人教B版（2019）选择性必修第二册《4.2.4 随机变量的数字特征》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知随机变量，若，则，分别是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2.（5分）某班名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为，且彼此相互独立，若为名同学通过测试的人数，则的值为
A. B. C. D.
3.（5分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，现从中有放回的摸取次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.（5分）已知随机变量，则等于
A. B. C. D.
5.（5分）有件产品，其中件是次品，从这件产品中任取两件，用表示取到次品的件数，则等于
A. B. C. D.
6.（5分）设离散型随机变量的分布列为，，，则
A. B. C. D.
7.（5分）某次考试共有道选择题，每道选择题的分值为分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对道选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对道选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，两人均做完了道题，则两人得分方差的差一的值为
A. B. C. D.
8.（5分）已知，，，，设，，，，，，若随机变量，，满足：，则
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知随机变量满足，，下列说法正确的是
A. B.
C. D.
10.（5分）已知的分布列为
则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
11.（5分）已知件产品中存在次品，从中抽取件，记次品数为，，，则下列说法正确的是
A. 这件产品的次品率为 B. 次品数为件
C. D.
12.（5分）已知随机变量的分布列如下，，则正确的有
A. B. C. D.
13.（5分）多选已知的分布列为
则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）一个口袋中装有大小相同的个黑球和个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是__________；若表示摸出黑球的个数，则__________.
15.（5分）甲、乙两人进行局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为，则______ ，______ ，______ .
16.（5分）已知某离散型随机变量服从的分布列如表所示，则随机变量的方差等于________.
17.（5分）一个碗中有个筹码，其中个都标有元，个都标有元，某人从此碗中随机抽取个筹码，若他获得的奖金数等于所抽个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为______．
18.（5分）全民全运，同心同行，为迎接全国第十四届城市运动会，某中学将排球发球项目考试的规则修改为：每位同学最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的期望，则的取值范围是________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.
现有运动员甲，乙二人在赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如表：
分站 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
第次 第次 第次 第次 第次 第次
第站
第站
第站
第站
第站
假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立.
从如表站中随机选取站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
从如表站中任意选取站，用表示这站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；
假如从甲、乙人中推荐人参加年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.
注：方差…，其中为，，…，的平均数
20.（12分）某学校名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在秒到秒之间，现抽取其中个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组第二组第六组，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
请估计该校名学生中，成绩属于第三组的人数；
若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第六组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第六组中各抽取名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为，求的分布列和期望．
21.（12分）顺义区教委对本区高一，高二年级学生体质健康测试成绩进行抽样分析．学生测试成绩满分为分，分及以上为优秀，分以下为不及格．先从两个年级各抽取名学生的测试成绩．其中高一年级学生测试成绩统计结果如图，高二年级学生测试成绩统计结果如表．
分组 人数
求图中的值；
Ⅱ为了调查测试成级不及格的同学的具体情况，决定从样本中不及格的学生中抽取人，用表示抽取的人中高二年级的学生人数．求的分布列及均值；
Ⅲ若用以上抽样数据估计全区学生体质健康情况．用表示从全区高二年级全部学生中任取人中成绩优秀的人数，求的值；
Ⅳ用，，分别表示样本中高一，高二年级学生测试成绩的方差，比较其大小只需写出结果．
22.（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值.
求；
设，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励万元，平局双方都将获得奖励万元，败方将无奖励经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望.
23.（12分）某篮球队与其他支篮球队依次进行场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是．
求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
求这支篮球队在场比赛中恰好胜了场的概率；
求这支篮球队在场比赛中胜场数的期望和方差．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了二项分布和离散型随机变量的期望与方差，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中.
先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解即可．
解：由题意，知随机变量服从二项分布，，，
则均值，方差，
又，
，
，
故选
2.【答案】A;
【解析】解：每位同学能通过该测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，
，
则的方差，
故选：．
由题意知，根据方差的公式进行求解即可．
这道题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到是解决本题的关键．
3.【答案】C;
【解析】解：在一个箱子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，
现从中有放回的摸取次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，
则，，
，，
，，
，．
故选：．
推导出，，由此得到，．
该题考查离散型随机变量的数学期望、方差的求法及应用，考查二项公布的性质等基础知识，考查对立事件概率计算公式运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4.【答案】C;
【解析】解：随机变量，
，
．
故选：．
由随机变量，，由此能求出结果．
这道题主要考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：的可能取值为，，，
，，．
．
故选：．
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出数学期望．
该题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．
6.【答案】C;
【解析】解：由题意可得，，
则
故选：
根据已知条件，结合期望公式，以及期望的线性公式，即可求解．
此题主要考查期望公式，以及期望的线性公式，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设学生答对题的个数为，得分，则，同理，设学生答对题的个数为，得分，则，利用二项分布列的性质即可得出结果．
解：设学生答对题的个数为，得分，则，因此，
设学生答对题的个数为，得分，则，因此，
所以
故选
8.【答案】B;
【解析】解：，
，
，，距，，，较近，
所以，
同理，
故D ，
故选：．
计算可得，进而得到，同理，
该题考查离散型随机变量的期望与方差的关系，属于中档题．
9.【答案】BC;
【解析】解：随机变量满足，，
，，
故选：
利用离散型随机变量的期望与方差的性质求解即可．
此题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的概率其分布列，数学期望，属基础题.
由可得，根据选项逐一计算即可判定.解：由分布列的性质可知，即，
，故正确
，故正确
，故不正确
11.【答案】ACD;
【解析】解：假设有件次品，件正品，由题意可得：
，
解得：，次品数为件不正确，
据此可得选项错误，
这件产品的次品率为，即，
据此可得选项正确，
，
则，
据此可得选项正确，
，
据此可得选项正确．
故选：
由题意列出方程得到的值，然后考查所给的选项是否正确即可．
此题主要考查超几何分布的计算公式，超几何分布的均值、方差的计算等知识，属于中等题．
12.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望，属基础题.
查离散型随机变量的分布列中概率和为可得，再由离散型随机变量的期望公式运算即可求解得
解：由题意得：，解得：
又，解得：
故选：
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是基础题，解题时要注意分布列的性质的灵活运用．
利用的分布列，分别求出，由此能求出结果．
解：由，知正确
由，知错误
因为的分布列为：
所以，故正确
，故错误.
故选
14.【答案】
;略;
【解析】
此题主要考查古典概型的计算依据以及离散型随机变量的期望计算，属于基础题.
【解析】
从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是
可取，
，
，
，
故答案为
15.【答案】；；;略;略;
【解析】解：甲、乙两人进行局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为，
，
，
，
故答案为：
由题意，由此能求出，，
此题主要考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题．
由离散型随机变量服从的分布列，求出，从而得到，由此能求出
解：由离散型随机变量服从的分布列知：
，解得，
，
故答案为
17.【答案】;
【解析】
获得奖金数为随机变量，则，，，，得到的分布列，然后求解期望即可．
该题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
解：获得奖金数为随机变量，则，，，，所以的分布列为：
．
故答案为：
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
根据题意，首先求出、、时的概率，进而可得的表达式，由题意，可得，解可得的范围，结合的实际意义，对求得的范围可得答案.
解：由已知条件可得
，
，
，
则，
解得或，又由，得
故答案为：
19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为：
甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；
乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，
所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为=；
（Ⅱ）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，
所以P（X=0）==，
P（X=1）=，
P（X=2）==，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
期望为E（X）==；
（Ⅲ）由可知（Ⅰ），
甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；
乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，
所以甲的平均成绩为88.4，乙的平均成绩也为88.4，
又甲的方差为[（86.20-88.40）2+（92.80-88.40）2+（87.50-88.40）2
+（89.50-88.40）2+（86.00-88.40）2]=6.3960，
乙的方差为[（88.40-88.40）2+（88.60-88.40）2+（89.10-88.40）2
+（88.20-88.40）2+（87.70-88.40）2]=0.2120，
所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加．;
【解析】
由题意，分别列出甲乙两人在五站中的最好成绩，然后利用概率的计算公式求解即可；
先确定的可能取值，然后分别求出对应的概率，列出分布列，再由数学期望的计算公式求解即可；
分别求出甲和乙的平均数和方差，然后比较即可．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为，
故可估计该校名学生成绩属于第三组的共有人
第一组的人数为，其中男生人，女生人，
第六组的人数为，其中名男生，名女生，
故的可能取值为，，，，
，
，
的分布列为：
故 ;
【解析】此题主要考查频率分布直方图和分布列以及数学期望，属于中档题.
由频率分布直方图，由此能求出成绩属于第三组的人数． 由此得的可能取值为，，，分别求出相应的概率，从而能求出的分布列和期望．
21.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：
（0.005+0.015×2+0.035）×10=0.7，
∴a==0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得高一学生不及格学生人数为0.005×10×100=5人，
由频数分布表得高二学生不及格人数为2人，
由题意得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）==．
（Ⅲ）高二100名学生中有优秀学生20人，
∴总体优秀率为P=，
∴用Y表示从全区高二年级全部学生中任取3人中成绩优秀的人数，
则Y～B（3，），
则EY=3×=．
（Ⅳ）DX1＜DX2．;
【解析】
Ⅰ由频率分布直方图的性质能求出的值．
Ⅱ由频率分布直方图得高一学生不及格学生人数为人，由频数分布表得高二学生不及格人数为人，由题意得的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
Ⅲ高二名学生中有优秀学生人，总体优秀率为，推导出，由此能求出．
Ⅳ．
该题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查频率分布直方图、古典概型、二项分布等基础知识，考查学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．
22.【答案】解：（1）f（p）==，
因为当0＜p＜1，所以当时，f（p）取得最大值，则；
（2）因为p=，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，
所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，
当甲连赢两场时，X=10，且P（X=10）==，
当甲赢一场平一场时，X=5，且P（X=5）==，
当甲赢一场输一场或两队连平两场时，X=0，且P（X=0）==，
当甲输一场平一场时，X=-5，且P（X=-5）==，当甲连输两场时，X=-10，且P（X=-10）==，
所以X的分布列为：
X 10 5 0 -5 -10
P
故X的数学期望为E（X）=10×+5×+0×-5×-10×=．;
【解析】
利用概率的公式求出的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；
先确定的可能取值，分别求出对应的概率，然后列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：（1）设“这支篮球队首次胜场前已经负了两场”为事件A，则P（A）==；
（2）设“这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场”为事件B，则P（B）==．
（3）由题意可得：这支篮球队在6场比赛中胜场数为X，则X～B，P（X=k）=，
（k=0，1，2，3，4，5，6）．
∴E（X）==2，D（X）==．;
【解析】
设“这支篮球队首次胜场前已经负了两场”为事件，则；
设“这支篮球队在场比赛中恰好胜了场”为事件，则．
由题意可得：这支篮球队在场比赛中胜场数为，则，，即可得出．
该题考查了二项分布列的概率数学期望及其方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
