2023年安徽省合肥市包河区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在、、、这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 近年来，我国水利部大力实施农村供水工程建设，累计完成了农村供水工程投资亿元，解决了亿农村居民的饮水安全问题，数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 以下计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5. 五名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额如下单位：元：，，，，，这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
6. 某校开展“劳动创造美好幸福生活”演讲比赛，有位女同学和位男同学获得一等奖，要从这位同学中随机抽取一男一女两位同学做获奖感言，女同学陶梦和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 某景区统计年元月到月的游客人数，发现月份的游客人数是元月份的倍设、月份游客人数的平均增长率为，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 若，，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 已知：中，为边中点，过点的直线交延长线于，交于，记，，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知二次函数的最大值为，若，则下列结论错误的是( )
A. ， B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算 ______ ．
12. 分解因式： ______ ．
13. 如图，直线与半径为的相切于点，点在上，连接、，且，弦，则的长为______．
14. 在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处请完成下列问题：
______ ；
当时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
解不等式：．
16. 本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标不要求写出作法．
以为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为：；
以为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到．
17. 本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式用含的等式表示，并证明．
18. 本小题分
如图所示，已知，是一次函数图象与反比例函数图象的两个交点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
观察图象，当取何值时，．
19. 本小题分
如图，在一个坡度或坡比：的山坡上发现有一棵古树测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离米的点处，测得古树顶端的仰角古树与山坡的截面、点在同一平面上，古树与直线垂直，求古树的高度参考数据：，，
20. 本小题分
已知：如图，四边形是的内接四边形，直径交边于点，、的延长线相交于点连接，若．
求证：；
若，，求半径．
21. 本小题分
每年春天，茶叶庄园利用机器人进行茶叶采摘工作，然后按照叶片长度分类加工制成茶叶，为了解甲、乙两款机器人采摘茶叶的质量，分别随机抽取了茶叶做检测，获得了它们的茶叶长度单位：，并对样本数据茶叶长度进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
茶叶长度对应的茶叶等级如下：
茶叶长度
等级 三等品 二等品 一等品 二等品 三等品
说明：等级是一等品，二等品为优质茶叶其中等级是一等品为精品茶叶；等级是三等品的为一般茶叶．
甲款机器人采摘茶叶的样本数据的频数分布统计表如下不完整：
乙款机器人采摘茶叶的样本数据的频数分布直方图如下：
甲款机器人样本数据的频数分布表
分组 频数 频率
合计
两款机器人采摘的茶叶样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
甲机器人
乙机器人
根据以上信息，回答下列问题：
的值为______ ，的值为______ ．
若甲款机器人采摘茶叶，其中优质茶叶约有______ ，若乙款机器人采摘茶叶共，估计精品茶叶有______ ：
根据图表数据，你认为哪款机器人采摘茶叶的质量较好，并说明理由从某个角度说明推断的合理性
22. 本小题分
已知抛物线交轴于，两点，其中点的坐标为，对称轴为点，为坐标平面内两点，其坐标为，．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求的取值范围．
23. 本小题分
已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点．
求的长；
若，求证：；
若点在线段上不与、重合，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在菱形的边上，画出图形并求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
首先根据有理数大小比较的方法，把所给的四个数从大到小排列即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：数据亿，用科学记数法表示为．
故选：．
根据科学记数法的定义即可得．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．
本题考查了科学记数法，掌握将一个数表示成的形式，其中，为整数是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法法则等知识点，能熟记合并同类项服装、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则是解此题的关键，注意：幂的乘方，底数不变，指数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
4.【答案】
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】解：把，，，，从小到大排列为；，，，，，最中间的数是，
则中位数是，
出现了次，出现的次数最多，
则众数是，
故选：．
根据中位数和众数的定义，将数据从小到大排列，找出最中间的那个数即是中位数，出现次数最多的数是众数．
此题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
6.【答案】
【解析】解：女同学陶梦用表示，其他两位女生分别用、、男同学张军用表示，另外一位男生用表示，画树状图，如图所示：
共有种等可能的情况，其中选中女同学陶梦和男同学张军的情况数为一种，
他俩同时被抽中的概率为．
故选：．
根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
7.【答案】
【解析】解：设、月份游客人数的平均增长率为，元月份的游客人数为人，
由题意得，，即，
故选：．
设、月份游客人数的平均增长率为，元月份的游客人数为人，则月份的游客人数为，月份的游客人数为人，再根据发现月份的游客人数是元月份的倍列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
利用，变形出，将所求分式通分后，分子分母能够约去可得结果．
本题考查了分式的化简及求值，将含有、的幂变形出是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，作交于，
设，则，，
，
，，
又为中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故选：．
作交于，设，则，，先证≌，推出，再根据，得出∽，根据相似三角形对应边成比例可得，进而可得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造≌．
10.【答案】
【解析】解：，时，为最大值，即为对称轴，且开口向下．
，，
A正确；
B.，即判别式，，即时，．
最大值，即开口向下，最大随在轴上则抛物线与抽必有两个交点．，
B正确；
C.顶点坐标，
，
又，
，
C正确；
D.，
时，，对称轴，则时，，
此时和距离为，则抛物线与轴两，交点的距离大于，
，
错．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系解答即．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的加减运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案是：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接和，且与的交点为．
，
．
与相切，
，
又，
，即为直角三角形．
在中，，
，
．
故答案为：．
如图，连接与根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知；又，可知，最后解直角三角形可将的长求出．
本题主要考查切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在中，，
，
设，，
，
解得：，
；
故答案为：．
如图，交于，过点作交的延长线于，
，
，
是边的中点，
，
，
，
，
将沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的长度；
交于，过点作交的延长线于，因为是边的中点，，利用勾股定理求出，将沿直线翻折得到，可得到，可得到，结合，求出的长，即可得到最后结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，也考查了折叠的性质和解直角三角形，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造成比例线段是解答本题的关键．
15.【答案】解：，
，
，
，
．
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
16.【答案】解：如图
【解析】根据位似图形的概念，位似图形是一种特殊的相似，对应点的连线交于一点．
正确理解旋转的特点，位似的概念，能准确作图是关键．
17.【答案】
【解析】解：有题意可得：，
故答案为：；
，
左边，
右边，
左边右边．
根据前个等式得出第五个等式即可；
通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．
本题考查了数字类变化规律，掌握每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
18.【答案】解：把代入得：，
则反比例函数的解析式是：；
把代入，得：，
则的坐标是．
根据题意得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：；
观察图象，当或时，．
【解析】利用待定系数法即可求得函数的解析式；
一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是对应的一次函数的图象在反比例函数的图象的下方的自变量的取值范围．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：如图，设与交于，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
答：古树的高度约为米．
【解析】如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20.【答案】证明：连接，
与是同弦所对圆周角，
，
，
，
为的直径，为圆周上一点，
，
，
，
，即；
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
连接，由垂径定理得，
，
在中，，
设半径为，则有，
解得，，
半径为．
【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理以及解直角三角形，掌握相关的定理、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，，计算即可；
连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据正切的定义计算．
21.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
故答案为：，；
若甲款机器人采摘茶叶，其中优质茶叶约有：，
若乙款机器人采摘茶叶共，估计精品茶叶有：，
故答案为：；；
我认为甲款机器人采摘茶叶的质量较好，理由如下：
理由：甲款机器人采摘茶叶的质量的极差和方差都小于乙款机器人，产品的稳定性更好．答案不唯一．
根据题意和频数分布表中的数据，可以先求的的值，然后再求的值；
用乘甲样本中优质茶叶所占百分比即可；用乘乙样本中精品茶叶所占百分比即可；
根据频数分布直方图和分布表可以解答本题，注意本题答案不唯一，只要合理即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
22.【答案】解：抛物线对称轴为直线，
，
，
将点的坐标代入，解得，
，
抛物线的顶点为．
抛物线平移后的解析式为，
平移后的顶点坐标为，
当抛物线顶点落在上时，，解得，
当抛物线经过时，，解得，
当抛物线经过点，，解得，
时，满足题意．
综上所述，或．
【解析】由抛物线对称轴可得的值，代入即可得解析式，再对称轴代入解析式即可得顶点坐标．
抛物线向下平移过程中抛物线顶点落在直线上满足题意，分别求出抛物线经过点、点时的值，可得抛物线顶点在直线下方时的取值范围．
本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
23.【答案】解：四边形是菱形，，，，
，
，
证明：，，
，，
，，
，
∽，
，即，
，
，
．
解：如图，当点在边上时，延长交于点，
由折叠知，则，
由可知，
如图，当点落在边上时，
由折叠可知，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．
的长为或．
【解析】四边形是菱形，，，勾股定理求得，进而即可求解．
由，，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
如图，当点在边上时，延长交于点，，则，由可知，进而即可求解；当点落在边上时，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题关键．
第1页，共1页
