2022-2023学年福建省龙岩市一级校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点在平面上的投影为点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
3. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点在棱上，且满足，设，，，则( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8. 若指数函数且与函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知空间中三点，，，则( )
A.
B. 与方向相反的单位向量的坐标是
C.
D. 在上的投影向量的模为
10. 已知函数，则( )
A. 在上是减函数
B. 在定义域内无零点
C. 的单调递增区间为和
D. 的极小值小于极大值
11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体如图中每个正方体的棱长为，则( )
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的余弦值为
12. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，且与互相垂直，则 ______ ．
14. 若函数没有极值，则实数的取值范围是 ．
15. 我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线的三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为根据上述知识解决问题：现有一三脚架三条脚架可看为三条边，它们的交点为顶点放于桌面，建立合适的空间直角坐标系，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面的方程为，若三脚架顶点的坐标为，则点到平面的距离为______ ．
16. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求在上的最大值和最小值．
18. 本小题分
如图，在直四棱柱中，侧棱的长为，底面是边长为的正方形，是棱的中点．
证明：平面；
求二面角的正切值．
19. 本小题分
二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元已知在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，每件产品售价元通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式年利润年销售收入年固定成本流动成本
年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
20. 本小题分
如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点．
证明：平面；
是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的正弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长．
21. 本小题分
已知函数在点处的切线与直线：平行．
求切线的方程；
判断在上零点的个数，并说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
，
设曲线在点处的切线的倾斜角为，
则，得．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，得到切线的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于直线的斜率求解．
本题考查导数的几何意义与应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：若点在平面上的投影
由，
故选：．
求出，再用两点间的距离公式求出．
考查空间点的坐标，两点间的距离公式，基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．
求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．
【解答】
解：函数，
，
故当时，，函数为减函数，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的线性运算，中线向量，属于基础题．
直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【解答】
解：在三棱锥中，点在棱上，且满足，设，，，
故，，
所以，
由点为棱的中点，
所以，
故．
故本题选B．
5.【答案】
【解析】解：的定义域为，，
又在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，且当时，显然符合题意，
，即实数的取值范围为．
故选：．
根据单调性可知在上恒成立，分离变量可得在上恒成立，根据二次函数性质可求得的最大值，由此可得的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了二次函数的性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，则，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系．
设，则，易知平面，则直线与平面所成的角为，得，得，则，．
则，，，，
所以，，
则，故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，由直线与平面所成的角的正弦值得，计算，得异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线的夹角，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：不等式，
构造函数，
，，
，
函数在上是增函数，又，
不等式看化为，
由函数单调性可知．
故选：．
不等式，构造函数，求其单调性可解决此题．
本题考查导数应用，考查数学运算能力，属于难题．
8.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，且在上，，在上，．
当时，在上单调递减，且，
所以两个函数的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，在上单调递增，且，
所以只能是在上，函数与的图象有两个交点，
所以在上，方程有两个不等实数根，
即在上，方程有两个不等实数根．
令，则，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
所以，所以，所以．
故选：．
结合与的图象，分析两函数恰有两个交点的情况，再把交点问题转化为方程的根，结合图象可求得．
本题考查指数函数与幂函数的图象和性质，函数图象交点与方程根的关系，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，，
，，
，，故A正确；
对于，，
与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；
对于，，，，
，，
与不平行，故C错误；
对于，，，，
，，
，，
在上的投影向量的模为，故D错误．
故选：．
根据空间向量数量积的坐标公式，结合投影向量的定义，逐一判断各个选项即可．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，得．
当时，，当时，，
的增区间为，，减区间为，
又，，
的大致图象如：
由图可知，在上不单调，故A错误；
在定义域内无零点，故B正确；
的单调递增区间为和，故C正确；
的极小值大于极大值，故D错误．
故选：．
利用导数研究函数的单调性，并求得极值，作出图象，数形结合得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：，故A错误，
连接，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等．
则就是所求的线面角，
则，，，
则，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则在向量上的投影向量长度为，
则点到直线的距离，故C正确，
，，，
即异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．
故选：．
A.利用空间向量加法法则进行化简．
B.根据线面角的定义进行求解即可．
C.建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解．
D.求出向量坐标，利用向量法求异面直线所成的角．
本题考查空间点和直线之间的夹角，距离的计算，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：原式变形为，
即，
构造函数，
则，，
当时，，，则，即，
当时，，，则，即，
故在上单调递减，在上单调递增．
对于，取，则，
在上单调递增，
，即满足题意，但，A错误；
对于，若，，在上单调递增，且，
，则，B正确；
对于，若，则有当，即时，显然成立，
当，即时，令，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，即，
由可得，即，
又在上单调递增，且，，
，即，C正确；
对于，取，则，
在上单调递减，
，
，满足题意，但错误．
故选：．
根据题意，构造函数，得到在上单调递减，在上单调递增．
对于，取，即可判断正误；
对于，，，结合单调性，即可判断正误；
对于，若，令，结合基本不等式与单调性，即可判断正误；
对于，取，即可判断正误；
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量 ，，
所以 ，．
因为与 垂直，所以，
所以，
解得：．
故答案为：．
利用空间向量垂直列方程直接求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
因为没有极值，，
所以，
解得．
故答案为：．
求导，运用判别式计算．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：平面的方程为，平面的法向量，
，则在平面上，
的坐标为，
，
则点到平面的距离，
．
故答案为：．
根据平面方程得到平面的一个法向量，然后任意取平面内的一个点，利用点到平面的距离公式进行求解即可．
本题主要考查空间点到平面的距离的计算，根据条件求出平面的法向量和一个点的坐标是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以可化为：
，
设，则，
在上单调递增，
因为，所以，，，
所以可化为，所以，
在上恒成立，
，，
设，，则，
令，得；，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即的最小值为．
故答案为：．
根据题意可得，再构造，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．
本题考查利用函数的单调性化简恒成立问题，参变量分离求解恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：因为，
所以．
依题意得，，即．
解得，，经检验，，符合题意．
由可知，．
令，得舍去，．
当在上变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
又，
所以在上的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，可得依题意得，，解出即可得出．
由可知，令，得，当在上变化时，求得，的变化情况，即可得出最值．
18.【答案】解：以点为原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，是棱的中点，
，
设平面的一个法向量为，
则，
，，
，又平面，平面；
平面的一个法向量为，
，，，
二面角的正切值为．
【解析】建系，求出平面的一个法向量，，通过数量积为，推出平面；
建系，求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，向量法求解二面角问题，属中档题．
19.【答案】解：当，，当，，
所以
当，，令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以当，，
当，，
当且仅当，即时取等号，
综上，当年产量为万件时，每年获利润最大，为万元．
【解析】列出利润关于产量的关系式，分析利润最大时的情况即可．
本题主要考查分段函数的建立及最值得求取，属中档题．
20.【答案】证明：由题意，，，两两垂直，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为，所以，
理可得因为，平面，且，
所以平面．
解：存在点．满足条件，理由如下：
由题意，平面，所以平面的一个法向量为，
因为，所以，，
设平面的一个法向量为．
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
依题意得，所以，
则，，
整理得解得，
所以存在点．满足条件．
【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，利用向量法可证平面；
求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法可得结论．
本题考查线面垂直的证明，考查利用二面角的正弦值确定点的位置，属中档题．
21.【答案】解：，
所以切线的斜率，
由题意，可得，解得．
所以，所以，
所以切线的方程为，即．
由知，所以，
由，可得，
令，则，
当时，，，
所以，所以在上单调递增，
又因为，所以在上无零点．
当时，令，则，
所以在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以在上且只有一个零点，
综上所述，在上有且只有一个零点．
【解析】对求导，然后利用垂直关系求实数的值，再求出切线的方程；
利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，讨论函数的零点个数即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：由已知，的定义域为，．
当时，，恒成立，
此时在区间上单调递增．
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
证明：若函数有两个零点，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
当时，，当时，，
，，，
又，，
只需证明，即有．
下面证明，
设
，
，则，
令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
，在区间上单调递增，
又，．
，
，，而，，
在区间上单调递减，
，即，原命题得证．
【解析】求导，分当和两种情况，讨论单调性即可；
若函数有两个零点，，只需证明，即有构造函数证明即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
第1页，共1页
