2022-2023学年八年级数学下期末模拟题
一、单选题（每小题3分.共30分）
1．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是8.5 C．众数是8 D．方差是1
4．A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，甲，乙两人行驶路程，与行驶时间之间的函数关系如图所示，当乙追上甲时，则乙出发的时间是（ ）．
A． B． C． D．
5．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元
6．如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知直线l：与直线关于x轴对称，则直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，若，，，则的面积为（ ）
A．60 B．48 C．30 D．15
9．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为（ ）．
A．1 B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，利用函数图象可知方程组的解为_____．
12．如图，在中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则的面积为________．
13．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为．连接AC，交于点P，交于点Q，连接．则图中阴影部分的面积之和为______．
14．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为___．
15．如图，，点为∠AOB的角平分线上一点，的垂直平分线交，分别于点，，点为上异于点的一点，且，则的面积为 _____．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)
17．（9分）某区举行了一次以“爱祖国爱家乡”为主题的知识竞赛活动，共有1600名中学生参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表．
分组 分数段 频数 频率
40 0.08
80 0.16
100 0.2
0.32
120
根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)样本的中位数落在分数段______上；补全频数分布直方图；
(3)若竞赛成绩在80分以上（含80分）为优秀，请估计该区参加竞赛成绩为优秀的学生人数．
18．（8分）已知直线经过点．
(1)求的值；
(2)写出此直线与轴，轴的交点坐标．
19．（7分）如图，在中，E，F两点在对角线上，连接，若，求证：．
20．（10分）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
21．（8分）请阅读以下材料，完成相应的任务．
利用数学经验解决问题：在数学学习中，我们经历过很多观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动，逐步积累了大量的数学活动经验，这些宝贵经验可以帮助我们解决新的数学问题．“三角形中位线定理”有多种证明方法，下面就利用其中一种证明方法中获得的经验来解决新问题．证法回顾：如图1，在探究的中位线和第三边的关系时，作辅助线“过点C作，与的延长线交于点，这种证法的思路是通过构造一个以C，B，D为三个顶点的平行四边形来证明三角形中位线定理．解决问题：如图2，在中，，D，E分别是，上的点，且，当点D，E均不为所在边的中点时，判断与的大小关系．证明思路：利用上述证明方法中获得的经验，在图2中也可以构造一个以C，B，D为三个顶点的平行四边形．要判断与的大小关系，可以转化为判断与的大小关系．证明：如图3，过点D作，过点C作交于点F，连接．∵，，∴四边形平行四边形．∴，，∵∴．…
任务：
(1)在“证法回顾”中证明的依据是 ；
(2)请按照“解决问题”中的证明思路，写出该证明的剩余部分．
22．（12分）【问题】如图①，和都是等腰直角三角形，，点D在上．求证：．
【感知】连接，则，． 从而得出为直角三角形，使问题得证． 请你根据以上思路，写出完整证明过程．
【应用】如图②，四边形和四边形都是正方形，点D在对角线上．若，，正方形的面积是_________ ．
【拓展】如图③，和都是等边三角形，点A在上，连接．若，，请直接写出的面积．
23．（13分）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上．
(1)求的值；
(2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围；
(3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
2022-2023学年八年级数学下期末模拟题
参考答案：
1．A
【分析】根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：在中，已知，，，
∵，
∴是直角三角形，其中，
故选：A
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答．
2．B
【分析】根据二次根式的定义判断即可；
【详解】解：A、，无意义，故本选项不符合题意；
B、是二次根式，故本选项符合题意；
C、是三次根式，故本选项不符合题意；
D、是分式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
3．D
【分析】由题意得：这组数据为8，8，9，11，由此求解判断即可．
【详解】解：由题意得：这组数据为8，8，9，11，
∴这组数据的平均数为，中位数为，众数为8，
，
∴A、B、C选项正确，D选项错误，
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了方差公式，求平均数，中位数，众数和方差，根据方差公式得到这组数据是解题的关键．
4．C
【分析】根据“速度路程时间”可得甲的速度，从而得出与之间的函数解析式，利用待定系数法可得与之间的函数解析式，再列方程求解即可．
【详解】解：甲的速度为：，
可得与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
根据题意，得，
解得，
当乙追上甲时，则乙出发的时间为，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
5．B
【分析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，根据在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】解：设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，
根据题意得：，
解得：，
∵，，
∴随的增大而减小，
∴当时，W取最大值，最大值为（元），
答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出x的范围．
6．D
【分析】先求得动点在的内部，根据函数的图象，可列出不等式组求解．
【详解】解：当动点在的内部时，
∴列不等式组，
解得：或，
∴点不在的内部，则m的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的不等式组是解题的关键．
7．D
【分析】在直线l上找两点、，这两点关于x轴的对称点为、，再利用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】∵直线l的解析式为，
∴当时，；当时，，
∴点、在直线l上，
∵直线l与直线关于x轴对称，
∴点、关于x轴对称的点为、，
设直线的解析式为，得，解得：，
∴直线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及待定系数法，找到两个对称点的坐标是解题的关键．
8．C
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，然后求得面积即可．
【详解】解：连接，
∵E、F分别是、中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝ ，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
10．D
【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答．
【详解】解：∵将沿翻折，使点B落在点E处，
∴，
∵将沿翻折，点A恰好与点E重合，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
11．
【分析】观察函数的图象与相交于点，从而求解；
【详解】观察图象可知，与相交于点，
可求出方程组的解为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组等知识点，关键是能根据函数图象的交点解方程组．
12．
【分析】分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．
【详解】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，
由题意知：△ABE是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABF中，BF=1，AF==，
△ABE的面积为：，
∵BE∶EC＝2∶1
∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，
∴△ABC的面积为：，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点睛】考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．
13．16
【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积之和为
，
∵正方形的面积为，
∴即，
∴，
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解．
14．
【分析】先估算出的大小，从而求出整数部分，再进一步表示出小数部分，然后代值求解即可．
【详解】解：，
，
的整数部分是2，
，
，
，
的整数部分是3，小数部分是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．
15．
【分析】连接，，过作于，根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，过作于，
∵平分，
∴，
∵的垂直平分线交，分别于点，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17．(1)160，0.24
(2)
(3)估计该市参赛成绩为优秀的学生人数约有8960人
【分析】（1）先通过A分数段算出样本容量，再根据题意得出答案；
（2）通过对中位数的理解，找出答案并画图像；
（3）用样本估计总体，得出答案．
【详解】（1）解：样本容量，，，
故答案是 160，0.24，
（2）解：中位数应为第250和251名学生成绩的平均值，第250和251名学生均在D分数段，故中位数在D分数段．
图像如下：
（3）解：（人）．
答：估计该市参赛成绩为优秀的学生人数约有8960人
【点睛】本题考查了数据的收集与整理，中位数，用样本估计总体，其中样本容量的确定是解题的关键．
18．(1)
(2)直线与轴的交点坐标为，，直线与轴的交点坐标为，．
【分析】（1）将点的坐标代入直线的解析式求得的值，从而得到直线的解析式，
（2）分别令和，从而可求得对应的值与的值．
【详解】（1）解：直线经过点，
，解得：，
（2）由可得直线解析式为：，
当时，，
直线与轴的交点坐标为，．
当时，，解得：，
直线与轴的交点坐标为，．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上交点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
19．证明见解析
【分析】由，可知，，则，由，可知，由，可知，证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．(1)
(2)①；②能追上，理由见解析
【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答；
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知的解析式的k为200，设的解析式为，根据妺妺比哥哥迟2分钟到书吧可得，将代入，即可得到一次函数解析式，把代入一次函数即可得到a的值；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知的解析式的k为200，
设所在直线为，将代入，得，
解得．
∴所在直线为，
当时，，解得．
∴．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是160米/分．
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
联立方程，
解得，
∴米，即追上时兄妺俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键．
21．(1)四边形是平行四边形
(2)见解析
【分析】（1）根据证明，得到，结合，得到四边形是平行四边形，从而得到；
（2）先证明，从而得到，根据三角形三边的关系，结合平行四边形的性质可以得到．
【详解】（1）解：如下图所示，
∵D，E分别是，上的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：四边形是平行四边形；
（2）证明：如图3，过点D作，过点C作交于点F，连接．
∵，，
∴四边形平行四边形．
∴，，
∵
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在三角形中，，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识．
22．感知：见解析；应用：5；拓展：
【分析】应用：类比感知的过程，得到，根据，代入数值计算即可；拓展：类比感知的过程得，过点作延长线的垂线，构造直角三角形求出，代入面积公式计算即可；
【详解】解：连接．
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，即，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，又，
∴．
【应用】解：连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
和都是等腰直角三角形，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：5
【拓展】解：如图：过点作延长线的垂线，垂足为，
∵和都是等边三角形，，
∴，即，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、解直角三角形等知识点，类比思想的运用是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)能，点坐标为或或或
【分析】（1）将点的坐标代入直线中，即可求出；
（2）利用三角形的面积公式即可得出与之间函数关系式，并写出的取值范围；
（3）利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
；
（2）点，点，
的面积为 ，
，
直线与轴交于点，
，
；
（3）点，点，
则 ，，，
Ⅰ、当时，，
解得：或，
或；
Ⅱ、当时，，
解得：，
；
Ⅲ、当时，，
解得：（舍去）或，
；
综上所述，能为等腰三角形，满足条件的点坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
