2023 年中考网上阅卷第二次适应性考试
数 学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位
置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．）
1． 下列各数中，最小的数是
．－ A 2 B．－ 3 C．1 D．0
2． 下列运算正确的是
A．a＋ 2 2 4 8 8 2 6 3 23a＝4a B．2a ·3a ＝6a C．a ÷a ＝a D．(2a ) ＝ 5 4a
3． 若把一个数用科学记数法表示后为－ 53.96×10 ，则这个数是
A．－ 39600 B．－396000 C．0.0000396 D．0.00000396
4． 函数 y x 1中，自变量 x 的取值范围是
A．x≠1 B．x≠－1 C．x≥1 D．x≤1
5． 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm）， 6
根据图中所示数据可计算出该几何体的全面积为
10
A． 2 60π cm
． 2B 66π cm 主视图 左视图
． 2C 69π cm
2
D．78π cm
俯视图
6． 如图，在□ABCD 中，点 E，点 F 在对角线 AC 上．
（第 5 题）
要使△ADF≌△CBE，可添加下列选项中的
A
A．DF＝BE D
E
B．∠DAF＝∠BCE
F
C．AE＝CF
B C
D．AE＝EF
（第 6 题）
数学试卷 第 1 页（共 6 页）
7． 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图：
E
1
①分别以点 A，B 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N； C
2
D
②作直线 MN，交 AC 点 D；
M
③以 D 为圆心，BC 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 E；
A B
④连接 BD，BE． N
（第 7 题）
下列说法错误的是
1 2 CE 3
A．AD＝DE B．∠CBE＝ ∠A C．BC ＝AC·CD D． ＝
2 CD 5
2x＋3＞5，
8． 若关于 x 的不等式组 恰有一个整数解，则实数 a 的取值范围是
x－a≤0
A．2＜a≤3 B．2≤a＜3 C．2≤a≤3 D．2＜a＜3
9． 如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 为 AB 的中点， B
点 E 是边 AC 上一个动点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，
F D
DF 交边 BC 于点 F．设 AE 的长为 x，△DEF 的面积为 y，
s＝y－6，则 s 与 x 的函数图象大致为
C E A
（第 9 题）
s s s s
27 27 27 27
8 8 8
8
O 3 6 x O 3 6 x O 3 6 x O 3 6 x
A． B． C． D．
．已知实数 ， 满足 2 210 a b a b ＋2ab＋2a＋1＝0，则 2ab(ab＋2)＋(b＋1) ＋2a 的最小值为
3 3
A．－ B．－1 C． D．1
4 4
二、填空题（本大题共 8 小题，11～12 题每小题 3 分，13～18 题每小题 4 分，共 30 分．不需写出解答过
程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．正八边形每个外角的度数为 ▲ 度．
12．若 24a － 2b ＝12，2a－b＝4，则 2a＋b＝ ▲ ．
13．某公司销售“黄金 1 号”玉米种子，若一次购买不超过 2 千克的种子，则种子价格为 5 元/千克，若一次
购买 2 千克以上的种子，超过 2 千克部分的种子价格打 8 折．若一次购买 5 千克种子，需付款 ▲ 元．
数学试卷 第 2 页（共 6 页）
14．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 45°方向，距离灯塔30 2 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段
时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60°方向上的 B 处，此时 B 处与 A 处的距离为 ▲ 海里（结果保
留根号）．
15．我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖
进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几 ”译文：现在有一座门（矩形），不
知道高度和宽度．如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长
度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设
竹竿的长度为 x 尺，可列方程为 ▲ ．
16．如图，矩形 ABCD 中，点 E，点 F 分别在边 AB，BC 上，线段 AF 与线段 DE 相交于点 G，若 AB＝4，
BC＝6，AE＝BF＝3，则 FG 的长度为 ▲ ． y
C
北 A A D
D
A
45°
P G
E O x
东 60° B
B
F CB
（第 16 题）
（第 14 题）
（第 17 题）
k
17．如图，双曲线 y＝ 与直线 y＝x 相交于 A，B 两点，将直线 y＝x 向上平移 3 个单位长度，所得的直线
x
k
在第一象限内交双曲线 y＝ 于点 C，交 y 轴正半轴于点 D，若 OB＝2CD，则 k 的值为 ▲ ．
x
A D
18．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，点 F 为
边 AB 上的动点，以 EF 为一边在 EF 的右上方作等边三角形 FEG， G
当 CG 最小时，△ECG 的周长为 ▲ ． F
B E C
（第 18 题）
三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
19．（本小题满分 11 分）
2x y 4， 1 x2－2x＋1 1
（1）解方程组： ； （2）先化简，再求值： ( )÷ ，其中 x＝－2． 2
x 2y 5 x x －1 x 1
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20．（本小题满分 10 分）
国庆假期，小林和小明两家准备出去游玩，小林家准备从 A，B，C 这三条旅游线路中随机选择一条去
游玩，小明家准备从 B，C，D 这三条旅游线路中随机选择一条去游玩．
（1）小林家选择线路 A 的概率为 ▲ ；
（2）求小林和小明两家恰好选择同一条线路的概率．
21．（本小题满分 10 分）
如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，交 BF 于点 C，BD 平分∠ABC，交 AE 于点 D，连接 CD．
判定四边形 ABCD 的形状并说明理由．
A D E
B C F
（第 21 题）
22．（本小题满分 9 分）
某校举办知识抢答比赛，九（1）班组织甲、乙两组各 10 名同学进行班级内部初选，共 10 道选择题，
答对 8 题以上（含 8 题）为优秀，对数据进行收集、整理、分析如下：
表 1：甲、乙两组选手答题统计表
答对题数 5 6 7 8 9 10
甲组 1 0 1 5 2 1
乙组 0 0 4 3 2 1
表 2：甲、乙两组选手答题分析表
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
甲组 8 8 8 16 80%
乙组 8 a 7 1 b
（1）a＝ ▲ ，b＝ ▲ ；
（2）根据所学的统计知识，你认为哪组选手的成绩好，并写出至少两条你认为该组选手成绩好的理由．
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
23.（本小题满分 10 分）
如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直于半径 OC，垂足为 D，点 E 在 OC 的延长线上，且∠EAC＝∠CAB．
（1）求证：直线 AE 是⊙O 的切线；
B
1
（2）若 OE＝6， sin E＝ ，求图中阴影部分的面积．
2
O D C E
A
（第 23 题）
24.（本小题满分 12 分）
某商品每件进价 20 元，在试销阶段该商品的日销售量 y（件）与每件商品的日销售价 x（元）之间的
关系如图中的折线 ABC 所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于 45 元）．
（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）若日销售单价 x（元）为整数，则当日销售单价 x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？
最大利润是多少？
（3）若该商品每天的销售利润不低于 1200 元，求销售单价 x 的取值范围．
y（件）
200 A
B
100
C
40
O 20 30 45 x（元）
（第 24 题）
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25.（本小题满分 14 分）
矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8．点 E 为对角线 AC 上一点，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，EG⊥AC 交边
BC 于点 G，将△AEF 沿 AC 折叠得△AEH，连结 HG．
（1）如图 1，若 H 落在 BC 上时，求证 AH＝CH；
（2）如图 2，若 A，H，G 三点在同一条直线上，求 HG 的长；
（3）若△EHG 是以 EG 为腰的等腰三角形，求 EF 的长．
A F D A F D A D
E
E H
B H C B G C B C
G （第 25 题备用图）
（第 题图 ） （第 25 题图 2） 25 1
26.（本小题满分 14 分）
定义：在平面直角坐标系中，点 P（x1，y1）是图形 G1 上的任意一点，点 Q（x2，y2）是图形 G2 上的
任意一点，若存在直线 l：y＝kx＋b（k≠0）满足 y1≤kx1＋b 且 y2≥kx2＋b（或满足 y1≥kx1＋b 且 y2≤kx2
＋b），则称直线 l：y＝kx＋b（k≠0）是图形 G1 与 G2 的“界线”．
4
例如：直线 y＝－x＋4 是函数 y （x＞0）的图象与抛物线 ＝－ 2y x 的一条“界线”．
x
已知点 A（m，2），B（m，－2），C（m＋4，－2），D（m＋4，2）．
（1）若 m＝－2，在直线①y＝x＋3，②y＝－x＋4，③y＝－2x＋7 中，
6
是函数 y （x＞0）的图象与正方形 ABCD 的“界线”的有 ▲ （填序号）；
x
（2）若点 E 的坐标是（0，4），⊙E 的半径为 2 2 ，⊙E 与正方形 ABCD 的“界线”有且只有一条，
求“界线”l 的函数关系式；
2
（3）若存在直线 y＝2x＋b 是函数 y＝x ＋2x＋3（－2≤x≤2）的图象与正方形 ABCD 的“界线”，
求 m 的取值范围．
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数学试题参考答案与评分标准
说明：本评分标准每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评
分标准给分．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 A C B C D C D B A A
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 小题每小题 3 分，第 14～18 小题每小题 4 分，共
30 分）
11．45 12．3 13．22 14．30 10 3
2 2
15． x 2 x 4 x2
25
16． 17．4 18．5+ 7
11
三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分）
19．（本小题满分 11 分）
（1）解：①×2，得 4x＋2y＝8③，
③－②，得：3x＝3，x＝1， ······························································ 2 分
把 x＝1 代入①，得：2＋y＝4，y＝2， ···················································· 4 分
x 1，
所以方程组的解为： ． ······························································· 5 分
y 2
1 x－1 1
（2）解：原式＝ ÷ ························································ 7 分
x x+1 x 1
x 1 x(x－1）
＝ · (x 1)
x(x 1)
x2 1
＝ ····································································· 9 分
x
4 1 5
当 x＝－2 时，原式＝ ＝ ． ··················································· 11 分
2 2
20．（本小题满分 10 分）
1
解：（1） ； ··························································································· 3 分
3
（2）画树状图如下：
小林 A B C
小明 B C D B C D B C D
····················1······· ········ ········1······ ········ ·······1······ ········ ··················6 分
由树状图可知，两1 家选择线路共有19 种等可能的结1果 ．
其中小林和小明两家恰好选择同一条线路的结果有 2 种．·······················8 分
∴P(小林和小明两家恰好选择同一条线路)＝ 2 ． ···································10 分
9
数学试题参考答案与评分标准 第 1 页（共 5 页）
21．（本小题满分 10 分）
解：四边形 ABCD 为菱形． ······································································· 1 分
理由：∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC， ············································ 2 分
∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB， ········································································ 3 分
∴BA＝BC． ·················································································· 4 分
同理，BA＝DA，
∴DA＝BC． ·················································································· 6 分
又∵DA∥BC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形． ··························································· 8 分
又∵BA＝BC，
∴□ABCD 是菱形． ······································································· 10 分
22．（本小题满分 9 分）
解：（1）8，60%； ·············································································· 4 分
（2）我认为甲组选手的成绩好． ······················································· 5 分
①两组平均数和中位数一样，但甲组的众数高，甲组的成绩较好；
②甲组优秀率高，优秀的学生多，甲组的成绩较好．······························ 9 分
（从两个方面进行合理分析即给分）
23．（本小题满分 10 分）
解：（1）连接 OA． ·············································· 1 分
B
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA． ·················· 2 分
O D C E ∵OC⊥AB，∴∠ADC＝90°,
∴∠OCA＋∠CAB＝90°．
A
又∵∠EAC＝∠CAB，∠OAC＝∠OCA．
（第 23 题答图）
∴ OAC EAC 90 ， ································ 4 分
∴∠OAE＝90°，∴AE⊥OA．
又∵OA 是⊙O 的半径，∴直线 AE 是⊙O 的切线． ················· 5 分
（2）连接 OB．
OA 1
∵在 Rt△OAE 中，sin∠E＝ ，∴∠E＝30°，OA 1 OE 3． ·················· 6 分
OE 2 2
∴∠AOC＝60°．又∵OA＝OC，∴△OAC 是等边三角形．
又∵弦 AB 垂直于半径 OC，∴OD＝DC，AD＝BD， AC=BC ．
∴S△OBD＝S△CAD，∠BOC＝∠AOC＝60°． ··················································· 8 分
2
∴S 阴影＝S 60 3 3 扇形 BOC＝ ＝ ． ···························································· 10 分
360 2
数学试题参考答案与评分标准 第 2 页（共 5 页）
24．（本小题满分 12 分）
200 10(x 20) 10x 400（20≤ x≤30）,
解：（1） y ·································· 4 分
100 4(x 30) 4x 220（30＜x≤ 45）.
（2）设该商品每天的销售利润为 W 元．
在 20≤x≤30 时，W＝(x－ 220)(－10x＋400) ＝－10x ＋600x－8000，
当 x＝30 时，W 最大值＝1000； ······················································· 6 分
在 230＜x≤45 时，W＝(x－20)(－4x＋220) ＝－4x ＋300x－4400，
b 75
∵对称轴：x= = ，且 x 为整数，
2a 2
∴当 x=37 或 38 时，W 最大值＝1224． ··········································· 8 分
∵1000＜1224，
∴当销售单价 x 为 37 或 38 元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为
1224 元． ············································································ 9 分
2
（3）令 W＝1200，－4x ＋300x－4400＝1200，
x1=35，x2=40， ································································ 11 分
∴结合函数图象可得 35≤x≤40． ········································ 12 分
25．（本小题满分 14 分）
A F D 解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠ACH． ··································· 1 分
E ∵△AHE 由△AFE 折叠得到，
∴∠HAC＝∠DAE． ······································ 2 分
B H G C
（第25题图1） ∴∠HAC＝∠ACH． ······································ 3 分
∴AH＝CH． ················································· 4 分
A F D
（2）∵矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8．
E ∴AC＝10．
H 当 A，H，G 三点在同一条直线上时，
B G C ∠EHG＝90°．
（第25题图2）
同（1）可得 AG＝CG．
又∵EG⊥AC，∴AE＝ 1 AC＝5． ······················································ 5 分
2
∵∠AEH＋∠HEG＝90°，∠AEH＋∠HAE＝90°，
∴∠HEG＝∠HAC＝∠CAD．
数学试题参考答案与评分标准 第 3 页（共 5 页）
EG 3
∵在 Rt△AEG 中，tan∠EAG＝ ，∴EG＝ 3 AE ＝15 ． ··············· 7 分
AE 4 4 4
HG 3
∵在 Rt△HEG 中，sin∠HEG＝ ，∴HG＝ 3 EG ＝ 9 ．················ 9 分
EG 5 5 4
A F D （3）①若 EH＝EG，如图 3①．
设 EF＝EH＝EG＝3x，
E 由∠CEG＝∠HAE＝∠FAE，
H
易得 CE＝4x，AE＝5x，
B G C
10
（第 25 题图 3①） ∴CE＋AE＝9x＝10，∴x＝ ，
9
A F D 10∴ EF 3x ． ··························· 12 分
3
②若 HG＝GE，如图 3②．
M E
作 GM⊥HE 于点 M，则 EH＝2EM．
H
B G C 设 EG＝3x，则 CE＝4x，
（第 25 题图 3②）
由∠HEG＝∠HAE＝∠CEG＝∠FAE，
12 24
易得 EM＝ 4 EG ＝ x，EF＝EH＝2EM＝ x，AE＝8x，
5 5 5
5 24
∴CE＋AE＝4x＋8x＝10，∴x＝ ，∴ EF x 4． ·········································· 14 分
6 5
10
综上， EF 或 4．（只对一个得 3 分）
3
26．（本小题满分 14 分）
解：（1）②； ·································································································· 4 分
（2）∵⊙E 与正方形 ABCD 的“界线”有且只有一条，
∴⊙E 与正方形 ABCD 有且只有一个公共点，
如图，当正方形 ABCD 与⊙E 唯一公共点是点 A 时，过点 A 作 AF y轴于点 F，连接 EA，
y
∵⊙E 的半径为 2 2 ，∴EA= 2 2 ，
∵A（m，2），E（0，4），∴OF＝2，OE＝4，∴EF＝2， E
D
F
∴AF＝ (2 2)2 22 2 ，∴A（2，2）， A
O x
∵直线 l 是⊙E 与正方形 ABCD 的唯一“界线”，
B C
∴直线 l 与⊙E 相切且经过点 A，∴直线 l⊥AE，∴直线 l 经过 O，A 两点，
数学试题参考答案与评分标准 第 4 页（共 5 页）
∴直线 l 的解析式为 y x ； ············································································ 7 分
当公共点是点 D 时，同理可得直线 l 的解析式为 y x． ······································ 10 分
综上，界线 l 的解析式为 y x 或 y x．
y 2x b
（3）①由 ，得 x
2 3 b 0，
y x
2 2x 3
若直线与抛物线有唯一公共点，∴△＝ 4(3 b) 0，∴b 3，
1
∴ y 2x 3，当 y 2 时， x ，
2
1
∵若存在直线 y＝2x＋b 是“界线”，∴m≥ ； ················································· 12 分
2
②对于抛物线 y x2 2x 3，当 x 2时， y 3，
若直线 y 2x b恰好经过点 ( 2,3)，可得 b＝7，∴此时直线为 y 2x 7 ．
9
对于直线 y 2x 7 ，当 y 2时， x ，
2
9 17
∵若存在直线 y＝2x＋b 是“界线”，∴m 4≤ ，解得m≤ ；
2 2
1 17
综上所述，m≥ 或m≤ ． ······································································ 14 分
2 2
数学试题参考答案与评分标准 第 5 页（共 5 页）
