中考数学几何模型
第二十七节:二次函数线段和周长最值问题
468.二次函数三角形周长最小值(初三)
已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等,如图,点的坐标为是抛物线上一个动点,则周长的最小值是
A.3
B.4
C.5
D.6
469.二次函数线段最大值(初三)
如图,二次函数的图象过三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段的垂直平分线与轴交于点,与二次函数的图象在轴上方的部分相交于点,求直线CD的解析式;
(3)在直线下方的二次函数的图象上有一动点,过点作轴,交直线于,当线段的长最大时,求点的坐标.
470.二次函数三角形周长最小值(初三)
如图,抛物线的顶点为,与轴交于点,点为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线1是过点且垂直于轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线1的距离为,求证:;
(3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点的坐标.
471.二次函数三角形相似造桥选址周长最小值问题(初三)
如图,已知二次函数的图象与轴交于和两点,与轴交于,-3),对称轴为直线,直线经过点,且与轴交于点,与抛物线交于点,与对称轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和的值;
(2)在轴上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线上有两点(在的左侧),且,若将线段在直线上平移,当它移动到某一位置时,四边形MEFN的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
答案
468.【解】周长,
,
由两点距离公式可得:,为定值
只有当取最小值时,周长最小.
,当三点共线,且垂直轴时,有最小值,过点作轴于点是FP+MP的最小值,,
周长的最小值.故选:.
469.【解】(1)将点的坐标代入抛物线表达式得
,解得
故抛物线的表达式为:;
(2)由点的坐标知,直线的倾斜角为,即,
则,
,则与轴的夹角为,故设的表达式为:,
而中点的坐标为,将该点坐标代入表达式并解得:,
故直线的表达式为:;
(3)设点,则点,
则
,故有最大值,此时点的坐标为.
470.(1)【解】由题意抛物线的顶点,
可以假设抛物线的解析式为,
抛物线经过
抛物线的解析式为.
(2)证明:如图1,过点作于.
,
,
,
,
,
,,
.
(3)如图2,过点作直线于,过点作直线
的周长,
是定值,
的值最小时,的周长最小,
由(2)可知,
根据垂线段最短可知,当共线时,的值最小,
此时点与重合,点在线段上,
的最小值,即为的值等于6,
的周长的最小值为,此时.
471.【解】(1)抛物线的对称轴,与轴的交点为,
设抛物线的解析式为,
把代入得到,,
抛物线的解析式为.
直线经过点,
.
(2)如图1中,存在两种情况:直线的解析式为,
直线交轴于,与抛物线交于点,
,由,解得:
即点,或,
①.过点作轴于.
,
.
②.过点作交轴于,同法可证,
,
,14.5)
综上所述,满足条件的点的坐标为或,
(3)为定点,线段的长为定值,又,
当的和最小时,四边形的周长最小,
如图2中,画出直线,将点向左平移2个单位得到，
作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,
过点作交直线于点,由作图可知,
,三点共线,,
此时的值最小,
点为直线与的交点,
,
,
如图,延长交线段于,
直线,
,在Rt中,
,
同理,在Rt中,,
四边形的周长的最小值
.
()
