作业20：轴对称（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
2．如图，在中，，，则下列结论中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
4．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（ ）
A．22015 B．22016 C．2016 D．4032
5．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形底边长为8厘米，一腰上的中线将三角形分成两部分，其中一部分比另一部分周长长2厘米，则腰长为（ ）
A．10厘米 B．6厘米 C．5厘米或10厘米 D．6厘米或10厘米
7．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤三角形，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
8．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
9．下列判断正确的有（ ）．
（1）成轴对称的两个图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分；（2）成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等；（3）成轴对称的两条线段必在对称轴的异侧；（4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN//BC交射线AC于点N，连结BN．若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点'的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
13．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
14．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAC＝5∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
16．点关于轴的对称点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
17．如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝7，则△PAE周长的最小值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．7+12
18．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三边垂直平分线 B．三个内角角平分线 C．三条中线 D．三条高
19．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
20．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对称线段是CA'，连结BB'，若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝___度．
22．如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______．
23．△ABC在如图所示的直角坐标系中，写出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'中点A，B关于y轴的对称点A'，B'的坐标分别是________．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，点B(-4，0)，直线l经过点A且与x轴垂直．若点B关于y轴的对称点是B1，点B1关于直线l的对称点是B2，则点B2的坐标是________．
25．如图所示，在中，，，，为上一动点不与、重合，作于点，于点，连接，则的最小值是______．
26．一艘快艇的航线如图所示，从港出发，1小时后到达地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完这段路程的时间为______小时．
27．内部有一点P，，点P关于的对称点为M，点P关于的对称点为N，若，则的周长为___________．
28．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则___________．
29．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= ，则BC=________．
30．在平面直角坐标系中，若点，则点关于轴的对称点的坐标为________．
31．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__．
32．如图，，AD∥BC，，则的度数是_________．
33．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为4m，则扶梯的长度是__m．
34．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于__．
35．在平面直角坐标系中，点M(a，b)与点N(3，﹣1)关于x轴对称，则的值是_____．
36．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．
37．等腰三角形有一个内角为，那么它的顶角的度数为 _____．
38．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．
39．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．
40．如图，，，则等于_________________．
三、解答题
41．如图，在中，，，平分，交于点D，E为中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
42．如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E．
(1)若，则的周长是多少？为什么？
(2)若，求的度数．
43．按要求完成作图．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P的点的坐标：
44．已知点P(a+1，2)关于y轴的对称点为Q(3，b-1)，求(a+b)2021的值．
45．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．
46．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG．求证：△MNG是等边三角形．
47．如图，中，点是与的平分线的交点，过作与平行的直线分别交、于、． 已知的周长为15，的长为6，求的周长．
48．如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，CD、BE相交于点P．
（1）用全等三角形判定方法证明：BE＝DC；
（2）求∠BPC的度数；
49．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
50．如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形．AN，BM，相交于点O，AN，CM，，交于点P，BM，CN，交于点Q，连接PQ．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：
51．如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：．
52．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：ABE≌DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
53．已知：如图ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，
求证：（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF=BE+CF．
54．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，AB的垂直平分线交恩BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．求证：BM=MN=NC．
55．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB＋PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA=QC．
56．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长．
57．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
58．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．
59．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
60．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业20：轴对称（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．
2．如图，在中，，，则下列结论中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵，，
由等腰三角形三线合一可得：，，
由等边对等角可得：，
而和不一定相等，
故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，利用三角形全等的判定定理和性质可得出，即可得出选项．
【详解】解∵在中，点O是的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB，OF⊥AC，
∴，，故A、B选项成立；
，，，
在△AOD与△AOF中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，
∴，
∴，故D选项成立，
故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线、线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握这些基本性质和定理是解题关键．
4．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（ ）
A．22015 B．22016 C．2016 D．4032
【答案】A
【分析】由题意根据等边三角形的性质和∠MON=30°，可求得∠OB1A2=90°，可求得A1A2=2OA1=2，同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn-1=…=2n-1OA2=2nOA1=2n，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，进而即可得出答案．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A2=90°，可求得A1A2=2OA1=2，
同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn-1=…=2n-1OA2=2nOA1=2n ，
在△OBnAn+1中，∠O=30°，∠BnAn+1O=60°，
∴∠OBnAn+1=90°，
∴BnAn+1= OAn+1= ×2n=2n-1 ，
即△AnBnAn+1的边长为2n-1 ，
∴△A2016B2016A2017的边长为22016-1=22015 ，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键．
5．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
6．等腰三角形底边长为8厘米，一腰上的中线将三角形分成两部分，其中一部分比另一部分周长长2厘米，则腰长为（ ）
A．10厘米 B．6厘米 C．5厘米或10厘米 D．6厘米或10厘米
【答案】D
【分析】设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则可得，从而得方程，即可求得x．
【详解】设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米，
由题意得：
即
∴或
解得：或
即等腰三角形的腰长为6厘米或10厘米
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含绝对值的方程，要注意的是：两个三角形的周长的差为2，实质是腰与底边的差的绝对值为2．
7．下列图形：①两个点；②线段；③角；④长方形；⑤三角形，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断题中图形是否为轴对称图形，如果至少能找出一条对称轴，则为轴对称图形，否则不是轴对称图形.
【详解】轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；可以尝试找出各个图形的对称轴；
①两个点的对称轴：把这两个点连结构成一条线段，然后再画出线段的垂直平分线即为这两个点的对称轴，这两个点所在的直线也是这两个点的对称轴；
②线段的对称轴：线段的垂直平分线以及该线段所在的直线都是这条线段的对称轴；
③一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线；
④长方形有两条对称轴；
⑤三角形：等腰三角形有对称轴，而边长无特殊关系的三角形没有对称轴，所以三角形不一定是轴对称图形；
①②③④是轴对称图形，⑤不是轴对称图形；
故选C.
【点睛】本题要求学生牢记轴对称图形的定义，并学会找出轴对称图形的对称轴.
8．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
【答案】D
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
【详解】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：4x＝180，
解得：x＝45，
此时∠C＝∠B＝45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，
即5x＝180，
解得：x＝36°，
此时∠C＝∠A＝72°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大．
9．下列判断正确的有（ ）．
（1）成轴对称的两个图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分；（2）成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等；（3）成轴对称的两条线段必在对称轴的异侧；（4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质：（1）关于某直线对称的两个图形是全等的；（2）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线 段或延长线相交那么交点在对称轴上；（4）两个图形的若干对对应点连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，进行逐一判断即可．
【详解】解：（1）成轴对称的两个图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分，此说法正确；
（2）成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等，此说法正确；
（3）成轴对称的两条线段在对称轴的异侧或相交于一点，此说法错误；
（4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，此说法正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质进行求解．
10．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN//BC交射线AC于点N，连结BN．若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】B
【分析】分①当M在AB上时，②当M在AB的延长线上时，分别作图讨论，根据等腰三角形与角平分线的性质分别求解即可判断．
【详解】解：①当M在AB上时，
∵MN//BC，
∴∠BMN=180°-∠ABC=180°-50°=130°，
∵MN=MB，
∴∠MBN=∠BMN= ，
②当M在AB的延长线上时，
∵MN//BC，
∴∠BMN=∠ABC=50°，
（ⅰ）当BM=BN，如图，
∠MNB=∠BMN=50°，
（ⅱ）当NM=NB时，如图，
∠MNB=；
故答案为：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点'的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为：；
故选择：D．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
13．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．
【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．
【详解】点关于y轴的对称点的坐标是
故选：C．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAC＝5∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根据直角三角形的性质得出∠C＋∠BAC＝90°，求出x即可．
【详解】解：设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝5x° x°＝4x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C＋∠BAC＝90°，
∴4x＋5x＝90，
解得：x＝10，
即∠C＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
16．点关于轴的对称点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得．
【详解】解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变，
则点关于轴的对称点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键．
17．如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝7，则△PAE周长的最小值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．7+12
【答案】C
【分析】过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上，利用对称的性质以及两点之间线段最短，可知当时，即点P在AF上，此时AP+PF的值最小，则AP+PE最小，则周长的最小值，再利用勾股定理求值即可．
【详解】解：过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上．连接AP，PF．
∵四边形ABCD是正方形，即点E和点F关于BD对称，
∴，
∴当，即点P在AF上，此时AP+PF=AP+PE的值最小，
∴此时周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为12， AE＝7，
∴
∴由勾股定理得：，
∴的周长的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键．
18．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三边垂直平分线 B．三个内角角平分线 C．三条中线 D．三条高
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
19．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
20．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质，逐步推出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
二、填空题
21．如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对称线段是CA'，连结BB'，若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝___度．
【答案】28°
【分析】根据对称性可判断出BB'⊥AC，先求出∠BAC＝34°，再根据对称的性质判断△A'CB≌△ACB，最后根据∠ACA'＝2∠ACB即可求解．
【详解】解：连接BA'，AC与BB'交点为O，
∵CB关于CA的对称线段是CB'，
∴BB'⊥AC，
∵∠ABB'＝56°，
∴∠BAC＝34°，
∵边CA关于CB的对称线段是CA'，
∴△A'CB≌△ACB，
∴∠BA'C＝∠BAC＝34°，
∴∠ACA'＝2∠ACB＝56°，
∴∠ACB＝28°，
故答案为28°．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】解：∵AB=AC，是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．
23．△ABC在如图所示的直角坐标系中，写出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'中点A，B关于y轴的对称点A'，B'的坐标分别是________．
【答案】(-2，4)，(3，-2)
【分析】先读出点A、点B在坐标系中的坐标，然后根据关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）即可得出解．
【详解】解：∵点A（2，4），点B（-3，-2），
∴点A、B关于y轴对称点A'、B'的坐标分别为：（-2，4），（3，-2）．
故答案为：（-2，4）、（3，-2）．
【点睛】题目主要考查点在坐标系中的轴对称性质，理解关于y轴对称点的特点是解题关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，点B(-4，0)，直线l经过点A且与x轴垂直．若点B关于y轴的对称点是B1，点B1关于直线l的对称点是B2，则点B2的坐标是________．
【答案】(-2，0)
【分析】根据网格结构找出点B关于y轴的对称点B1，再找出点B1关于直线l的对称点B2的位置，然后写出坐标即可．
【详解】解：∵直线l过点A且与x轴垂直，
∴直线l的解析式为x=1．
点B（-4，0）关于y轴的对称点为B1（4，0），
如图所示，点B1关于直线l的对称点为B2（-2，0）．
故答案为：（-2，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握数轴与网格结构，准确确定出对称点的位置是解题的关键．
25．如图所示，在中，，，，为上一动点不与、重合，作于点，于点，连接，则的最小值是______．
【答案】
【分析】连接，由勾股定理求出的长，再由矩形的判定与性质求出，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，再根据面积法求解即可．
【详解】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，以及面积法求线段的长，熟练掌握矩形的判定与性质是解答本题的关键．
26．一艘快艇的航线如图所示，从港出发，1小时后到达地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完这段路程的时间为______小时．
【答案】2
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，根据题意可得∠AOB=90°，∠OBA=30°，
∴AB=2AO，
∵从O到A行驶了1小时，
∴保持速度不变，从A到B行驶的时间为2小时，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质．
27．内部有一点P，，点P关于的对称点为M，点P关于的对称点为N，若，则的周长为___________．
【答案】15
【分析】根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出的周长．
【详解】解：根据题意可画出下图，
∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．
∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．
∴∠MON=2∠AOB=60°．
∴为等边三角形。
△MON的周长=3×5=15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了轴对称的性质及相关图形的周长计算，根据轴对称的性质得出∠MON=2∠AOB=60°是解题关键．
28．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则___________．
【答案】/80度
【分析】由在中，的垂直平分线分别交于E、F，易得，，又由，可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交于E、F，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用是解此题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= ，则BC=________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE= ，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2 ，
∴BC=CD+BD= +2 =3 ．
故答案为：3 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
30．在平面直角坐标系中，若点，则点关于轴的对称点的坐标为________．
【答案】（-5，-3）
【分析】根据“关于轴的对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】点关于轴的对称点的坐标为（-5，-3），
故答案为：（-5，-3）．
【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握并灵活运用是解题关键．
31．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__．
【答案】/度
【分析】如图，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
32．如图，，AD∥BC，，则的度数是_________．
【答案】50°
【分析】根据等腰三角形等边对等角知，利用平行线的性质知，通过等量代换，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴，
又∵，
∴（两直线平行，内错角相等），且，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查等腰三角形与平行线的综合，难度不大，熟练掌握等腰三角形以及平行线的性质是顺利解题的关键．
33．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为4m，则扶梯的长度是__m．
【答案】8
【分析】根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵自动扶梯，其倾斜角为30°，高为4m，
则扶梯的长度是2×4＝8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
34．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于__．
【答案】3cm
【分析】根据垂直平分线的性质定理，求得BE＝AE＝6cm，∠EAB＝∠B＝15°，利用三角形内角和分别求得∠BAC、∠AEC的度数，再在Rt△AEC中，应用30°角的性质求得线段长度．
【详解】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴ACAE6cm＝3cm，
故答案为：3cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、三角形内角和定理，熟练掌握性质并应用是关键．
35．在平面直角坐标系中，点M(a，b)与点N(3，﹣1)关于x轴对称，则的值是_____．
【答案】1
【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
∴＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
36．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．
【答案】18
【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
37．等腰三角形有一个内角为，那么它的顶角的度数为 _____．
【答案】或
【分析】等腰三角形有一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为；
当为底角时，顶角．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
38．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．
【答案】130°．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．
【详解】∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.
39．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．
【答案】32°
【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC （∠BAE＋∠CAN）解答即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝180° 106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC （∠BAE＋∠CAN）＝106° 74°＝32°．
故答案为32°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
40．如图，，，则等于_________________．
【答案】45°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠CBD=∠A+∠BCA=30°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠ECD=∠A+∠CDB=15°+30°=45°，
故答案为45．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
41．如图，在中，，，平分，交于点D，E为中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)54°
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵平分，
∴，，
∴，
即是等腰三角形；
（2）∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键．
42．如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E．
(1)若，则的周长是多少？为什么？
(2)若，求的度数．
【答案】(1)10；理由见解析
(2)
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可；
（2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可．
【详解】（1）的周长为10．
∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
43．按要求完成作图．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P的点的坐标：
【答案】（1）见解析；（2）P点坐标为(-3，0)，作图见解析
【分析】（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，即可；
（2）确定出点A关于x轴的对称点的位置，然后连接，根据轴对称确定最短路线问题，与x轴的交点即为所求的点P．
【详解】解：（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，则即为所求，如图所示：
（2）点A关于x轴的对称点，则
由三角形三边关系可得，当三点共线时，，此时最小，
由图形可得：，
则
设直线的解析式为，代入、得
，解得，即
令，解得，
∴点P的坐标为(-3，0)
x轴上使PA+ PC最小的点P，点P的坐标为(-3，0)，如图所示．
【点睛】此题考查了轴对称作图，以及轴对称的性质，涉及了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
44．已知点P(a+1，2)关于y轴的对称点为Q(3，b-1)，求(a+b)2021的值．
【答案】(a+b)2021=-1
【分析】根据关于y轴对称点的特征确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：因为点P(a+1，2)关于y轴的对称点为Q(3，b-1)，
所以a+1=- 3，b- 1=2，
解得a=-4，b=3，
所以(a+b)2021=(-4+3)2021=(-1)2021=-1．
【点睛】此题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
45．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．
【答案】见解析
【分析】连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据AB=AC，求出，，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．
【详解】证明：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接求出．
46．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG．求证：△MNG是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】由△ABC为等边三角形，∠ABC=60°，求出∠M，∠N，∠G的值即可解决问题．
【详解】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等知识，解题的关键是熟练掌握相关的基本知识．
47．如图，中，点是与的平分线的交点，过作与平行的直线分别交、于、． 已知的周长为15，的长为6，求的周长．
【答案】
【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到 ，所以同理
，利用等线段代换得到的周长 ，然后
利用的周长为得到，从而得到的周长．
【详解】解：如图，
点是与的平分线的交点，
，
，
，
，
，
同理可得，
的周长
，
的周长为，
，
而的长为，
，
的周长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定
三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
48．如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，CD、BE相交于点P．
（1）用全等三角形判定方法证明：BE＝DC；
（2）求∠BPC的度数；
【答案】（1）证明见详解；（2）∠BPC=120°．
【分析】（1）先由∠DAB＝∠EAC，可得∠DAC=∠BAE，再证△DAC≌△BAE（SAS）即可；
（2）先证明△DAB是等边三角形，可得∠ADB=∠DBA=60°，由△DAC≌△BAE，可得∠ADC=∠ABE，根据三角形外角性质∠BPC=∠PBD+∠PDB即可．
【详解】（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）解：∵AD＝AB，∠DAB＝60°
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBA=60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∠BPC是△DBP的外角，
∴∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ABE+∠ADB-∠ADC=60°+∠ABE+60°-∠ABE=120°．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
49．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线a的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求．
（2）用△ABC所在的矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解．
（3）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）=2×2-×1×2×2-×1×1=．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
【点睛】考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
50．如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形．AN，BM，相交于点O，AN，CM，，交于点P，BM，CN，交于点Q，连接PQ．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）先证出，再由证明，即可得出；
（2）由得出，再证出，即可得出结果；
（3）由、是等边三角形，可得，根据（2）可知：，则可证，可得，是等边三角形，得到，可证．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
（3）∵、是等边三角形，
∴
∴
∴，
由（2）可知：
在和中
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
51．如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可．
【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B，
∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，
即∠BAF＝∠ACF．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
52．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：ABE≌DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据对顶角相等再结合已知条件即可利用ASA证明全等；
（2）由（1）中全等可得BE=CE，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明．
【详解】（1）在ABE和DCE中，
∴ABE≌DCE（ASA）
（2）由（1）得ABE≌DCE
∴BE=CE
∵EF⊥BC
∴BF=FC
即F为BC边的中点．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，比较基础，理解并熟记等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．
53．已知：如图ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，
求证：（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF=BE+CF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠FCD=∠BCD，根据平行线的性质得出∠FDC=∠BCD，求出∠FDC=∠FCD，根据等腰三角形的判定即可证明；
（2）同理证明DE=BE，结合DF=CF，即可证明．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴DF=CF，即△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=BE，
∵DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
54．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，AB的垂直平分线交恩BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．求证：BM=MN=NC．
【答案】见解析
【分析】此类题要通过作辅助线来联系各角之间的关系．首先根据垂直平分线的性质求出△BMA、△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】解：连接AM ，AN，
∵AB=AC，∠BAC=120°．∠B=∠C=30°，
∵EM垂直平分AB，∴BM=AM，
∴∠MAB=∠B=30°，∴∠AMB= 120°．∴∠AMN= 60°，
同理CN=AN，∠ANM= 60°，
∠AMN=∠MAN=∠ANM= 60°，
∴△ANM是等边三角形，
∴AM=MN=AN，∴BM=MN=CN．
【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
55．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB＋PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA=QC．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析
【分析】（1）先找各个点关于直线DE的对称点，再连接成轴对称图形；
（2）连接与DE交于点P，用轴对称的性质解释此时最小；
（3）作AC的垂直平分线与DE交于点Q，根据垂直平分线的性质得到AQ=CQ．
【详解】解：（1）如图，先找到点A、点B、点C关于直线DE的对称点，再把它们连接起来，
就得到关于直线DE轴对称的；
（2）连接与DE交于点P，
根据轴对称的性质，，
∴，
当C、P、三点共线时，最小，即最小，
如图所示：
（3）分别以A、C为圆心，大于AC一半的长度为半径画弧，有两个交点，连接交点，作AC的垂直平分线与DE交于点Q，
根据垂直平分线的性质，有QA=QC，
如图所示：
【点睛】本题考查轴对称图形画图，轴对称的性质，垂直平分线的画图，解题的关键是掌握轴对称图形和垂直平分线的画法，以及它们对应的性质．
56．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长．
【答案】10cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式求出AB，根据勾股定理求出BC．
【详解】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14，
∴AB+AD+BD＝14，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14，
∴AB＝14﹣8＝6，
由勾股定理得，BC10（cm）．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
57．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
【答案】（1）其他两边分别为4和7；（2）y＝2时，x＝8，y＝4时，x＝7，y＝6时，x＝6，y＝8时，x＝5．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出答案．
（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，根据题意可知y＜9，y是2的倍数，从而可求出答案．
【详解】解：（1）当等腰三角形的腰长为4，
∴底边长为18﹣4×2＝10，
∵4+4＜10，
∴4、4、10不能组成三角形，
当等腰三角形的底边长为4，
∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，
∵4+7＞7，
∴4、7、7能组成三角形，
综上所述，其他两边分别为4和7．
（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，
由题意可知：2x+y＝18，
且2x＞y，
∴y＜9，
∵x＝＝9﹣，x与y都是整数，
∴y是2的倍数，
∴y＝2时，x＝8，
y＝4时，x＝7，
y＝6时，x＝6，
y＝8，x＝5．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型．
58．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．
【答案】三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm
【分析】分两种情况讨论：当AB+AD=24cm，BC+CD=30cm或AB+AD=30cm，BC+DC=24cm根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质列出方程即可求解．
【详解】解：如图所示
设三角形的腰AB=AC=xcm，
∵BD是AC边上的中线，
∴，
分两种情况讨论：
（1）若AB+AD=24cm，
则
∴x=16，
∴AB=AC=16cm，
∴
∵BC+CD=30cm，
∴，
∵当三边长分别为16cm，16cm，22cm时，能构成三角形，
∴三边长分别为16cm，16 cm，22 cm；
（2）若AB+AD=30cm ，则
，
∴x=20，
∴AB=AC=20cm，
∴
∵BC+CD=24cm，
∴，
∵当三边长分别为20cm，20cm，14cm时，能构成三角形，
∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；
∴三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．
【点睛】主要考查了等腰三角形的定义和组成三角形的条件，注意要分类讨论，解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质列方程求出腰长．
59．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
【详解】解：（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，
由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
60．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．
（2）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，∴，
设，在中，
∵，∴，
解得，∴．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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