人教B版（2019）选择性必修第二册《3.1 排列与组合》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）从名同学中选人分别到、、、四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人中甲、乙两人不去城市游览，则不同的选择方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.（5分）将六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求必须在同一组，且每组至少人，则不同的分配方法有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
3.（5分）校园歌手大赛共有名同学成功进人决赛，其中名男同学，名女同学现在他们站成一排合影留念，要求名男同学站在两端，则有种不同的站法.
A. B. C. D.
4.（5分）将甲、乙、丙、丁、戊名护士派往所医院含医院，每所医院派名护士，则甲和乙都不派往医院的总派法数为
A. B. C. D.
5.（5分）已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.（5分）甲、乙、丙、丁、戊名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第名到第名的名次．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第名”；对乙说“你当然不会是最差的”．则这名同学所有可能的比赛名次共
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.（5分）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）如下的四个命题中是真命题的为
A.
B.
C.
D. 的展开式中二项式系数的和为
10.（5分）某大型商场有三个入口，春节过后，客流量大增，为做好防疫工作，拟增派人去入口处为顾客测体温，则下列选项正确的是
A. 若在正式上岗前，个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有种不同的选择结果
B. 若每个入口派人，则有种不同的选派方案
C. 若两个入口各派人，一个入口派人，则有种不同的选派方案
D. 若一个入口派人，一个入口派人，一个入口派人，则有种不同的选派方案
11.（5分）若，则下列选项正确的是
A.
B.
C.
D.
12.（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》《孙子算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》本书分给名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为
A.
B.
C.
D.
13.（5分）由，，，，，组成的无重复数字的五位数的四数，则
A. 若五位数的个位数是，则可组成个无重复数字的五位数的偶数
B. 若五位数的个位数是，则可组成个无重复数字的五位数的偶数
C. 若五位数的个位数是，则可组成个无重复数字的五位数的偶数
D. 总共可组成个无重复数字的五位数的偶数
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）次投篮中，投中次，其中恰有个连中和个连中的情形有______种用数字作答．
15.（5分）若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为______
从名志愿者中选出人，分别参加两项公益活动，每项活动至少人，则不同安排方案的种数为____。用数字作答
16.（5分）将名男生和名女生排成一行，要求男生相邻、女生相邻，则不同的排列方法共有__________种。用数字作答
17.（5分）从正方体八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形个数为______.
18.（5分）用，，，，这五个数字，可以组成 ______ 个三位正整数.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）有本不同的书，分给甲、乙、丙三位同学，有多少种不同的分法
有本不同的书，分给甲、乙、丙三位同学，每个人至少一本书，至多两本，有多少种不同的分法
最后结果为具体数字
20.（12分）名师生站成一排照相留念，其中老师人，男生人，女生人，在下列情况下，各有不同站法多少种？写出必要的解答过程
两个女生必须相邻而站；
名男生互不相邻；
若名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；
老师不站中间，女生不站两端．
21.（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在两组内的学生中，按等比例分层抽样方法抽取了位学生进行跟踪调查.
求图中的值并估算这位学生学均时长；
若从上述位学生中随机抽取位家访，求这位学生来自不同组别的概率.
22.（12分）有本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
如果每人得两本，有多少种不同的分法？
如果一个人得本，一个人得本，一个人得本，有多少种不同的分法？
如果把这本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？
23.（12分）求的值
设，，，求证：…
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查分步计数问题，属于基础题．
先安排城市的游览方法，甲、乙两人都不能参加城市的游览方法有种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分步计数原理得到结果．
解：先安排城市的游览方法，有种，再安排城市的游览方法，有种，
再安排城市的游览方法，有种，再安排城市的游览方法，有种．
根据分步计数原理，不同的选择方案有种，
故选
2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查排列、组合的综合应用及分类加法计数原理，根据题意，按分成个组的人数分种情况讨论：①，在一组，，，，都分在另一组，②，，，中取出人，与、一组，剩下人一组，③，，，中取出人，与、一组，剩下人一组，分别求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．
解： 根据题意，分种情况讨论：
①，在一组，，，，都分在另一组，将两组全排列，对应两个不同的地点，有种分配方法；
②，，，中取出人，与、一组，剩下人一组，再将两组全排列，对应两个不同的地点，有种分配方法；
③，，，中取出人，与、一组，剩下人一组，再将两组全排列，对应两个不同的地点，有种分配方法；
故一共有种分配方法；
故选
3.【答案】C;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①将名男生安排在两端，有种排法，
②将名女生安排在中间三个位置，有种排法，
则有种排法；
故选：
根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】解：先从丙、丁、戊中任选人派往医院有种选法，再把剩余的人派往另外的所医院，每所医院派名护士，有种选法，所以总派法数为，
故选：．
先从丙、丁、戊中任选人派往医院，再把剩余的人派往另外的所医院，每所医院派名护士，最后利用乘法原理求出结果．
这道题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了排列与排列数公式，属于基础题.解：由题意可得不同的采访顺序有种.
6.【答案】C;
【解析】
此题主要考查排列组合的综合应用，属于基础题．
对甲的名次进行分类，再分别得出结果相加即可．
解：依题意，甲不是第一名，乙不是最后一名，且甲比乙好，
当甲是第二名时，共有种排法，
当甲是第三名时，共有种法，
则这名同学所有可能的比赛名次共种．
故选
7.【答案】C;
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
当甲排在第一位时，将丙、丁看成一个整体，再与乙人全排列，有种发言顺序，
当甲排在第二位时，则乙安排在第一位，将丙、丁看成一个整体，有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序；
故选：
根据题意，按甲排在第一位和第二位分种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】
该题考查排列和分步乘法的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．
根据题意，分 步进行分析：由于老师站在正中间，易得其站法数目，将四名学生全排列，安排在两边的 个位置，由排列数公式可得学生的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分 步进行分析：
、老师站在正中间，有 种情况，
、将四名学生全排列，安排在两边的 个位置，有 种排法，
则 人不同的站法有 种；
故选 C．
9.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查组合数公式、组合数性质、二项式定理的应用，属基础题.
由组合数运算公式及二项式定理逐项判断可得答案．
解：因为，故错误；
，故正确；
，故正确；
由二项式定理可得，的展开式中二项式系数的和为，故正确.
故选：
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查排列组合的综合应用.
利用排列组合知识，对每个选项，逐项分析，即可得解.
解：在正式上岗前，个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有种不同的选择结果，故错误；
若每个入口派人，则有种不同的选派方案，故正确；
若两个入口各派人，一个入口派人，则有种不同的选派方案，故错误；
若一个入口派人，一个入口派人，一个入口派人，则有种不同的选派方案，故正确.
故选
11.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查二项式展开式的性质，赋值法是求有关系数或系数和常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.
令，求出，可判断选项；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项；
令，求出，结合值，可判断选项；利用展开式可得，令结合值，可判断选项
解：，
令，，所以选项正确
，
五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，
一个取其它四个因式取，或两个因式取其它三个因式取，
所以，所以选项不正确
令，，，
所以选项不正确；
根据展开式的通项可得，为正数，
为负数，
所以，
令，得，
，所以选项正确.
故选：
12.【答案】BD;
【解析】解：本分给名数学爱好者，每人至少一本，
则把本书为和，再分配给名数学爱好者，故有种，
或
故选：
本分给名数学爱好者，每人至少一本，则把本书为本书为和，再分配给名数学爱好者，
此题主要考查了分组分配问题，关键是如何分配，属于基础题．
13.【答案】AB;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若五位数的个位数是，将、、、全排列，安排在前个数位，有个无重复数字的五位数的偶数，正确；
对于，若五位数的个位数是，不能在万位，有个个无重复数字的五位数的偶数，正确；
对于，由的结论，错误；
对于，若五位数的个位数是，可以有个无重复数字的五位数的偶数，若五位数的个位数是，可以有个无重复数字的五位数的偶数，
则一共有个无重复数字的五位数的偶数，错误；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】30;
【解析】解：将恰有个连中和个连中的分别看作个复合元素，插入到没有投中所排列后所成个空中，故有，
故答案为：．
利抽空法，将恰有个连中和个连中的分别看作个复合元素，插入到没有投中所排列后所成个空中，问题得以解决．
此题主要考查排列数的应用，解题时要注意插空法的合理运用．
15.【答案】;略;
【解析】解：的展开式中通项公式为
，
令，解得，其中，，，…，；
当时，；
所以的最小值为
根据题意，分步进行分析：
①，从名志愿者中选出人，有种选法，
②，将选出的人分成组，分别参加两项公益活动，有种情况，
则有种不同的安排方案，
故答案为：，
根据二项式展开式的通项公式，令的指数等于，求出、的关系，即可求出的最小值；
根据题意，分步进行分析：①，从名志愿者中选出人，②，将选出的人分成组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案
本题第一问考查了利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项问题，是基础题．第二问考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，也属于基础题．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查排列和分布计数原理的应用，属较易题.
先将男女生看成个元素排列，再男女生各自排列，即可求出.
解：男生相邻、女生相邻，
先将男生女生分别看成一个元素排位置有种不同的排法，
再在内部将男生和女生分别排列有种不同的排法，
不同的排列方法共有种不同的排法.
故答案为
17.【答案】48;
【解析】解：正方体有六个表面和六个对角面，共个面．
每个面有个顶点，任取其中个都可以组成直角三角形，则每个面可以做个直角三角形；
则共有直角三角形个；
故答案为
根据题意，分析可得从正方体八个顶点中取三个点为顶点作三角形，如果这个三角形为直角三角形，则这三个点必在正方体的同一个表面或对角面上，易得正方体的表面、对角面的个数，由组合数公式计算可得每个面可以做直角三角形的数目，用面的个数乘以每个面可以做直角三角形的数目即可得答案．
此题主要考查排列、组合的应用与正方体的几何结构，关键是分析得到直角三角形的定点可能在的位置．
18.【答案】100;
【解析】解：因为不能在百位，故百位有种选择，十位和个位各有种选择，
故可以组成个三位正整数，
故答案为：
根据分步计数原理可得，注意不能在百位．
此题主要考查了分步计数原理，属于基础题．
19.【答案】解：本不同的书，分给甲、乙、丙三位同学，其中一位同学得两本，
先把书分成三份，再分给甲、乙、丙三位同学，
则有种不同的分法.
本不同的书，分给甲、乙、丙三位同学，每个人至少一本书，至多两本，
其中一人一本，另两人每人两本，则有种不同的分法.;
【解析】此题主要考查排列组合的综合应用，属于中档题.
在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．
先把书分成三份，再分给甲、乙、丙三位同学，即可求解；
先把 本书中的两本捆起来看做一个元素，再把剩余三本中的两本捆起来看做一个元素，除以重复的再全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．
20.【答案】解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A22种顺序，
将6个元素进行全排列，有A66种情况，
则共有A66A22=1440种不同站法；
（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A33种情况，
排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A44种情况，
共有A33A44=144种不同站法；
（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A73种情况，
若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，
则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况，
则共有1×A73=210种不同站法；
（4）根据题意，分2种情况讨论：
①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A52种站法，男生站剩余的4个位置，有A44种站法，
此时有2×A52×A44=960种不同站法，
②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A42种站法，男生站剩余的4个位置，有A44种站法，
此时共有4×A42×A44=1152种不同站法，
则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．;
【解析】
根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，先在个空位中任选个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有种站法，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，分种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．
该题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法．
21.【答案】解：由频率分布直方图的性质得：，
解得，
估算这位学生学均时长为：
小时；
根据分层抽样可得，
学习时长在的学生中抽取：位，
学习时长在的学生中抽取：位，
从这位学生中随机抽取位家访，
基本事件总数，
这位学生来自不同组别包含的基本事件个数，
这位学生来自不同组别的概率;
【解析】
此题主要考查频率分布直方图的相关知识点，以及分层抽样、古典概型的计算等.
由题可得，可求得，根据公式估算出平均数；
根据分层抽样求出两组内的学生人数，结合组合数公式与古典概型的概率计算公式即可求出结论．
22.【答案】解：由题意得，
假设甲先拿，则甲从本不同的书中选取本有种分法，
不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有种，此时剩下的两本书自然给丙，
有分步乘法计数原理得一共有种不同的分法.
先假设甲得本，乙得本，丙得本则有种分法.
一共有种分法.
把本书分成三堆，每堆本，与次序无关所以一共有种不同的分法.;
【解析】
此题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力，属于基础题．
由题意得，直接运用分步乘法原理化简即可求解；
由题意得，直接运用排列组合公式化简即可求解；
由题意得，直接运用排列组合公式化简即可求解.
23.【答案】解：
当时，结论显然成立当时，，，，…，
又因为，
所以，
所以;
【解析】
此题主要考查了组合与组合数公式.
利用组合数公式计算得结论
利用组合数公式，结合裂项相消法计算得结论.
