2023年度高二下期中数学试卷
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设是等比数列，且，则（ ）
A.12 B.24 C.30 D.32
2.已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A.-3 B.3 C.1 D.-1
3.已知是函数的导数.若的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数，则（ ）
A. B.3 C. D.2
5.某学校派出五名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）
A.80种 B.90种 C.120种 D.150种
6.由五个数字可以组成多少个无重复且数字1和2相邻的五位数（ ）
A.24 B.48 C.12 D.120
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法.在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，一类是取出个白球和1个黑球，共有，即有等式成立.若，根据上述思想化简下列式子的结果为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.对于函数，下列说法正确的有（ ）
A.
B.在处切线方程为
C.在单调递减
D.
11.下列各式中与排列数相等的是（ ）
A. B.
C. D.
12.现安排高二年级三名同学到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A.所有可能的方法有种
B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.在数列中，，则__________.
15.的展开式中的系数为__________.（用数字填写答案）
16.无重复数字的五位数，当时称为波形数，则由任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）若函数在处有极值10，求的值；
（2）在（1）的条件下，求在区间上的最值.
19.（本小题12.0分）
已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是.
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中中间项.
20.（本小题12.0分）
已知数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前100项和.
21.（本小题12.0分）
为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员（其中男6人，女4人）中选4人参加航天任务.
（1）若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
（2）若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
（3）若选四个航天员分配到三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
22.（本小题12.0分）
已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
（1）求切线的方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.С 8.C
9.CD 10.BC 11.AD 12.BCD
13. 14.46 15.-20 16.
【解析】
1.【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题.
根据，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比，因为，从而得到答案.
【解答】
解：，
，所以，
，
所以.
故答案选：.
2.【分析】
本题考查等差数列的性质，属于基础题.
【解答】
解：由，则公差.
3.【分析】
本题主要考查了导函数图象与原函数图象的关系，属于基础题.
由导函数图象分析函数的单调性，进行解答.
【解答】
解：由的图象易得当或时，，
函数在区间和上单调递增；
当时，，
函数在区间上单调递减；
故选.
4.【分析】
本题考查了导函数的求法，属基础题.
先求函数的导函数，然后求出，再求值即可.
【解答】
解：由，
求导可得，
则，
则函数的解析式为，
所以，
则，
故选.
5.【分析】
本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题.
分组法是共有25种，再分配，共有种
结果，根据分步计数原理即可求解.
【解答】
解：将五名教师分配至三个中学，需要先对教师分组，后分配.
教师分组有两种：一是按分组，共（种），
二是按分组，共种，
所以一共有25种分组，
将三组分配至三所学校共种分配方法.
6.【分析】
本题考查计数原理的应用，同时考查相邻问题捆绑法，属于基础题.
先将将1和2捆绑看出一个元素，与其他三个元素全排列，再1和2内部再排列即可.
【解答】
解：因为数字1和2相邻，采用 绑法，则有种，
把1和2看成1一个元素和组成新的元素，进行排列，则有种，
共有，
故答案为：.
7.【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于中档题.
根据题意，构造函数，利用导数求单调性，再比较大小即可.
【解答】
解：令，所以，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
因为，
所以，即.
故选：.
8.【分析】
本题考察组合数公式的性质应用，属于较难题.
表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，即可得到答案.
【解答】
解：表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，
取出个球的所有情况取法总数的和，
故答案应为：从装有球中取出个球的不同取法数，
故选：.
9.【分析】
本题考查等差数列的求和公式及性质，属于基础题.
由等差数列的求和公式及性质可得，进而得数列单调递增，即可判断.
【解答】
解：设等差数列的公差为，因为，
即，
，
所以，
所以，所以，所以数列是递增数列，
所以，故错误，正确.
故选.
10.【分析】
本题考查导数的运算，导数几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
直接求导可以判断，根据切点的导数为斜率可以判断，求出单调区间可以判断.
【解答】
解：因为，所以，则，故错误；
因为，
所以在处的切线方程为，故正确；
因为当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故正确；
由在上单调递减得，故错误.
故选.
11.【分析】
本题主要考查排列数的计算公式，属于基础题.
使用排列数公式直接计算即可.
【解答】
解：因为，故正确；
错；
错；
而，
，故正确.
故选.
12.【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于中档题.
结合分步乘法计数原理和间接解法，逐一分析求解即可.
【解答】
解：对于，分3步，依次让3名同学分别选择工厂，
每一个同学都有4种方法，所以共有种方法，故错；
对于，考虑反面，即3名同学去乙 丙 丁三个工厂，共有种方法，
故工厂甲必须有同学去，共有种方法，故对；
对于，只需安排两人，共有种方法，故对；
对于，由分步乘法计数原理知，共有种，故对.
故选.
13.【分析】
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题.
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案.
【解答】
解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
14.【分析】
本题考查累加法求通项公式，为基础题.
【解答】
解：由，则有，
累加可知，则，可知.
15.【分析】
本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力，属基础题.
，依次求出中项的系数，求差即可.
【解答】
解：的展开式中，
含的系数是：，
含的系数是，
的展开式中的系数为：.
故答案为-20.
16.【分析】
本题考查排列及排列数公式的应用，考查了古典概型的概率计算，体现分类讨论的数学思想.
特殊元素是和，先考虑，再考虑，当时，分别求出的值及其它值的情况，
最后，把几种情况得到的结果求和求出波形数的个数，
再求出由任意组成的一个没有重复数字的五位数的个数，代入古典概型的概率公
式计算.
【解答】
解：只能是.
（1）若，则与是1或2，这时共有个符合条件的五位数.
（2）若，则可以是，共有个符合条件的五位数.
（3）若，则或4，此时分别与（1）（2）情况相同.
满足条件的五位数有个，
又由任意组成的一个没有重复数字的五位数有个，波形数的概率为.
故答案为：.
17.本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.
（1）因为是等差数列，可根据条件建立关于的方程组，解出即可求得的通项公式；
（2）先将通过公式写出，则，通过裂项相消法求和即可得到答案.
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，且.
所以，
解得，
所以数列的通项公式.
（2），
所以，
所以
.
18.本题考查函数的极值与导数的关系以及求闭区间的最值，属于基础题.
（1）由题意，对已知函数求导，
得到解得，注意验证得到的
是否为取得极值点的充要条件；
（2）由（1）得到函数解析式，进一步利用导函数得到的极值和端点值，比较大小，得到最值.
解：（1）函数，
则，
由题意得，解得或，
当时，，
所以函数有极值点；
当时，，
所以函数没有极值点；
综上可得.
（2）由（1）知，
且，
令，解得或.
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减；
当时，函数取得极小值.
而.
所以在上函数的最小值是，最大值是.
19.本题考查了二项式定理及其展开式的性质 通项公式，考查了计算能力，属于一般题.
（1）由于展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是，利用通项公式可得，可得展开式中二项式系数的和为；
（2）由通项公式，令，即可得出结果.
解：（1）由题意知，展开式的通项为：
，且，
则第五项的系数为，第三项的系数为，
则有，
化简，得，解得，
展开式中各项二项式系数的和；
（2）令，得展开式中中间项.
20.本题考查了数列的递推关系，分组求和法，属于基础题.
（1）根据方程可解出答案；
（2），可算出答案.
解：（1）由
可得，
因为，
所以；
（2）.
21.本题主要考查分类和分布计数原理，以及分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题.
（1）若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；
（2）至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；
（3）先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分一组，再分配到三个实验室去，问题得以解决.
解：（1）若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可，即有种；
（2）至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男航天员三类，
利用分类计数原理可得种；
（3）先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分一组，
再分配到三个实验室去，共有种.
22.本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，考查利用导数研究过曲线上在某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，属于难题.
（1）求出原函数的导函数，得到，进一步求出，代入直线方程的点斜式，化简可得曲线在点处的切线方程；
（2）由（1）知，，可得，可化为在上恒成立，令，利用导数求的最大值即可.
解：（1）函数的定义域为，
由题意知，，
所以，
故，
所以，切点坐标为，
故切线的方程为.
（2）由（1）知，，
所以可化为：，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故当时，在上恒成立，
所以实数的取值范围是.
