人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 单元复习题
一、选择题
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．全 B．面 C．发 D．展
2．如图，在 正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，内有一点到三个顶点的距离相等，连接、、，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接若，则的长为( )
A． B． C． D．
9．下列命题中，是真命题的有（ ）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A． B．
C．4 D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 .
12．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，MN垂直平分BC，点P为直线MN上一动点，则AP+BP的最小值是 .
13．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 ．
14．顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”．如图，是一个“黄金三角形”，，是的角平分线，延长到点，使得，则的度数为 ．
三、解答题
15．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E．已知的周长是24，的长是5．求的周长．
16． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
17．如图，与相交于点O，且 ，．求证：．
18．如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
四、综合题
19．如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，.
（1）若，求的周长等于 .
（2）若，求的度数
20．点与点在同一平面直角坐标系中．
（1）若点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若点与点关于轴对称，求线段的长度．
21．如图，在中，，，点在线段上运动不与，重合，连接，作，交线段于．
（1）当时， ， ；点从向的运动过程中，逐渐变 (填“大”或“小”)；
（2）当等于多少时，，请说明理由．
（3）在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：点O到△ABC三个顶点的距离相等，
，
，，
在中，，
，
故答案为：B.
【分析】由题意知OA=OB=OC，由等边对等角得∠CAO=∠ACO=15°，∠ABO=∠BAO=35°，则根据三角形内角和定理得∠OCB+∠OBC=80°，∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC），代入计算可得答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：①当70°角为等腰三角形的底角时，底角为70°；
②当70°角为等腰三角形的顶角时，底角=.
故底角为55°或70°.
故答案为：C.
【分析】由于70°角是锐角，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，需要分两类讨论：①当70°角为等腰三角形的底角时，②当70°角为等腰三角形的顶角时.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AD=BD，CD=CD，
∴△ACD≌△BCD，
∴结论①正确；
∵AC=BC，AD=BD，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AO=BO，AB⊥CD，
∴结论②③正确；
∵由题意无法判断 ，
∴结论④错误；
综上所述：正确结论的序号是①②③，
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定，线段的垂直平分线的判定与性质等证明求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到轴对称后的坐标，进而根据平移坐标的变化规律即可求解。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A和点B关于x轴对称，
∴b=-1，a=-3，
∴点C（-3，-1），
∴点C在第三象限.
故答案为：C
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可求出a，b的值，可得到点C的坐标，由此可得到点C所在的象限.
8．【答案】A
【解析】【解答】解： 在中，， ，
∴∠ABC=60°，
∵DE垂直平分AB，AD=2，
∴BD=AD=2，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠DBA=30°，
∵∠C=90°，
∴CD=BD=1；
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和求出∠ABC=60°，由线段垂直平分线的性质可得BD=AD=2，利用等边对等角可得∠DBA=∠A=30°，易得∠CBD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=BD，即得结论.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：全等三角形的对应边相等，故①正确；
有两个角为60°的三角形一定是等边三角形，故②正确；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故③错误；
等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线重合，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可判断①；根据等边三角形的判定定理可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据等腰三角形三线合一的性质可判断④.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点P作于T，过点C作于R，先结合，求出，再结合，可得，从而得解。
11．【答案】18cm
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，
∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）.
故答案为：18cm.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD＝CD，AE＝CE，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可得出答案.
12．【答案】8
【解析】【解答】解：如图，连接PC，设MN与AC交于点D
∵直线MN垂直平分BC，P为MN上一点，
∴BP=CP
∴AP+BP=AP+PC，
∴当P点与D点重合时AP+BP最小，此时AP+PC=AD+DC=AC=8
故答案为：8.
【分析】连接PC，设MN与AC交于点D，利用垂直平分线的性质可证得BP=CP，当P点与D点重合时AP+BP最小，此时AP+PC=AC，即可求解.
13．【答案】(-3，-1)
【解析】【解答】点A （-3，1）关于x轴的对称点的坐标是（-3，-1），
故答案为：（-3，-1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点可得答案。
14．【答案】/36度
【解析】【解答】解：由题意得AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵是的角平分线，
∴∠CBD=36°，
∵BD=ED，
∴∠E=∠CBD=36°，
故答案为：/36度
【分析】先根据等腰三角形的性质即可得到∠ABC=∠ACB=72°，再根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质即可求解。
15．【答案】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∵
∴的周长为14．
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再的周长公式及等量代换可得。
16．【答案】解：如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于x轴的对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ；
（2）如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于y轴对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ．
【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于x轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可；
（2）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可。
17．【答案】证明：在和中，
∴
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】根据SSS证明△ABD≌△DCA，利用全等三角形的对应角相等可得∠BDA=∠CAD，根据等角对等边可得OA=OD，结合AC=DB，利用等式的性质即可求解.
18．【答案】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示：
由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB，
∴PA+PB=AP+PE，
由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形，
∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m，
最短路程为：
PA+PB=AE
答：亮亮走的最短路程为．
【解析】【分析】 作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短，再利用勾股定理求出答案即可。
19．【答案】（1）9
（2）解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为.
【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到角两边的距离相等”可得AE=BE，AN=CN，于是三角形AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+CN可求解；
（2）在三角形ABC中，用三角形内角和定理可求得∠B+∠C的度数，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到角两边的距离相等”可得AE=BE，则∠EAB=∠B，同理可得∠NAC=∠C，再根据角的构成∠EAN=∠BAC-（∠EAB+∠NAC）∠BAC-（∠B+∠C）可求解.
20．【答案】（1）解：∵位于第四象限，
∴，
解得，
即的取值范围是；
（2）解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
由
解得，
由得，，
解得，
综上可知，，
此时，，
∴点，，
∴，
∴线段的长度为．
【解析】【分析】（1）根据第四象限点坐标的特征可得，再求出m的取值范围即可；
（2）根据关于y轴对称的点坐标的特征可得 ，， 求出m的值，再求出点P、Q的坐标，最后求出线段PQ的长即可。
21．【答案】（1）；；小
（2）解：当时，，
理由：，
，
又，
，
，
又，
；
（3）可以，的度数为
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°-25°=115°，
当点D位于B点时，三点共线，为180°，
∴点从向的运动过程中，逐渐变小；
故答案为：25；115；小
（3）可以，的度数为，理由如下：
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA=70°，
∵∠DEA为△CDE的外角，
∴∠EDC=30°，
∴∠BDA=180°-40°-30°=110°
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得到∠EDC的度数，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠B=∠C=40°，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
（3）可以，的度数为，先根据等腰三角形的性质即可得到∠DAE=∠DEA=70°，再根据三角形外角的性质结合题意即可求解
