2023年中考数学专项提升复习：二次函数的最值
一、单选题
1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值( )
A．-3 B．3 C．-6 D．9
3．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则 的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．
4．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段上移动．若点A、B的坐标分别为、，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿 方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做 ，交CD于F点，设点E运动路程为x， ，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是 ，则矩形ABCD的面积是( )
A． B． C．6 D．5
6．已知0≤x≤，则函数y=x2+x+1（ ）
A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值1
C．有最小值1，有最大值 D．无最小值，也无最大值
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
以下结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 ）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值 B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2 D．有最小值﹣1.5，有最大值2
10．如图，中，，点D是上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2 或 C．﹣4 或2 D．﹣2 或2
12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（ ）
A．4 B．－1 C．3 D．4或－1
二、填空题
13．二次函数 的最小值是 ．
14．当实数 满足 时，且代数式 取最大值－1时，则 的值为 ．
15．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2
y 0 4 6 6 4
从上表可知，下列说法中正确的是 ．(填写序号)
① 抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
② 抛物线的对称轴是直线 ； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k= ．
17．已知关于x的函数 ，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a= ．
18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为 .
三、综合题
19．已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 .
（1）试用含 的代数式表示 、 .
（2）当抛物线过点 时，求此抛物线的解析式.
（3）求当 取得最大值时的抛物线的顶点坐标.
20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．
（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF= ，∠AGH= °；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；
（3）设BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．
21．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN⊥x轴于点N，交BC于点P.
（1）填空：A（ ， ），C（ ， ）；
（2）探究△ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；
（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？
22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？
设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．
（1）根据题意，填写下表：
每件售价（元） 50 51 52 …… 50+x
每天售出商品的数量（件） 200 190 ……
每天售出商品的利润（元） 2000 2090 ……
（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ （m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】A
13．【答案】2
14．【答案】1或6
15．【答案】①③④
16．【答案】5
17．【答案】-4
18．【答案】1
19．【答案】（1）解：∵抛物线与 轴交于点
∴
∵对称轴为 ，
∴
∴
（2）解：∵抛物线过点 ，
∴
∴
∴
∴抛物线为
（3）解：∵
∴当 时， 的最大值为6；
∴抛物线
故抛物线的顶点坐标为
20．【答案】（1）1：3；90
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1，
∴CG=1，CH=3，
∵CG∥DF，CH∥BE，
∴△CGH∽△BGE∽△DFH，
∴ = = ，即 = = ，
解得BE=9，DF= ，
∴Rt△BEG中，EG= = =3
（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y，
∴CG=4﹣x，CH=4﹣y，
由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，
∴△ABG∽△GCH，
∴ = ，即 = ，
∴y与x之间的函数关系式为：y= x2﹣x+4，
∵ = ，
∴4﹣y= =﹣ +x，
∴当x=﹣ =2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣ ×4+2=1，
∴0＜4﹣y≤1，
解得3≤y＜4．
21．【答案】（1）-1；0；0；-2
（2）解：
∠AOC=∠COB=90°
∴
∴△AOC∽△COB
∴∠ACO=∠OBC
∠ACO+∠OCB=90°
∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB
∴Rt△ACB的外接圆圆心为AB的中点，
∵A（-1，0）B（4，0），
∴圆心的坐标（ ）.
（3）解：C（0，-2），B（4，0）
又∵直线BC解析式
，M（m， ）
PM=（ ）-（ ）
当m=2时，PM最大值=2.
22．【答案】（1）180；200﹣10x；2160；（200﹣10x）（10+x）
（2）解：y＝（200﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
∴当x＝5时，y取得最大值，此时y＝2250，
即y＝﹣10x2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元
23．【答案】（1）解：∵AB=xm，铝合金材料长为18m，
∴AD=BC=，
∴S＝x·＝x2+9x，
即S与x的函数表达式为：S＝x2+9x.
（2）解：由题意得：2≤x＜，
解得：2≤x＜3.6，
∵S＝x2+9x＝（x-3）2+，
∵＜0，对称轴是直线x＝3，且2≤x＜3.6，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝，
当x＝2时，S取得最小值，此时S＝（2-3）2+＝12，
答：窗户总面积S的最大值m2，最小值是12m2．
24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0，
△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，
∵方程有实数根，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m=1．
（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
图象如图所示：
平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．
（3）解：由 消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意△≥0，
∴36﹣4n﹣8≥0，
∴n≤7，
∵n≤m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，
∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，
n=7时，y′的值最大，最大值为21，
∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．
