2023年安徽省中考数学模拟卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．﹣4 D．π
2．计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．2022年第一季度马鞍山GDP总量是609.62亿元，与去年同期相比，增长了7.46%，将数据609.62亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.0962×102 B．6.0962×108
C．6.0962×1010 D．6.0962×109
4．如图，正六棱柱，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25°
6．为调查八年级学生完成家庭作业所需的时间，某校抽查了8名学生，他们每天完成作业所需的时间分别为（单位：分）：70，75，90，70，70，58，80，55，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）
A．70，70，71 B．70，71，70 C．71，70，70 D．70，70，70
7．关于x的方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
10．如图，点A、B、C在⊙O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．B． C．D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．不等式3﹣2x≤1的解集是 ．
12．已知点（2，y1），（3，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1 y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．
13．某中学九年级（1）班、（2）班、（3）班、（4）班随机分成两批参加公益活动，每批两个班．小明所在的九（1）班被分在第一批的概率为 ．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边CD上一点（不与点C、D重合），将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点B′处，折痕交BC于点P，沿直线PE再折叠纸片，点C落在点C′处，且P、B′、C′三点共线．则：
（1）∠APE的度数为 ；
（2）线段CE长的最大值为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
16．（8分）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
18．（8分）某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树AB的高？若α＝18.34°，m＝10，请你解决这个问题．（参考数据：sin18.34°≈0.31，cos18.34°≈0.95）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线x＝3与双曲线y＝（k≠0）相交于点A，与x轴交于点B，连接OA，OA＝5．
（1）求双曲线y＝的解析式；
（2）若点C在双曲线上，且AC⊥OA，求点C的坐标．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相切，切点为C，过A作AE⊥MN，垂足为E，过B作PD∥AE交AC延长线于D，交⊙O于点P，连接CP，交AB于点Q．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AB＝10，CP＝8，求BQ的长．
21．（12分）某校为了解九年级学生的体质情况举行体育测试，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图：
（说明：A级：90分100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下．A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格）
其中B级成绩（单位：分）为：75；76，77，78，78，79，79，79，80，81，81，82，82，83，83，84，86，87，87，88，89
请你结合所给信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中C级所在的扇形的圆心角度数是 ；九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是 ；
（3）若该校九年级有650名学生，诪你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人．
22．（12分）如图，经过点A（﹣1，0）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点B、C两点，并与边长为2的正方形OCDE相交于点C、D．
（1）试求抛物线和直线BC的函数解析式；
（2）若抛物线在第一象限的图象上有一点P，它的横坐标为t．
①请用含t的式子表示△PBC的面积；
②若点P到直线BC的距离最远，请直接写出此时点P的坐标．
23．（14分）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE＝DF”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
（1）【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想＝ ；
（2）【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想的值，并证明你的猜想；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求的值．
2023年安徽省中考数学模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．﹣4 D．π
【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
【解答】解：∵﹣4＜0＜＜π，
∴最大的数是π，
故选：D．
2．计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．
故选：D．
3．2022年第一季度马鞍山GDP总量是609.62亿元，与去年同期相比，增长了7.46%，将数据609.62亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.0962×102 B．6.0962×108
C．6.0962×1010 D．6.0962×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：609.62亿＝60962000000＝6.0962×1010．
故选：C．
4．如图，正六棱柱，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【解答】解：由几何体可知，该几何体的三视图依次为：
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
5．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
6．为调查八年级学生完成家庭作业所需的时间，某校抽查了8名学生，他们每天完成作业所需的时间分别为（单位：分）：70，75，90，70，70，58，80，55，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）
A．70，70，71 B．70，71，70 C．71，70，70 D．70，70，70
【分析】这组数据中出现次数最多的数是70分，所以70分是这组数据的众数；
将这组数据先按照从小到大的顺序排列，数据个数是8，是偶数个，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
先求出这组数的和，然后根据“总数÷数量＝平均数”进行解答即可．
【解答】解：因为这组数据中出现次数最多的数是70分，
所以70分是这组数据的众数；
将数据按照从小到大的顺序排列为：55，58，70，70，70，75，80，90，
中间的两个数为70，70，
所以中位数为：（70+70）÷2＝70（分）；
平均数为：（55+58+70+70+70+75+80+90）÷8
＝568÷8
＝71（分）．
所以这组数据的平均数是71分．
故选：A．
7．关于x的方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ≥0，即可求出m的取值范围，要注意，m≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【解答】解：当方程mx2﹣3x+2＝0为一元二次方程时，方程有解，
则m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0，
解得：且m≠0，
当方程mx2+3x+m＝0为一元一次方程时，
方程有解，则只需m＝0，
综上：当时，方程有实数根．
∴四个数中m的值不可能是2，
故选：D．
8．如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由相似三角形的判定和性质即可判断．
【解答】解：∵DF∥BE，
∴＝，
故A正确；
∵DF∥BE，
△ADF∽△ABE，
∴＝，
故B正确；
∵DE∥BC，
∴＝，
故C正确，
∵DF∥BE，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴≠，
故D错误，
故选：D．
9．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
【解答】解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
则m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故选：C．
10．如图，点A、B、C在⊙O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可求，①点E在AC上时，可求，从而可求面积解析式；②当点E在BC上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解．
【解答】解：∵AB经过点O，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴，
①如图，点E在AC上时，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴，
∴，
∴，
＝
＝；
∴图象为过原点的开口向上的一段抛物线，
②当点E在BC上时，
∴BE＝13﹣x，，
∴
∴
∴，
＝
＝；
∴图象为一段开口向下的抛物线；
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．不等式3﹣2x≤1的解集是 x≥1 ．
【分析】先移项，然后系数化为1求解不等式．
【解答】解：移项得：2x≥2，
系数化为1得：x≥1．
故答案为：x≥1．
12．已知点（2，y1），（3，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，
∴在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵3＞2＞0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．某中学九年级（1）班、（2）班、（3）班、（4）班随机分成两批参加公益活动，每批两个班．小明所在的九（1）班被分在第一批的概率为 ．
【分析】根据已知条件，列举出分两批的情况，再用九（1）班被分在第一批的情况除以总的分批情况即是小明所在的九（1）班被分在第一批的概率．
【解答】解：总的分批情况为：（1）班和（2）班；（3）班和（4）班；（1）班和（2）班；（2）班和（4）班；（1）班和（4）班；（2）班和（3）班，共6种情况．
其中小明所在的九（1）班被分在第一批的情况为：（1）班和（2）班；（1）班和（2）班；（1）班和（4）班，共3种情况．
∴小明所在的九（1）班被分在第一批的概率为：．
故答案为：．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边CD上一点（不与点C、D重合），将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点B′处，折痕交BC于点P，沿直线PE再折叠纸片，点C落在点C′处，且P、B′、C′三点共线．则：
（1）∠APE的度数为 90° ；
（2）线段CE长的最大值为 ．
【分析】（1）根据翻折的性质，∠APB＝∠APB′，∠CPE＝∠C′PE，进而推导出∠APE＝90°；
（2）设BP＝x，CE＝k，则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，根据翻折的性质证明△ABP≌△PCE，可得，所以，整理得：x2﹣4x+3k＝0，由题意可知，该方程有实数根，所以Δ＝16﹣12k≥0，解得．
【解答】解：（1）由折叠可知：∠APB＝∠APB′，∠CPE＝∠C′PE，
∵∠APB+∠APB′+∠CPE+∠C′PE＝180°，
∴∠APE＝90°；
故答案为：90°；
（2）设BP＝x，CE＝k，
则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，
∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
整理得：x2﹣4x+3k＝0，
由题意可知，该方程有实数根，
∴Δ＝16﹣12k≥0，解得，
∴线段CE长的最大值为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝a+2，
当a＝﹣1时，原式＝a+2＝1．
16．（8分）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
【分析】设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，根据用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，
依题意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，
解得：x＝20．
答：该款奶茶线下销售价格为20元/杯．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可；
（2）利用在成本和的性质作出图形即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′交x轴于点M，连接AM，点M即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作三角形；
由图可知，点B2的坐标为（2，﹣5）；
（3）如图所示，点M即为所求．
18．（8分）某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树AB的高？若α＝18.34°，m＝10，请你解决这个问题．（参考数据：sin18.34°≈0.31，cos18.34°≈0.95）
【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，
则∠BCD＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，
则BD＝BC sin∠BCD＝msinα，CD＝BC cos∠BCD＝mcosα，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
则AD＝CD＝mcosα，
∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），
∵α＝18.34°，m＝10，
∴AB≈10×（0.95﹣0.31）＝6.4，
答：树AB的高为6.4．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线x＝3与双曲线y＝（k≠0）相交于点A，与x轴交于点B，连接OA，OA＝5．
（1）求双曲线y＝的解析式；
（2）若点C在双曲线上，且AC⊥OA，求点C的坐标．
【分析】（1）依据直线x＝3与双曲线y＝（k≠0）相交于点A，OA＝5，求得A（3，4），代入y＝，可得双曲线的解析式为y＝；
（2）设C（a，b），则ab＝12，依据△AOB∽△CEA，可得＝，即3a+4b＝25，解方程即可得到C（，）．
【解答】解：（1）∵直线x＝3与双曲线y＝（k≠0）相交于点A，OA＝5，
∴Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴A（3，4），
把（3，4）代入y＝，可得
k＝3×4＝12，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）设C（a，b），则ab＝12，
过C作CE⊥AB于E，CD⊥x轴于D，则∠AEC＝∠OBA＝90°，
又∵∠OAC＝90°，
∴∠OAB＝∠ACE，
∴△AOB∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴3a+4b＝25，
又∵b＝，
∴3a+4×＝25，
化简得3a2﹣25a+48＝0，
解得a1＝，a2＝3（舍去）
∴C（，）．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相切，切点为C，过A作AE⊥MN，垂足为E，过B作PD∥AE交AC延长线于D，交⊙O于点P，连接CP，交AB于点Q．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AB＝10，CP＝8，求BQ的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥MN，进而得出OC∥AD，推出△ACO∽ADB，即可得出结论；
（2）连接BC，根据∠ACB＝90°，AC＝CD，得出BC垂直平分AD，则AB＝BD＝10，∠D＝∠DAB，推出CP＝CD＝8，根据勾股定理求出BC＝6，根据，求出，再根据勾股定理可得：，即可得出，，最后证明△COQ∽PBQ，根据，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线MN与⊙O相切，
∴OC⊥MN，
∵AE⊥MN，
∴OC∥AE，
∵PD∥AE，
∴OC∥PD，
∴∠D＝∠ACO，
又∵∠CAO＝∠DAB，
∴△ACO∽ADB，
∴，
∴AC＝CD；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）可得AC＝CD，
∴BC垂直平分AD，
∴AB＝BD＝10，∠D＝∠DAB，
∵∠P＝∠DAB，
∴∠P＝∠D，
则CP＝CD＝8，
根据勾股定理可得：，
∵PD∥AE，AE⊥MN，
∴PD⊥MN，
∴，即BC CD＝BD CF，
∴6×8＝10CF，解得：，
在Rt△CDF中，根据勾股定理可得：，
∴，
则，
∵AB＝10，
∴OC＝OB＝5，
∵OC∥PD，
∴∠OCQ＝∠BPQ，∠COQ＝∠PBQ，
∴△COQ∽PBQ，
∴，即，
解得：．
21．（12分）某校为了解九年级学生的体质情况举行体育测试，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图：
（说明：A级：90分100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下．A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格）
其中B级成绩（单位：分）为：75；76，77，78，78，79，79，79，80，81，81，82，82，83，83，84，86，87，87，88，89
请你结合所给信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中C级所在的扇形的圆心角度数是 100.8° ；九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是 85 ；
（3）若该校九年级有650名学生，诪你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人．
【分析】（1）A级的人数除以其所占比例求出总样本数，进而求出B级的人数，据此补全图形即可；
（2）用360°乘以C级所占比例，即可求得圆心角度数，根据中位数定义即可求解；
（3）用九年级总人数乘以样本中良好及良好以上人数所占比例即可求解．
【解答】解：（1）总人数为9÷18%＝50（人），
50﹣9﹣14﹣6＝21（人），
∴B级人数为21人，补全统计图如下：
（2）360°×（1﹣12%﹣18%﹣42%）＝100.8°，
则可知50名学生的成绩的中位数为从小到大排列的第25、26个数的平均值为所求的中位数，
即：，
故答案为：100.8°，85；
（3）650×（18%+42%）＝390（人），
∴九年级达到良好及良好以上的学生人数约为390人．
22．（12分）如图，经过点A（﹣1，0）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点B、C两点，并与边长为2的正方形OCDE相交于点C、D．
（1）试求抛物线和直线BC的函数解析式；
（2）若抛物线在第一象限的图象上有一点P，它的横坐标为t．
①请用含t的式子表示△PBC的面积；
②若点P到直线BC的距离最远，请直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）先得到C（0，2），D（2，2），再根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①令，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，则，表示出PQ，从而可表示出△PBC的面积；②要使点P到直线BC的距离最远，则△PBC面积取得最大值，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵经过点A（﹣1，0）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点B、C两点，并与边长为2的正方形OCDE相交于点C、D，
∴C（0，2），D（2，2），
代入得：，
解得：，
∴，
令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴把B（3，0）、C（0，2）代入y＝mx+n得：，
解得，
∴，
答：抛物线和直线BC的函数解析式分别为，；
（2）①令，
过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
则，
，
此时△PBC面积为，
②，
要使点P到直线BC的距离最远，则△PBC面积取得最大值，
由①得，
当时，S△PBC最大，此时，
∴．
23．（14分）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE＝DF”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
（1）【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想＝ 1 ；
（2）【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想的值，并证明你的猜想；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求的值．
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，证明△ABM≌△ADN，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．证明△CME∽△BAF，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）＝1，理由如下：
如图1，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∴AM＝HF，AN＝EG，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1．
故答案为：1；
（2）如图2，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝；
（3）如图3，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．
∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠ECM+∠CEM＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠CEM+∠ABF＝90°，
∴∠ECM＝∠ABF，
又∠FAB＝∠EMC＝90°，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
