2022-2023学年河南省周口市太康县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果把中的与都扩大到原来的倍，那么这个代数式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍
2. 中国芯是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片目前最强的芯片制造企业是中芯，当前对外公开的，已经量产的工艺是，年就已经量产了其中就是纳米米，请将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在 中，平分，，交边于点，且，则的长为( )
A. B. C. D.
4. 正比例函数和一次函数为常数，且的图象交于点，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在四边形中，，，过四边形的对角线的交点，交于点，交于点，则下列结论不正确的是( )
A. 四边形是平行四边形 B.
C. 的周长比的周长大 D. 四边形是菱形
6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，如图，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应．( )
A.
B.
C.
D.
7. 为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
8. 如图，在矩形中，，，过对角线交点作，交于点，交于点，的长是( )
A.
B.
C.
D.
9. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
10. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在 中，若，则 ______ ．
12. 如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：______ ，可使它成为正方形．
13. 一组数据为，，，，，，，唯一众数是，平均数是，则这组数据的中位数是______ ．
14. 如图，在菱形中，，，延长至点，使，现以点为圆心，以为半径画弧，与直线交于点，则的长为______ ．
15. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则其中正确结论的有______ 填写正确结论的序号
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
解方程：．
17. 本小题分
如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足．
求证：四边形为平行四边形；
若平分，，，求长．
18. 本小题分
学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
此次竞赛中，一班成绩在级以上包括级的人数为______ ；
将表格补充完整．
班级成绩 平均数分 中位数分 众数分
一班 ______ ______
二班 ______
请根据你在中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
19. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，其中．
求一次函数解析式；
若，求反比例函数解析式．
20. 本小题分
如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，矩形的对角线、交于点，过点作，且，连接，判断四边形的形状并说明理由．
如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
22. 本小题分
【问题提出】
学行四边形的判定方法即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形中，，然后，对和进行分类，可分为“和是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图，当时，求证：四边形是矩形．
第二种情况：如图，当时，求证：四边形是平行四边形．
第三种情况：如图，当时，小明同学研究后认为四边形不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
23. 本小题分
如图，点是反比例函数位于第二象限的图象上的一个动点，过点作轴于点；为是线段的中点，过点作的垂线，与反比例函数的图象及轴分别交于、两点．顺次连接、、、设点的横坐标为．
求点的坐标用含有、的代数式表示；
求证：四边形是菱形；
若的面积为，当四边形是正方形时，求直线的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若与都扩大为原来的倍，
则，
扩大为原来的倍，
故选：．
把中的与都扩大为原来的倍，根据分式的基本性质化简即可判断．
本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，要熟练掌握，注意弄清楚分子、分母的变化情况．
2.【答案】
【解析】解：；
故选：．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握用科学记数法的表示绝对值小于的数的方法：，，是整数，为第一个不为的数的前面的的个数，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．
证明是等腰三角形，再根据，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，熟练运用性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：把代入，得，
解得，
，
把的坐标代入得，，
解得，
，
当时，．
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，即可利用待定系数法求得的值，然后观察函数图得到当时，的图象都在直线的上方，由此得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故A结论正确，不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
；故B正确，不符合题意，
，
的周长，的周长，
的周长的周长，所以C正确，不符合题意；
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
不一定垂直，
四边形不一定是菱形．
故D不正确；符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定可得A正确，，根据全等三角形的性质得到；由三角形的周长可得出C正确；由菱形的判定可得出不正确．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，
图象过，
，
解得，，
，
在第一象限内随的增大而减小，
当时，，
故选：．
由题意得与成反比例，设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，代入，求出解析式，由，求出的范围即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
7.【答案】
【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为，，，，，
出现次数最多的数是，所以众数为，
位于中间位置的数是，所以中位数是，
平均数为．
故选：．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
故选：．
连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：甲：由作图可知，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
是平行四边形；
乙：由作图可知，平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，
，，
是平行四边形；
故选：．
根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可．
本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
利用正方形的性质结合三角形全等求得及，再由三角形外角求得．
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟悉正方形的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由于四边形是菱形，
如果，
那么四边形是正方形．
故答案为：．
根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．
本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．
13.【答案】
【解析】解：众数为，
可设，，未知，
平均数，
，
将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，，，，
位于最中间的一个数是，所以中位数是，
故答案为：．
由于众数为，表示的个数最多，因为出现的次数为两次，所以的个数最少为三个，则可设，，中有两个数值为，另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：如图，当点在的延长线上时，连接，过点作于点，于点，
四边形为菱形，
，
，
和都是等边三角形，
，，
又，，
，
由作图可知，
≌，
，
，
，
≌，
，
；
如图，当点在的延长线上时，同理可得出≌，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况，当点在的延长线上时，连接，过点作于点，于点，由菱形的性质及全等三角形的性质可得出答案；如图，当点在的延长线上时，同理可得出≌，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故正确；
，
，
；故正确；
由菱形的面积可得，故不正确，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故正确；
综上所述：正确的结论是．
故答案为：．
根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断，进而根据等边对等角即可判断，根据菱形的性质求面积即可求解．判断，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含度角的直角三角形的性质可得，由即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
16.【答案】解：
；
，
，
方程两边乘以得，
，
，
，
，
检验：当时，，
是增根，舍去，
原分式方程无解．
【解析】根据分式运算法则计算即可；
先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可．
本题主要考查了分式的加法运算，分式方程的解法，解分式方程时注意要检验．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
【解析】由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：一班成绩在级以上包括级的人数为人，
故答案为：；
平均数分 中位数分 众数分
一班
二班
选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好答案不唯一．
根据条形图即可得出答案；
分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
只要答案符合题意即可．答案不唯一
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用．
19.【答案】解：，
，
，
将，代入得，
解得，
一次函数解析式为；
如图所示，过作于点．
，，
，
，即，
点在直线上，
，解得，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数解析式为．
【解析】由题意，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
由，求得的纵坐标，进一步求得点的坐标，代入求得的值，从而求得反比例函数解析式．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，求得点的坐标是解决本题的关键．
20.【答案】解：四边形为菱形，理由如下：
四边形为矩形，
，
，
为中点
，
，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
设的长度为，
由得四边形为菱形，
，
四边形为矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的长度为．
【解析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
设的长度为，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
21.【答案】解：四边形的形状是菱形，
理由是：四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
四边形的形状是矩形，
理由是：四边形是菱形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
四边形的形状是正方形，
理由是：四边形是正方形，
，，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是正方形．
【解析】根据矩形的性质得出，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
根据菱形的性质得出，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
根据正方形的性质得出，，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；
本题考查了矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
22.【答案】证明：如图，连接，
在和中，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
证明：如图，分别过点、作交的延长线于点，交的延长线于点，
则．
，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是矩形，
，
即，
，，
四边形是平行四边形；
解：如图，以为圆心，为半径作弧，交于，以为圆心，为半径作弧交以为圆心，为半径的弧于，
则≌，
，
而四边形不是平行四边形．
【解析】连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
分别过点、作交的延长线于点，交的延长线于点，证明≌，得到，，证明结论；
以为圆心，为半径作弧，交于，以为圆心，为半径作弧交以为圆心，为半径的弧于，根据图形证明结论．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：当时，，
由题意知，是的中垂线，
点的纵坐标为．
把代入得，
证明：，轴，
轴，由知，，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
又，
平行四边形是菱形．
当四边形是正方形时，为等腰直角三角形．
，
的面积为，
，
．
，，
，．
设直线的解析式为，
，
，
直线的函数表达式为．
【解析】由点在双曲线上，确定出坐标，进而得出点的纵坐标，即可得出结论；
由得到的点，，的坐标判断出，结合，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论；
由结合求出点，坐标，利用待定系数法求解即可．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题关键是用，表示出点，，，的坐标．
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