高一下学期期末检测试题（4）及解析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2.某高学有高一学生847人，高二学生920人，高三学生人990，教职工243人，学校根据疫情防控形势和所在地疫情防控政策要求，学校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300样本进行核酸检测，则应抽取高一学生人数为（ ）
A．85 B．84 C．90 D．99
3.如图，在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别为,则复数
对应的点位于( )
第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而玛雅文明也有类似的
建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的建筑.玛雅金字塔由巨
石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端为祭神的神殿，其形状近
似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29m,金字塔的塔基（正四棱
台的下底面）的周长为220m，塔台（正四棱台的上底面）的周
长为52m，神殿底面边长为9m，高为6m,则该金字塔的体积为（ ）
A．m3 B．30455m3 C．37217m3 D．45439.5m3
5.设O为平面直角坐标系坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，该点记为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
6.在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7.自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次人
口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成
及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）
统计图，则下列说法正确的是( )
A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势；
B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递减；
C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破14亿；
D.第七次全国人口普查时，我国总人口性别比最高.
8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O相交于B,C两点，D为BC中点，若|PO|=,则的最大值为（ ）
2+ B. C. 1+ D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的为( )
A．a∥b B．a＋b＝b
C．a－b＝b D．|a－b|<|a|＋|b|
10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品
11.把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为( )
A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点} B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}
C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点} D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}
12.如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是( )
A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE
B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立
D．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数z满足z++2(z-)=2+4i,则|z|=___________.
14.已知平面向量a=(4,m),b=(m-3,1},且a与b共线且反向，则实数m的值为________.
15.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°,若
PAB的面积为，则该圆锥的体积为________．
16.已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分亲，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.（本题满分10分）
如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
18.（本题满分12分）
某长为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10)
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为，样本方差为s2.
⑴求，s2；
⑵判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
19.（本题满分12分）
在 ABC中，已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
⑴求sin∠ABC;
⑵若D为BC上一点，且∠BAD=90°,求 ADC的面积.
20.（本题满分12分）.
已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
21.（本题满分12分）
养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
22.（本题满分12分）
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设与的夹角为θ，
单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|+|2＝|﹣|2，
变形可得：2+2+2 ＝42+2﹣4 ，变形可得cosθ＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝，故选：B．
2.某高学有高一学生847人，高二学生920人，高三学生人990，教职工243人，学校根据疫情防控形势和所在地疫情防控政策要求，学校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300样本进行核酸检测，则应抽取高一学生人数为（ ）
A．85 B．84 C．90 D．99
【答案】A
【解析】 学校师生总数n=3000,所以高一应抽取学生人数为≈85 ， 故选A.
3.如图，在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别为,则复数
对应的点位于( )
第一象限 B．第二象限
第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由图得z1=1-2i,z2=1+i,，则对应的点位于第三象限，故选C.
4.金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而玛雅文明也有类似的
建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的建筑.玛雅金字塔由巨
石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端为祭神的神殿，其形状近
似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29m,金字塔的塔基（正四棱
台的下底面）的周长为220m，塔台（正四棱台的上底面）的周
长为52m，神殿底面边长为9m，高为6m,则该金字塔的体积为（ ）
A．m3 B．30455m3 C．37217m3 D．45439.5m3
【答案】B
【解析】设正四棱台的上，下底面边长分别为a,b,高为h1,则a=55,b=13,h1=23.设正四棱柱的底面边长为c,高为h2,则c=9,h2=6
所以该金字塔的体积V==30455，故选B
5.设O为平面直角坐标系坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，该点记为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,∵区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}表示以O（0,0）为圆心，
外圆半径为2，内圆半径为1的圆环，直线OA的倾斜角不大于的
部分如阴影所示，在第一象限对应角∠MON=，结合对称性得
P==,故选C.
6.在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正确；若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B.
自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的
比例）统计图，则下列说法正确的是( )
A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势；
B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递减；
C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破14亿；
D.第七次全国人口普查时，我国总人口性别比最高.
【答案】A
【解答】由图得，我国历次全国人口普查总人口数不呈逐次递减，所以B错误；我国第七次人口普查时，总人口数突破14亿，所以C错；第七次全国人口普查时，我国总人口性别比不是最高，所以D错误；很显然，近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势，故A正确，选A.
8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O相交于B,C两点，D为BC中点，若|PO|=,则的最大值为（ ）
2+ B. C. 1+ D.
【答案】D
【解析】如图所示，|OA|=1,|PO|=,
|PA|==1,∠APO=,设∠OPC=α，
当A,D两点位于直线PO的异侧时，，
则由题意得,
=|PA| |PD|cos(α+)=1×cosαcos(α+)
=
而，当时，有最大值1.
当A,D位于直线PO同侧时，设∠OPD=α,.
=，
而，当时， 有最大值，
综上，的最大值为，故选D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的为( )
A．a∥b B．a＋b＝b
C．a－b＝b D．|a－b|<|a|＋|b|
【答案】AB
【解析】∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，b为任一非零向量．
∴a∥b，a＋b＝0＋b＝b，∴A、B正确．a－b＝0－b＝－b，|a－b|＝|0－b|＝|b|，|a|＋|b|＝|0|＋|b|＝|b|，
∴|a－b|＝|a|＋|b|，C、D错误．故选AB.
10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品
【答案】BD
【解析】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，
在A中，至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故B正确．
在C中，至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，恰有1件次品与恰有2件正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确；故选BD．
11.把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为( )
A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点} B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}
C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点} D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}
【答案】ABD
【解析】对于A，∵P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于B，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于C，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N独立；
对于D，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N不独立．故选ABD.
12.如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是( )
A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE
B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立
D．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立
【答案】ABC
【解析】在A中，因为四边形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD与EF相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误；在B中，因为四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE与EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；在C中，因为四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故C错误；在D中，因为四边形ABFE是梯形，AE∥BF，BF 平面ADE，AE 平面ADE，所以在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故D正确．故选A、B、C.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数z满足z++2(z-)=2+4i,则|z|=___________.
【答案】
【解析】设z=a+bi(a,b∈R,由z++2(z-)=2+4i得2a+4bi=2+4i,则a=b=1,z=1+i,|z|=.
14.已知平面向量a=(4,m),b=(m-3,1},且a与b共线且反向，则实数m的值为________.
【答案】-1
【解析】由题意得，即m2-3m-4=0,解得m=-1,m=4,当m=4是不符合反向要求，舍去，所以m=-1.
15.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°,若
PAB的面积为，则该圆锥的体积为________．
【答案】
【解析】如图， AOB中，∠AOB=120°，AO=BO=,∴AB=3.
取AB的中点M,连接PM,OM.OM=,
∵S PAB=,∴PM=
在RT POM中，PO2=PM2-OM2=6,∴PO=,圆锥体积V==.
16.已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.
【答案】
【解析】记两个零件中“恰有一个一等品”的事件为A，
则P(A)＝1－×－×＝.
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
【答案】⑴详解见解析 ⑵1
【解析】（1）∵D1 BF，∴BF与D1可确定平面α，
在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．
理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，平面α∩平面BC1＝BF，
而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，
则四边形D1EBF就是要作的截面．
（2）由题意，CF＝a（0＜a＜1），
由（1）的过程可知A1E＝a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1﹣A1EBB1
与四棱锥D1﹣B1BFC1的组合体．
＝＝．
而正方体的体积为1，则，
故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．
18.某长为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10)
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为，样本方差为s2.
⑴求，s2；
⑵判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】⑴11,61 ⑵可以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【解析】⑴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,
=11.
s2=
=61.
⑵由⑴得=11，而 , ∴
则可以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
19.在 ABC中，已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
⑴求sin∠ABC;
⑵若D为BC上一点，且∠BAD=90°,求 ADC的面积.
【答案】⑴；⑵.
【解析】⑴由余弦定理得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,BC=.
∴cos∠ABC=.
sin∠ABC=.
⑵方法1：由三角形面积公式得
而S ABC=
∴
方法2：由⑴知cos∠ABC=，sin∠ABC=
∴tan∠ABC=,即,AD=
∴S BAD=
而S ABC=
则S ADC=S ABC-S BAD=
20.已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【答案】⑴z＝1＋i或z＝－1－i ⑵1
【解析】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
21.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
【答案】⑴m3；96πm3 ⑵32πm2；60πm2 (3)方案二比方案一经济.
【解析】(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积为V1＝S′·h＝×π×2×4＝(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积为
V2＝S·h′＝×π×2×8＝96π(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
圆锥的母线长为l3＝ ＝4(m)，
则仓库的表面积为S1＝π×8×4＝32π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
圆锥的母线长为l2＝ ＝10(m)，
则仓库的表面积为S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)∵V1
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】详见解析
【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（i）因为，
所以
所以；
(ii)；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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