2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学
注意事项
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
2.两个粒子从同一发射源发射出来，，在某一时刻，它们的唯一分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ）
A. B. C. D.
3.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点玩.记事件为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则=（ ）
A. B. C. D.
4.已知正四面体的棱长为1，点为底面的中心，球与该四面体的其余三个面都只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球的半径为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6.在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为数列的前项和，，若对任意正整数，，，求实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）
A. B.
C.分以下的人数约为人
D.本次考试的平均分为
10.已知正数满足，则（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
11.已知函数，则下列结论正确的有（）
A.将函数的图象向左平移个单位长度，就能得到的图象
B.若，则当时，的取值范围是
C.若在区间上恰有3个极大值点，则
D.若在区间上单调递减，则
12.已知正方体的棱长为3，分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A.与垂直 B.与一定是异面直线
C.存在点，使得三棱锥的体积为
D.当分别是棱，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的系数为 .
14.在中，已知，，与交于点.若，则 .
15.已知圆，过点的直线交圆于两点，点在圆上，若,，则= .
16.已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.
18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，.
（1）若，求的值；（2）若，，求的面积.
19.（12分）在三棱柱中，平面，侧面为菱形， ，，，是的中点.
（1）求证：⊥平面；
（2）点在线段上（异于点）， 与平面所成的角为，求的值.
20.（12分）某小区有居民2000人，项通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占％，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按人一组进行分组，将各组个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
（1）若，，试估算该小区化验的总次数；
（2）若，每人单独化验一次花费10元，个人混合化验一次花费元，求为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.（注：当时，.）
21.（12分）已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线
交于两点，，其中在第一象限，在第四象限.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）①证明：；
②设，的面积分别为（为坐标原点），若，求.
22.（12分）已知定义在上的两个函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）设直线与曲线，分别交于两点，求的最小值.
2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学参考答案
一、选择题：
1.A 解析：，，∴
2.D 解析：在上的投影向量的长度.
3.D 解析：，，
4.B 解析：将正四面体补成正方体，正方体棱长为，
，，，，
面的法向量，到面的距离.
5.D 解析：在单调递增，为偶函数，，
∴，∴，∴.
6.A 解析：=，∴，由角平分线定理，
∴，，∴，∴，
∴，∴.
7.B 解析：，，=，
∴，，∴，∴.
8.C 解析：①，②，
②-①得
是以为首项，为公比的等比数列，
数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，
∴，∴，
当为奇数时，；
当为偶数时，，综上.
二、选择题：
9.AD 解析：选项A，20x0.002+20x0.004+20x0.014+20x0.02+20a+20x0.002=1∴
选项B，优秀的概率，，∴
选项C，70分以下频率，
选项D，平均
10.AC 解析：选项A，，∴
选项B，，∴，∴
选项C，
选项D，，∴，
，
当且仅当，即时取等，此时.
，
当且仅当时取等，而两次基本不等式等号成立条件不同，D错.
11.BC 解析：选项A，
向左平移个单位，A错；
B选项，，，，
，，，B对；
C选项，，，在恰有3个极大值点，
∴，∴，C对
D选项，在区间上单调递减，，∴，∴，
，，，此时，
，此时，∴D错.
12.ACD 解析：如图建系，令，则，
选项A，，，，∴
选项B，当时，分别为，中点，，此时，共面.
选项C，
，.
选项D，延长与延长线交于点，直线与交于点，，
∴，∴，，，.
延长与延长线交于点，连与交于点，
同理，，，∴，，，
如图截面为，周长.
三、填空题：
13.-200 解析：展开式第项，
时，，时，，
所以的系数为-200.
14. 解析：
，
，
∴.
15. 解析：取中点，
，
，，，.
16.2 解析：，
，.
四、解答题：
17.解：（1）设数列的公比为，则，
∵，∴，即，∵，∴
则∴；
（2）∵，∴，
∴，……①， ，……②
①-②得： ∴.
18.解：（1）若，则.
∵，∴
∴，∴，
∴或，∵，则.
（2）若，则，∴，
得，∴（负的舍去），
有，∴
又，∴边上的高为，故面积为.
19.（1）证明：∵侧面为菱形，∴，
又∵，，∴⊥平面；
（2）法一：取的中点，连接，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵平面，平面=，，
∴⊥，∴，又∵，，
∴.
以点为原点，，，（）所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
∴，.
设的一个法向量为，
∴
取，得，，∴的一个法向量为.
又在线段上，设，，
∴，∴，
∴，∴.
∵与平面所成的角大小为，
∴.
∴，即或（舍去），即.
法二设，∵⊥平面，∴平面⊥平面，为交线，
由法一得，∴，，
过作于，则，
∵与平面所成的角大小为，∴，
在中，可计算得，所以.
20.解（1）设每位居民需化验的次数为
若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
，
故2000名居民总化验次数约为2000x0.09=180次.
（2）设每组人总费用为元，
若混合血样呈阴性则，若混合血样呈阳性则，
的分布列为：；.
∴，
每位居民的化验费用为：
当且仅当，即时取等号.
故时，每位居民化验费用的期望最小.
21.（1）由题意，设，联立方程组，得，
故，∴.
由，
∴，解得，故直线的方程为.
（2）①设，，，，
故，得，∴，
同理可得，故.
②由①可知，故.
注意到，以及，
∴，即为中点.
∴，代入抛物线方程，可得，，.
由，以及，可得.
故.
22.解：（1），得，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
故函数的最小值为；
（2）设，，由题意有.
令，故，且.
故方程有解.
令，故，
容易知道存在，函数在区间上递减，在上递增，且，∴.注意到，
故，
构造函数.因为
所以在上单调递增，且，
故，所以.
所以，此时，，，，
所以当直线，，时，的最小值为.
