第七章 万有引力与宇宙航行 期末热身卷
本试卷共4页，15小题，满分100分，考试用时75分钟。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，运行的周期为，为近日点，为远日点，、为轨道短轴的两个端点．若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从经、到的过程中( )
A. 从到所用的时间等于
B. 从到做减速运动
C. 从到阶段，速率逐渐变小
D. 从到用时间等于
2. 航员在月球表面附近自高处以初速度水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为。已知月球半径为，万有引力常量为。则下列说法正确的是( )
A. 月球表面的重力加速度
B. 月球的质量
C. 月球的第一宇宙速度
D. 月球的平均密度
3. 假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为；在赤道的大小为；地球自转的周期为；引力常量为据此可求得地球的第一宇宙速度为( )
A.
B.
C.
D.
4. 万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预测。年月日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的倍。下列说法正确的是（ ）
A. 木星运行的加速度比地球的大
B. 木星运行的周期比地球的小
C. 下一次的“木星冲日”时间肯定在年
D. 下一次的“木星冲日”时间肯定在年
5. 年月日，我国发射的“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面南极艾肯特盆地冯卡门预选着陆区。探测器在月球上空高的Ⅰ轨道上做圆周运动，为了使探测器较安全的落在月球上的点，在轨道点开始减速，使探测器进入Ⅱ轨道运动。已知月球的半径为，月球表面的重力加速度为，不计月球的自转。下列说法正确的是( )
A. 根据以上信息可以求出“嫦娥四号”所受的万有引力
B. 根据以上信息可以求出月球的平均密度
C. “嫦娥四号”在点通过减小牵引力使其减速
D. 由于不知道“嫦娥四号”在轨道Ⅱ的运动速率，无法求出从点运动到点的时间
6. 火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行（不计周围其他天体的影响），航天员测出飞行圈用时，已知地球质量为，地球半径为，火星半径为，地球表面重力加速度为，则( )
A. 火星探测器匀速飞行的向心加速度约为
B. 火星探测器匀速飞行的速度约为
C. 火星探测器的质量为
D. 火星的平均密度为
7. 我国发射“神舟”十号飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点距地面，远地点距地面进入该轨道正常运行时，通过、点时的速率分别是和当某次飞船通过点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为比较飞船在、、三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8. 有、、、四颗地球卫星：还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，在地球的近地圆轨道上正常运行，是地球同步卫星，是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是( )
A. 速度大小关系是：
B. 在相同时间内转过的弧长最长，、转过的弧长对应的角度相等
C. 在小时内转过的圆心角是，在小时内转过的圆心角是
D. 的周期一定小于的周期，的周期一定大于小时
9. 如图所示，三颗卫星、、均绕地球做匀速圆周运动，其中、在地球的同步轨道上，距离地球表面的高度为，此时、恰好相距最近。已知地球质量为、半径为、地球自转的角速度为。万有引力常量为，则（ ）
A. 发射卫星、时速度要大于
B. 、卫星离地球表面的高度为
C. 卫星和下一次相距最近还需经过
D. 若要卫星与实现对接，可让卫星减速
10. 宇宙飞船以周期绕地球做近地圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为，引力常量为，地球自转周期为。太阳光可看做平行光，宇航员在点测出地球的张角为，则( )
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为
C. 飞船每次经历“日全食”过程的时间为
D. 地球质量为
三、填空题：本题共2小题，每空3分，共12分。
11. 如图，地球的某颗卫星先在轨道做匀速圆周运动，后变轨至轨道，卫星受到地球的引力大小______；绕地球飞行的速率______。（选填“变大”、“不变”、“变小”）
12. 已知地球表面自由落体加速度是，地球的“第一宇宙速度”是，金星的半径是地球的倍，质量为地球的倍，则金星表面的自由落体加速度是______，金星的“第一宇宙速度”是______。（用题中的字母表示）
四、计算题：本题共3小题，13题14分，14题14分，15题14分，共42分。
13. 如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的已知地球半径为，求火箭此时离地面的高度为地面附近的重力加速度）
14. 如图所示，、是两颗在同一平面内绕地球做同向圆周运动的卫星，某时刻、两卫星相距最近、、在同一直线上）。已知地球半径为，离地面高度为，卫星绕地球转动的角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心，忽略、间的相互作用力。求：
卫星的运行周期；
再一次相距最近所用的时间。
15. 年诺贝尔物理学奖授予英国曼彻斯特大学科学家安德烈海姆和康斯坦丁诺沃肖洛夫，以表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究。石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”缆线的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。如图所示，现假设有一“太空电梯”悬在赤道上空某处，相对地球表面静止，忽略下面缆线的质量。已知地球半径为，自转周期为，地球质量为，万有引力常量为试讨论：
太空电梯的距地高度
若赤道平面内的一颗卫星环绕地球做圆周运动，环绕方向与地球自转方向相反，周期为，某一时刻卫星在太空电梯正上方，问至少经过多长时间卫星再次经过太空电梯正上方？
答案解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 变大；变大
12. ；
13. 解：由牛顿第二定律可知：
根据万有引力提供重力：
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力：
联立解得：
14. 解：对卫星有：
又
联立解得：
由题意得，即
代入得：
15. 解：太空电梯在轨运行，与地球自转同步，周期等于地球的自转周期，
万有引力提供向心力，有，
解得
太空电梯与卫星环绕方向相反，所以卫星再次运行到太空电梯正上方时，它们与球心的连线扫过的圆心角形成一个周角。
有，化简得，
解得。
【解析】
1. 【分析】
本题考查了开普勒行星运动定律；解决本题的关键知道近日点的速度比较大，远日点的速度比较小，从到和到的运动是对称的，但是到和到不是对称的。根据海王星在段和段的速率大小比较两段过程中的运动时间，从而得出到所用时间与周期的关系；由开普勒第二定律分析速率的变化。
【解答】
A.根据开普勒第二定律，海王星在段的速度大小大于段的速度大小，则段的时间小于段的时间，根据对称性，从到所用的时间等于，所以到所用的时间小于，故A错误
B.由开普勒第二定律可知海王星从的过程中，速率逐渐增大，故B错误；
C.根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，从到阶段，离太阳越来越远，要使它们的连线相等时间内扫过相等的面积，则速率越来越小，故C正确；
D.根据开普勒第二定律，海王星在段的平均速度小于段的平均速度，则从到所用时间大于从到所用时间的时间，故从到所用时间大于 ，故D错误。
故选C。
2. 【分析】
宇航员抛出的小球做平抛运动，根据水平射程和初速度求出运动的时间，根据求出月球表面的重力加速度大小；
在月球表面物体所受重力等于万有引力，列式求解月球的质量和密度；根据重力提供向心力求出卫星的第一宇宙速度。
解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。
【解答】
A、根据平抛运动规律，，，联立解得，故A错误；
B、由，解得，故B错误；
C、由，解得，故C错误；
D、月球的平均密度，故D正确。
故选D。
3. 【分析】
根据万有引力等于重力，则可列出物体在两极的表达式，结合赤道上物体随地球自转需要向心力列出表达式，最后求出地球的第一宇宙速度。
本题考查了万有引力定律，注意地球两极与赤道的重力的区别，知道求解第一宇宙速度的表达式。
【解答】
在两极，引力等于重力，则有：
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：
万有引力提供向心力，则
由以上各式得第一宇宙速度为：，故C正确，ABD错误。
故选C。
4. 解：、设太阳质量为，行星质量为，轨道半径为，周期为，加速度为对行星由牛顿第二定律可得：，解得，，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的 倍，因此，土星运行的加速度比地球小，土星运行周期比地球大，故AB错误；
C、地球公转周期年，土星公转周期年．设经时间，再次出现土星冲日，则有，其中，，解得年，因此下一次土星冲日发生在年，故C正确，D错误．
故选：．
根据万有引力提供向心力得出加速度、周期与轨道半径的关系，通过轨道半径的大小比较加速度和周期的大小．抓住地球转动的角度比木星转动的角度多，求出下一次木星冲日会发生的时间．
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，以及知道相邻的两次行星冲日的时间中地球多转动一周．
5. 【分析】
本题考查万有引力定律的应用。探测器质量未知无法计算万有引力；根据重力等于万有引力求解月球质量，再根据密度公式求月球平均密度；点火后由原来的高轨道进入低轨道，卫星要减速；探测器做圆周运动，由万有引力提供向心力结合开普勒第三定律求解探测器从到的时间；
知道飞船做圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力，熟悉飞船运行时的变轨原理是解决本题的主要入手点。
【解答】
A.探测器质量未知，无法求出其所受万有引力，故A错误；
B.根据重力和万有引力相等可得，解得月球质量，月球的密度，故B正确；
C.“嫦娥四号”在点通过沿运动方向喷气使其减速，故C错误；
D.探测器在月球上空高的Ⅰ轨道上做圆周运动，根据，可以求出其周期，Ⅱ轨道的半长轴为，从而运用开普勒第三定律可求出Ⅱ轨道的周期，从点运动到点的时间，故D错误。
故选B。
6. 【分析】
火星探测器在火星表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据线速度的定义求解线速度大小，根据向心加速度公式求解加速度，根据牛顿第二定律列式求解质量，在结合密度的定义公式求解密度。
本题关键是明确探测器的运动性质和动力学条件，然后根据万有引力等于向心力列式求解火星质量和密度，基础题目。
【解答】
A.火星探测器匀速飞行的向心加速度约为：，故A正确；
B.飞行圈用时，故速度为：，故B错误；
C.探测器受到的万有引力提供向心力，故：，等式两边的质量约去了，无法求解探测器的质量，故C错误；
D.探测器受到的万有引力提供向心力，故：；又由于，故火星的平均密度为：，故D错误。
故选A。
7. 【分析】
研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要比较的物理量即可解题．
解决本题的关键是掌握万有引力提供向心力，即，不能考虑一个变量而忽略了另一个变量的变化．
【解答】
根据万有引力提供向心力，即得：，由图可知，所以；
当某次飞船通过点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面的圆形轨道，所以，构建所在点圆轨道线速度为，根据变轨知识，根据得；，，所以故故ABC错误，D正确。
故选D．
8. 【分析】
地球同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，根据比较与的向心加速度大小，再比较的向心加速度与的大小。根据万有引力提供向心力，列出等式得出角速度与半径的关系，分析弧长关系。根据开普勒第三定律判断与的周期关系。
对于卫星问题，要建立物理模型，根据万有引力提供向心力，分析各量之间的关系，并且要知道地球同步卫星的条件和特点。
【解答】
A. 、、三颗地球卫星绕地球运行，根据万有引力提供向心
解得可知，和同轴转动，根据可知，故A错误；
B.根据万有引力提供圆周运动向心力可得卫星的线速度可得三颗卫星中卫星的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最大。又是地球同步卫星可得和的角速度相等，故的线速度小于同步卫星的线速度，故在相同时间内转过的弧长对应的角度相等，故B正确；
C.是地球同步卫星，周期为，故其内转过的圆心角度是，的周期也为时，其在内转过的圆心角度是，故C错误；
D.由开普勒第三定律知，的轨道半径小于的轨道半径，可知的周期一定小于的周期；的轨道半径大于同步卫星的轨道半径，的周期一定大于小时，故D正确。
故选BD。
9. 【分析】
第一宇宙速度是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，第二宇宙速度是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功；、在地球的同步轨道上，所以卫星、和地球具有相同的周期和角速度。
本题考查了人造卫星的加速度、周期和轨道的关系，万有引力定律及其应用；理解三种宇宙速度，特别注意第一宇宙速度的三种说法；能抓住万有引力提供向心力列出等式解决问题的思路，再进行讨论求解。
【解答】
A.卫星绕地球做匀速圆周运动，是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，所以发射卫星时速度大于，故A错误；
B.、在地球的同步轨道上，所以卫星、和地球具有相同的周期和角速度，由万有引力提供向心力，即得：，所以卫星距离地面的高度为，故B正确；
C.与的角速度：，距离地球表面的高度为，所以卫星的角速度，此时、恰好相距最近，到卫星和下一次相距最近，，解得：，故C正确；
D.让卫星减速，所需的向心力减小，由于万有引力大于所需的向心力，卫星会离开原轨道，所以不能与实现对接，故D错误。
故选BC。
10. 【分析】
宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，由飞船的周期及半径可求出线速度，由万有引力提供向心力，得到周期与半径、角度的关系，当进入地球的影子后出现“日全食”到离开阴影后结束，有地球的自转时间和飞船的转动周期可求次数，以及一次“日全食”的时间。
本题考查了人造卫星以及万有引力提供向心力，根据公式计算。
【解答】
A.飞船绕地球匀速圆周运动，则线速度为：，又由几何关系知：，联立解得：，故A正确；
B.地球自转一圈时间为，飞船绕地球一圈时间为，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间就有一次日全食，得一天内飞船经历日全食的次数为：，故B错误；
C.由几何关系，飞船每次日全食过程的时间内飞船转过角所需的时间为：，故C正确；
D.万有引力提供向心力则：，结合卫星的半径可得地球的质量为：，故D正确。
故选ACD。
11. 解：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，，解得线速度：，
卫星先在轨道做匀速圆周运动，后变轨至轨道，轨道半径变小，则万有引力变大，线速度变大。
故答案为：变大；变大。
卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据轨道半径的变化分析引力和速率的变化。
此题考查了人造卫星的相关知识，明确万有引力提供向心力，得到相关物理量的关系式是解题的关键。
12. 【分析】
根据星球表面物体重力等于万有引力求解；由万有引力做向心力求解。
万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量。
【解答】
设地球质量为，半径为，那么，金星的质量，半径；设金星表面的重力加速度为，第一宇宙速度为；
根据星球表面物体重力等于万有引力可得：
，
所以，；
由万有引力做向心力可得：
，
；
所以有：
，
；
故答案为：，。
13. 本题考查万有引力公式的应用，注意在地球表面上万有引力充向心力可得出黄金代换。
根据牛顿第二定律可求得此时受到的地球的吸引力；
根据万有引力等于重力可求得火箭离地面的高度。
解：由牛顿第二定律可知：
根据万有引力提供重力：
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力：
联立解得：
14. 对卫星，地球的万有引力提供向心力，在地球表面物体的重力等于万有引力，联立求解运行周期；
根据再一次相距最近时转过的角度差为列式求解。
卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，注意向心力表达式的选择和黄金代换的应用；知道再一次相距最近的条件。
解：对卫星有：
又
联立解得：
由题意得，即
代入得：
15. 太空电梯与地球自转同步，周期等于地球的自转周期，根据万有引力提供向心力即可求解太空电梯的距地高度；
太空电梯与卫星环绕方向相反，所以卫星再次运行到太空电梯正上方时，它们与球心的连线扫过的圆心角形成一个周角。
解：太空电梯在轨运行，与地球自转同步，周期等于地球的自转周期，
万有引力提供向心力，有，
解得
太空电梯与卫星环绕方向相反，所以卫星再次运行到太空电梯正上方时，它们与球心的连线扫过的圆心角形成一个周角。
有，化简得，
解得。
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