2022-2023学年河南省三门峡市陕州区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 代数式有意义时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 关于的叙述正确的是( )
A. 是最简二次根式 B.
C. 不能与合并 D. 与最接近的整数是
3. 给出下列四个说法：
由于，，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形不是直角三角形；
由于以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数；
若，，是勾股数，且最大，则一定有；
若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，其中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，，则的周长是( )
A. B. C. D.
5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图是一个饮料罐，下底面半径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如图，是矩形对角线的中点，是的中点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知菱形的对角线、的长分别为、，于点，则的长是．( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：，，，的面积，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 比较大小：______．
12. 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为______．
13. 如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积等于______．
14. 如图，中，，，的周长是，于，于，且点是的中点，则______．
15. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；≌；；，其中正确的有______填序号
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
．
17. 本小题分
已知的值．
18. 本小题分
如图，是 的对角线，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线，分别交，于点，，连接，若，，求 的边上的高．
19. 本小题分
如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，工作人员以的速度拉绳子，后船移动到点的位置三点在同一直线上，请你计算船向岸边移动的距离．假设绳子是直的，结果保留根号
20. 本小题分
如图，将 的边延长至点，使，连接，，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
连接，若，求证：四边形是矩形．
21. 本小题分
九章算术“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何”大意是说：今推开双门，门框距离门槛尺，双门间的缝隙为寸，那么门的宽度两扇门的和为多少尺？
22. 本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
求证：≌；
连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
23. 本小题分
如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连结，设点的运动时间为秒．
若，求的长；
请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
2.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，可以与合并，故此选项错误，不符合题意；
D、与最接近的整数是，故此选项正确，符合题意．
故选：．
直接利用的性质，分别分析得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确掌握实数的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：由于，，不是整数，所以，，不是勾股数，但是，，所以以，，为边长的三角形是直角三角形，故说法错误；
虽然以，，为边长的三角形是直角三角形，但是，，不是整数，所以，，不是勾股数，故说法错误；
若，，是勾股数，且最大，则一定有，故说法正确；
若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故说法正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长，进而解答即可．
【解答】
解：在平行四边形中，、相交于点，，，，
，，
，则，
的周长，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分即阴影部分的面积是
故选：．
根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
下底面半径是，高是，
，，
，
的长度的取值范围是，
故选D．
如图，过作于，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长是关键．首先由是矩形对角线的中点，可求得的长，然后由勾股定理求得的长，即的长，又由是的中点，可得是的中位线，继而求得答案．
【解答】
解：是矩形对角线的中点，，
，
，
是的中点，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：如图，图中，连接．
图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
对角线、的长分别为，，
，，
，
，
．
故选：．
利用菱形的性质以及勾股定理得出其边长，进而利用菱形的面积求法得出即可．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出菱形的边长是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
作于，作交的延长线于，
则，
，
，
，
，
故错误；
的面积，
故错误；
故选：．
根据正方形的性质和平角的定义可求；
根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长；
作于，作交的延长线于，根据含的直角三角形的性质可求，根据勾股定理可求，，即可求解；
根据三角形面积公式即可求解．
考查了正方形的性质，含的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，题目比较好，难度不大．把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【解答】
解：，，
而，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为，
故答案为：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
13.【答案】
【解析】解：连接，
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
．
故答案为：．
连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中．
14.【答案】
【解析】解：，，是的中点，
，
，，
点是的中点，
，
，
，
的周长，
，
由勾股定理知．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
的平分线交于点，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
正确；
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故错误．
故答案为：．
根据矩形的性质得到，，，求得，推出和是等腰直角三角形，求得，，于是得到，正确；根据全等三角形的判定定理得到≌，故正确；由全等三角形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，故正确；推出不是等边三角形，得到，于是得到，故错误．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】原式化简后，合并即可得到结果；
原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17.【答案】解：，
且且，
解得：，
，
．
【解析】根据二次根式有意义的条件和分式的分母不能为得出且且，求出的值，再求出的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算，二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件等知识点，能求出、的值是解此题的关键．
18.【答案】解：
由作法得垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
而，
，
，
而，
为等腰三角形，
，
，
四边形为菱形，
，
设 的边上的高为，
，
，
即 的边上的高为．
【解析】首先根据垂直平分线的性质得到，，然后利用平行四边形的性质得到，然后证明出为等腰三角形，进而得到四边形为菱形，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可．
本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质和菱形的性质和判断，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
19.【答案】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
，
．
答：船向岸边移动了．
【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形
，，
又，
，
又，
四边形为平行四边形；
证明：由知，四边形为平行四边形
，，
四边形为平行四边形，
又，，
，
，
，即，
平行四边形为矩形．
【解析】证出，根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形；
欲证明四边形是矩形，只需推知即可．
题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
21.【答案】解：由题意得：寸尺，，
点到的距离为尺，
设单扇门的宽度是尺，
根据勾股定理，得，
解得，
则，
门的宽度两扇门的和为尺．
【解析】解答此题的关键是弄清题意，体会古代语言和现代语言的区别，将问题转化为勾股定理来解答．
本题主要考查勾股定理的应用，此题的难点在于理解题意，能够找到直角三角形，根据勾股定理进行计算．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是菱形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
【解析】根据四边形是平行四边形，得，，可证，然后通过证≌即可；
由平分，得，又因为，则，有，可证出，然后证出四边形为平行四边形即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出是解题的关键．
23.【答案】解：作于，设交于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得：，所以；
存在，或；理由如下：
若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
则，
或，
解得：或，
存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或．
【解析】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出的方程是解决问题的突破口．
作于，设交于，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可；
由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．
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