轴，
点横坐标为，
，
．
，
≌，
，即，
解得：，
，．
，，
．
，
，即，
．
如图，过点作轴于，过点作于点，
，，
．
，
，
．
设，
，，
，
解得：，舍．
．
【解析】利用待定系数法求解即可；
由所求抛物线解析式可求出，，再利用待定系数法可求出直线的解析式为，结合题意即得出；
取的中点，连接，结合三角形中位线的性质可得出，，，由，，可求出，，再根据，代入数据即可求出，从而得出结合题意又可求出，即得出进而可证≌，得出，代入数据，即可求出的值，进而得出，由正切的定义得出，即证从而可证过点作轴于，过点作于点，易证由，可求出设，则，，则由，即可求出的值，即得出点坐标．
本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点坐标，三角形中位线的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质等知识，为中考压轴题．在解时正确作出辅助线是解题关键．
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