20.2.1数据的集中趋势
一、选择题
1．近来华北大部分地区开始出现降雪，小康查看天气预报时发现未来一周的最高温度（单位：℃）为6，3，5，2，4，5，5，则以下数据正确的是（ ）
A．众数是5 B．中位数是2 C．极差是2 D．平均数是4
2．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩一样稳定
D．甲、乙无法比较
3．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为2，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
4．2020年春节新冠肺炎袭扰中国，习近平指挥全民战“疫”，全世界各国积极响应，纷纷捐款捐物献策，今年春节不串门，武汉加油显精神．科研人员夜以继日寻良药，白衣天使逆行而上抗病魔．某兴趣小组了解到一组关于新冠肺炎治愈的数据，从1月30日到2月4日的治愈人数不断增长，每日增长率分别为37.9%，42.1%，35.0%，44.8%，33.1%，41.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．方差是0 B．众数是42.0%
C．平均数是39.0% D．中位数是39.9%
5．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：186，188，190，192，194．现用一名身高为184cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差不变
C．平均数变小，方差变大 D．平均数不变，方差不变
6．宏博学校在春季运动会前期，从八年级四个班中各抽取了5名男子1500米选手的训练成绩，各班选手平均用时（分钟）及方差如表：
八（1） 八（2） 八（3） 八（4）
平均用时/分钟 5.5 5.5 5.5 5.5
方差 0.16 0.17 0.18 0.15
各班选手用时波动最小的是（ ）
A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）
7．通过统计甲、乙丙丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙丁三名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝24，S乙2＝18，S丙2＝21，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如表：
第一次 第二次 第三次 第四次
丁同学 100 100 110 110
则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．小明和小丽在计算一组数据的方差时，小丽计算的结果为a，小明把其中每个数据都加上2，算出的方差为b，则（ ）
A．b＝a B．b＝2a C．b＝a2 D．b＝4a
9．如图，是学校举行“爱国主义教育”比赛活动中获得前10名学生的参赛成绩，对于这些成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
10．甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，经过三轮比赛后，三人的成绩平均分相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5．你认为成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
12．抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．一组数据3，5，2，1，4的方差是 ．
14．一组数据的方差计算如下：S2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，则这组数据的和是 ．
15．张老师随机抽取6名学生，测试他们的文字输入能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100，80，80，90，60，70，那么这组数据的方差是 ．
16．已知一组数据x1，x2，x3，…xn的方差是3，则另一组数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的方差是 ．
17．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9
乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ．
18．2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示， 选手的成绩更稳定．
三、解答题
19．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）下面表格中，a＝ ；b＝ ；c＝ ；
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2）
小华 a 8 c
小亮 8 b 3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
20．博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 75 70 85 90
乙 85 82 75 78
（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分；
（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，学校决定选派成绩较为稳定的同学去参加比赛，你认为应选哪位同学？请说明理由．
21．县射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省里比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
（1）根据表格中数据，分别计算甲、乙的平均测试成绩是多少环？乙运动员测试数据的中位数是多少？
（2）分别计算甲、乙测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）的计算结果，你认为推荐谁参加省里比赛较合适？请说明理由．
22．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如表：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 人数 部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 2
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
部门 平均数 中位数 众数 方差
甲 78.3 77.5 m 33.61
乙 78 n 81 117.5
得出结论a．上表中m＝ ，n＝ ；
b．甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是 部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；
c．可以推断出 部门员工的生产技能水平较高，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
23．某学校在体育周活动中组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．
（2）求出下表中a，b，c的值．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
一班 a b 90 106.24
二班 87.6 80 c 138.24
（3）根据（2）中的数据，请你从平均数和方差的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析．
24．张老师对李华和刘强两位同学从数学运算、逻辑推理、直观想象和数据分析四个方面考核他们的数学素养，单项检测成绩（百分制）列表如下：
姓名 数学运算 逻辑推理 直观想象 数据分析
李华 86 85 80 85
刘强 74 87 87 84
（1）分别对两个人的检测成绩进行数据计算，补全下表：
姓名 平均分 中位数 众数 方差
李华 84 85 85
刘强 83 87 22.8
（2）你认为李华和刘强谁的数学素养更好？结合数据，从两个角度进行分析．
（3）若将数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析四个检测成绩分别按权重30%，40%，20%，10%的比例计算最终考核得分，请分别计算李华和刘强的最终得分．
25．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组的平均成绩为 分，甲组成绩的中位数是 ，
乙组成绩统计图中m＝ ，乙组成绩的众数是 ；
（2）根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．
答案
一、选择题
A．B．B．C．B．D．B．A．A．C．
填空题
11．甲． 12．乙． 13．2． 14．12． 15．．
16．12． 17．甲． 18．A．
三、解答题
19．解：（1）小华的平均成绩a＝（7+8+7+8+9+9）÷6＝8（环），
小华的方差c＝[（7﹣8）2×2+（8﹣8）2×2+（9﹣8）2×2]＝（环2），
把小亮的成绩从小到大排列为5，7，8，8，10，10，
则中位数b＝＝8（环），
故答案为：8，8，；
（2）∵小亮的方差是3，小华的方差是，即3＞，
又∵小亮的平均数和小华的平均数相等，
∴选择小华参赛．
（3）小亮再射击后的平均成绩是（8×6+7+9）÷8＝8（环），
射击后的方差是：[（5﹣8）2+（7﹣8）2×2+（9﹣8）2+（10﹣8）2×2]＝2.5（环2），
∵2.5＜3，
∴小亮这8次射击成绩的方差变小．
故答案为：变小．
20．解：（1）甲＝×（75+70+85+90）＝80，
乙＝×（75+78+85+82）＝80；
（2）∵S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩更稳定，应选派乙同学．
21．解：（1）＝×（10+8+9+8+10+9）＝9（环），
＝×（10+7+10+10+9+8）＝9（环），
乙的测试成绩由小到大为：7、8、9、10、10、10，
则乙的中位数是：＝9.5（环）．
（2）S甲2＝×[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝；
S乙2＝×[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]＝；
（3）∵甲、乙的测试平均成绩都是9环，而S甲2＝＜，即甲的成绩相对来说比较稳定，
∴推荐甲运动员参加省里比赛较合适．
22．解：a．由题中第一个表格可知：
甲中出现次数最多的是75，则众数为75，即m＝75；
由第二个表格可知：乙的第10和11个数据在80≤x≤89范围内；
再观察第一个表可知，第10个数为80，第11个数为81，故中位数为＝80.5，即n＝80.5．
故答案为：75，80.5；
b．∵甲的方差为33.61，乙的方差为117.5，
∴甲的方差＜乙的方差，
∴甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是甲部门；
∵成绩80分及以上为生产技能优秀，乙符合此条件的有10+2＝12（人），
∴估计乙部门生产技能优秀的员工人数为：400×＝240（人）．
故答案为：甲，240；
c．可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
故答案为：甲；①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
23．解：（1）一班C等级人数为25﹣（6+12+5）＝2（人），
补全条形图如下：
（2）一班成绩的平均数a＝＝87.6（分），中位数是第13个数据，即中位数b＝90分，
二班成绩的众数c＝100分；
（3）从平均数和方差的角度，一班和二班平均数相等，一班的方差小于二班的方差，故一班成绩好于二班．
24．解：（1）李华成绩的方差为×[（86﹣84）2+2×（85﹣84）2+（80﹣84）2]＝5.5，
刘强成绩的中位数为＝85.5，
补全表格如下：
姓名 平均分 中位数 众数 方差
李华 84 85 85 5.5
刘强 83 85.5 87 22.8
故答案为：5.5、85.5；
（2）李华的数学素养更好，
从平均数看，李华的平均分高于刘强，所以李华的平均成绩更好；
从方差看，李华的方差小于刘强，所以李华的成绩更加稳定（答案不唯一，合理均可）；
（3）李华的最终成绩为86×30%+85×40%+80×20%+85×10%＝84.3（分），
刘强的最终成绩为74×30%+87×40%+87×20%+84×10%＝82.8（分）．
25．解：（1）甲组的平均成绩为＝8.7（分），甲组成绩的中位数是＝8.5（分），
乙组成绩统计图中m＝20﹣（2+9+6）＝3，乙组成绩的众数是8分，
故答案为：8.7，8.5分，3，8分；
（2）乙组的成绩更加稳定，
甲组的方差为×[（7﹣8.7）2+9×（8﹣8.7）2+5×（9﹣8.7）2+5×（10﹣8.7）2]＝0.81，
乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），
乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵S乙2＜S甲2，
∴乙组的成绩更加稳定．
