2022-2023学年重庆市渝东九校高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2. 下列函数的求导正确的是( )
A. B. C. D.
3. 已知，，则等于( )
A. B. C. D.
4. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 随机变量的分布如下表，其中，，成等差数列，且，
则( )
A. B. C. D.
6. 若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
7. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为
C. 展开式的第项的二项式系数为 D. 展开式的各项系数的和为
10. 距离高考不到天时，国家教育部发布了中国高考报告，年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座，每天一科，连续天则下列结论正确的是( )
A. 从五位教师中选两位的不同选法共有种
B. 数学不排在第一天的不同排法共有种
C. 数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种
D. 物理要排在化学的前面可以不相邻的排法共有种
11. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当时，取得极小值
B. 当时，取得极大值
C. 在上是减函数
D. 在上是减函数，在上是增函数
12. 已知函数有两个极值点，，则( )
A. 的取值范围为 B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 函数的单调增区间为______ ．
15. 在、、三个地区爆发了甲流，这三个地区分别有，，的人患了甲流，假设这三个地区的人口比例为：：，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患甲流的概率为______ ．
16. 已知函数，，若对任意都存在，使成立，则实数的取值范围是______
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算；
已知，求的值．
18. 本小题分
已知函数，且．
求的值；
求函数在区间上的最大值和最小值．
19. 本小题分
某学校的高二年级有名数学老师，其中男老师人，女老师人．
如果任选人参加校级技能大赛，所选人中女老师人数为，求的分布列；
如果依次抽取人参加市级技能大赛，求在第次抽到男老师的条件下，第次抽到也是男老师的概率．
20. 本小题分
年的重庆遇到近年来的第二高温天气，为了在年的夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，拟对某幢建筑物的屋顶和外墙建造隔热层已知由新材料制作的隔热层能使用年，每厘米厚的隔热层建造成本为万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
求的表达式；
隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
讨论的单调性．
22. 本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求实数的取值范围；
若时，存在两个极值点，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则或，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合组合数公式，即可求解．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，解得．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：把乐”和“书”两门课程看作一个元素，则有种不同的排课顺序．
故选：．
利用相邻问题捆绑法进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，成等差数列，且，则，即，
根据分布列可知，，即，解得，
则，，
．
故选：．
根据，，成等差数列，且，，计算的值，再计算期望即可．
本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
由题意得函数的图象在处的切线斜率，
因为，
所以或．
故选：．
由已知结合导数几何意义及直线垂直条件可得关于的方程，进而可求．
本题主要考查了导数的几何意义的应用，还考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．
求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．
【解答】
解：函数，
，
故当时，，函数为减函数，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意设，函数定义域为，则，
，
在上恒成立，
即在和上单调递增，
又，则，
，即，
，
，解得，
又当时，，不符合，
故的解集为．
故选：．
由题意设，函数定义域为，则，可得在和上单调递增，题意转化为，结合单调性，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：的展开式共有项，故A正确；
展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
展开式的第项的二项式系数为，故C错误；
令，展开式的各项系数的和为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可依次求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：从五位教师中选两位的不同选法共有种，故A错误，
数学不排在第一天的不同排法共有种，故B正确，
数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则语数外三科被物理，化学隔开，则有种不同排法，故C正确，
物理要排在化学的前面可以不相邻，则有种，故D错误．
故选：．
A.利用组合数公式进行计算即可．
B.利用元素优先法先排数学，在排其他学科．
C.利用不相邻问题插空法进行计算．
D.定序问题直排法即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法，不相邻问题插空法，以及定位问题直排法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由的导函数的图象可知：
在上是增函数，在是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
所以和是的极大值点，是的极小值点，
从而可知，D正确，，C错误．
故选：．
结合导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值，判断选项的正误即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是基本知识的考查，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
对于选项：求导，根据导数与函数单调性和极值的关系，因此，求得的取值范围；
对于选项：利用的取值范围，构造一元差函数，利用极值点偏移即可求得；
对于选项：换元，再构造一元差函数，再利用极值点偏移，即可求得；
对于选项：由，则，故，即可判断选项．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
【解答】
解：对于选项：求导，，，令，则，
当时，，则单调递增，不可能存在两个零点，则不可能存在两个极值点，
当时，
当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
即，
当时，，至多有一个零点，
当时，，而，当趋向于时，趋向于负无穷大，当趋向于正无穷时，趋向于负无穷大，
综上，，在，内各有一个零点，，
且，故A错误；
对于选项：由且趋向于时，趋向于负无穷大，所以，故，
令，
，又，所以，单调递减，
故当，故，
又，所以，
而，因此，因此，因此，故B正确；
对于选项：，则，
令，显然，令，，显然，
因此有：，因此，
设，则，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为，所以，
令，，
则，
因为，所以，单调递增，
因为，所以，所以，
而，所以，因为，所以，
当时，单调递减，因此有，所以，即，故C正确；
对于选项：由，则，故，故D正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：，则．
故答案为：．
根据离散型随机变量的期望公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
令，则．
故答案为：．
先求函数的导数，然后令导函数大于求的范围即可．
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患甲流的概率为．
故答案为：．
利用互斥事件和独立事件的概率公式结合题意直接求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据正弦函数的性质可知，的最大值，
若对任意都存在使成立，
则在上有解，即在上有解，
所以在上有解，
令，，则，
故在上单调递减，，
故．
故答案为：．
根据正弦函数的性质可知，的最大值，进而问题转化为在上有解，求出函数在上的最值即可得解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，还考查了不等式的恒成立与存在性问题的相互转化，属于中档题．
17.【答案】解：；
，
令，则．
【解析】根据组合数、排列数公式，即可求解；
根据已知条件，结合赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
18.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为，
所以；
由知，
可得，
当，，单调递增；
当，，单调递减；
当，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，；
当时，函数取得极小值，，
又，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】由题意，对进行求导，将代入中，结合，即可求出的值；
由知的解析式，对进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，结合端点值即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：由题可知的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
设第次抽到男老师为事件，第次抽到男老师为事件，
则第次和第次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，，
所以．
【解析】的所有可能取值为，，，求出概率得到分布列；
利用条件概率转化求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列，考查条件概率公式，是中档题．
20.【答案】解：每年的能源消耗费用，建造费用为，
；
，
当且仅当，即时，等号成立，
当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元．
【解析】由题意可知，再结合，即可求出的表达式；
，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，
，
令，解得：或，
令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
故，．
，
，
当时，的符号草图为：
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，的符号草图为：
在上单调递增；
当时，的符号草图为：
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综合可得：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】代入的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
分类讨论导函数的符号，即可求解．
本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，属中档题．
22.【答案】解：，
，
又在区间上单调递减，
在上恒成立，
即在上恒成立，
在上恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
，
，即实数的取值范围是；
证明：由知：，满足，，
不妨设，则，
，
则要证，即证，
即证，也即证成立，
设函数，则，
在单调递减，又，
当时，，
，即．
【解析】根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，由可得结果；
设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论．
本题考査导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题．
第1页，共1页
