作业12：多边形及其内角和-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10
3．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
4．如图，奇奇先从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中多边形是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
6．一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是由射线、、、组成的平面图形，则______°．
12．如图，在五边形中，分别是的外角，则的度数为___________．
13．一个内角和为的多边形一共可以连___________条对角线．
14．已知，正多边形的每个内角为，则这个多边形的对角线共有______条．
15．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则_____．
16．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
17．一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则___________．
18．若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________
19．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 _____．
20．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）
三、解答题
21．（1）如图①，与称为“对顶三角形”，则_____（填“>”“=”或“<”）；
（2）利用（1）的结论，在图②中，求的度数．
22．已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？
23．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
24．如图，阅读嘉嘉和琪琪的对话，解决下列问题：
(1)嘉嘉说的“多边形内角和为2020°”可能吗？______；（选填“可能”或“不可能”）
(2)嘉嘉求的是几边形的内角和？
25．已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
26．如图，在四边形中，，分别是及的平分线．
(1)求证：;
(2)若，求．
27．一个四边形四个内角的度数之比为．求这四个内角的度数．
28．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？
29．一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．
30．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业12：多边形及其内角和-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】多边形的外角和都为，根据题意即可列出方程，算出边数n即可解决问题．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
2．一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【答案】C
【分析】画出所有可能的情况，即可作答．
【详解】如图所示
∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答．
3．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键．
4．如图，奇奇先从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知奇奇所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为，
则一共走了米．
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理的应用，解题的关键是判断出奇奇所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等．
5．如图，中多边形是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广，正边形“扩展”而来的多边形的边数为．
【详解】解：由正三边形“扩展”而来的多边形的边数是，
由正四边形“扩展”而来的多边形的边数是，
由正五边形“扩展”而来的多边形的边数是，
依此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为．
故选B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，正确数出这几个图形的边数，从中找到规律是本题的关键．
6．一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解．
【详解】解：设多边形有n条边，
则，
解得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．
7．如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于可知，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
8．已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角和定理，解求出多边形的边数，根据多边形顶点引对角线的公式由此即可求解．
【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于，
∴，
∴这个正多边形是正边形，如图所示，
∴（条），
∴这个正多边形的对角线是条．
故选：．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，对角线的条数的计算方法，掌握正多边形的外角和定理，顶点引对角线的公式是解题的关键．
9．如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的内角和公式，可得正五边形的内角、正六边形的内角，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：正五边形的内角，正六边形的内角，
故．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用正多边形的内角公式得出相应正多边形的内角是解题关键．
10．如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内角和定理，计算正五边形，正三角形的内角，再求两个内角的差即可．
【详解】∵边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，
∴正五边形的每个内角为，正三角形的内角为，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了正五边形，正三角形的内角计算，外角计算，熟练掌握内角和定理，外角和定理是解题的关键．
二、填空题
11．如图是由射线、、、组成的平面图形，则______°．
【答案】
【分析】根据多边形的外角和为求解即可．
【详解】解：由图可知，、、、为组成的四边形的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为是解题的关键．
12．如图，在五边形中，分别是的外角，则的度数为___________．
【答案】/180度
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】反向延长，，
∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、多边形的外角和定理，理清求解思路是解题的关键．
13．一个内角和为的多边形一共可以连___________条对角线．
【答案】
【分析】根据边形的内角和定理得到关于的方程，解得n，然后利用边形的对角线条数为计算即可．
【详解】设该多边形的边数为，
，
解得，
这个11边形共有条对角线，
即一个内角和为的多边形可连条对角线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理和多边形的对角线，熟记多边形内角和为是解题的关键．
14．已知，正多边形的每个内角为，则这个多边形的对角线共有______条．
【答案】54
【分析】先求出多边形每一个外角的度数，然后即可求出边数，再利用公式代入数据计算即可．
【详解】解：∵多边形的每个内角都等于，
∴多边形的每个外角都等于，
∴边数，
∴对角线条数为．
故答案是：54．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角与对角线的性质，求出边数是解题的关键，另外熟记从多边形的对角线的条数公式也很重要．
15．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则_____．
【答案】13
【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的两个顶点除外，边形的一个顶点引出条对角线直接求解即可得到答案．
【详解】解：从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，
根据题意得，解得，
故答案为：13．
【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握边形的一个顶点引出条对角线是解决问题的关键．
16．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
【答案】2025
【分析】从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，
，
，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形．
17．一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则___________．
【答案】
【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得的值，继而即可求解．
【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为是解题的关键．
18．若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________
【答案】三角形
【分析】由多边形的对角线的定义可得答案．
【详解】解：一个多边形无对角线，则这个多边形是三角形，
故答案为：三角形
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的含义，熟记图形特点与对角线的定义是解本题的关键．
19．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 _____．
【答案】16或17或18
【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数为，
则，
解得，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18，
所以多边形的边数可以为16或17或18．
故答案为：16或17或18．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
20．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）
【答案】①②③或①②⑥或②③⑥
【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．
【详解】解：用公式分别计算出正三角形的内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为，正八边形内角为，正十边形的内角为，正十二边形的内角为，正十五边形的内角为，
∵，
∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．
【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．
三、解答题
21．（1）如图①，与称为“对顶三角形”，则_____（填“>”“=”或“<”）；
（2）利用（1）的结论，在图②中，求的度数．
【答案】（1）=；（2）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可；
（2）连接，首先利用（1）的结论可得，然后求五边形的内角和即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：=；
（2）解：连接．
利用（1）的结论可得．
∴
．
【点睛】此题考查了多边形内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形内角和定理．
22．已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？
【答案】
【分析】设四边形的四个外角的度数分别为，再根据多边形外角和为建立方程求出四个外角的度数，进而求出四个内角的度数．
【详解】解：设四边形的四个外角的度数分别为．
由题意得，，
解得．
∴四个外角分别为．
∴这个四边形各内角的度数分别为．
【点睛】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为是解题的关键．
23．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
24．如图，阅读嘉嘉和琪琪的对话，解决下列问题：
(1)嘉嘉说的“多边形内角和为2020°”可能吗？______；（选填“可能”或“不可能”）
(2)嘉嘉求的是几边形的内角和？
【答案】(1)不可能
(2)13边形或14边形
【分析】（1）根据多边形内角和公式可得多边形内角和都是180的倍数，进而判断即可；
（2）设应加的内角为，多加的外角为，依题意可列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵多边形内角和公式为，
∴多边形内角和都是180的倍数，
∴余40，
∴多边形内角和不可能为2020°．
故答案为：不可能．
（2）设应加的内角为，多加的外角为，
依题意可列方程：，
∵，
∴，
解得，
又∵为正整数，
∴，．
故嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
25．已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
【答案】(1)；
(2)12．
【分析】（1）把，代入多边形内角和公式求解即可．
（2）根据多边形内角和公式及多边形外角和为，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）当时，，
∴这个多边形的内角和为．
（2）由题意，得，
解得．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，一元一次方程应用，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
26．如图，在四边形中，，分别是及的平分线．
(1)求证：;
(2)若，求．
【答案】(1)见解析
(2)62°
【分析】（1）先根据四边形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，又根据，即可得到，即可证明；
（2）先求出，再根据角平分线定义即可求出．
【详解】（1）解：∵四边形的内角和是，
∴，
∵分别是及的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查四边形的内角和是，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等知识，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．
27．一个四边形四个内角的度数之比为．求这四个内角的度数．
【答案】
【分析】根据四边形内角和为，即可求解．
【详解】解：∵一个四边形的内角和为，四个内角的度数之比为．
则，，，，
∴这四个内角的度数分别为：
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，掌握四边形的内角和为是解题的关键．
28．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？
【答案】十二
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边解答即可．
【详解】解∶设新多边形的边数为n，则原多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
∴原多边形的边数为，
即原多边形是十二边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，剪痕不过任何一个其他顶点故此新多边形的边数比原多边形的边数多1．
29．一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．
【答案】
【分析】首先利用多边形内角和公式且为整数，求出图形中五边形的每一个内角的度数，进而可得出其外角的度数，再利用三角形内角和定理可得的度数，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵五边形内角和为，
又∵五边形的各个内角都相等，
∴，
∴，
∴，
同理可得的度数均为．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角、三角形内角和定理等知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和的计算公式．
30．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数．
【答案】，
【分析】根据邻补角的性质，和多边形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，和多边形的内角和定理，熟练掌握邻补角的性质，和多边形的内角和定理是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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