勃利县中2022-2023学年高二下学期5月月考
数学答案
单选题1. B 2. A 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. C
多选题 9. ABC 10. ABC 11. ABD 12. BCD
三、填空题 13. 0.83 14 . 15. 0.372 3 0.455 16. 21
四、解答题
17.解析 (1)ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
18.解析 (1)2×2列联表补充如下：
单位：人
50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计
长期潜伏 40 60 100
非长期潜伏 80 220 300
总计 120 280 400
零假设H0：“长期潜伏”与年龄无关，则
χ2＝≈6.349>3.841＝x0.05，
∴根据小概率α＝0.05的独立性检验，可以认为“长期潜伏”与年龄有关．
(2)因为μ＋3σ＝13.95，P(X>13.95)＝＝0.001 35，所以潜伏期超过14天的概率很低，因此14天是合理的．
19.解析 (1)由题意，根据表格中的数据，
可得＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(9＋12＋17＋21＋26)＝17，
则 (xi－)(yi－)＝(1－3)(9－17)＋…＋(5－3)(26－17)＝43，
＝≈43.1，
所以r＝≈≈0.998，
所以变量y与x的线性相关程度很强．
(2)由(1)可得＝3，＝17， (xi－)(yi－)＝43，
又由 (xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以＝＝＝4.3，则＝－＝17－4.3×3＝4.1.
可得y关于x的经验回归方程为＝4.3x＋4.1，
令x＝6，可得＝4.3×6＋4.1＝29.9，
即2023年该网站“双11”当天的交易额为29.9百亿元．
20.解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A，
则P(A)＝＝，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X，则X～B，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P(X＝3)＝C63××＝.
(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3.
则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝.
所以Y的分布列如下：
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21.解析 (1)选①：因为a2，a3，a4－4成等差数列，
所以2a3＝a2＋a4－4，
所以8a1＝2a1＋8a1－4，
解得a1＝2，所以an＝2n.
选②：因为S1，S2＋2，S3成等差数列，
所以2(S2＋2)＝S1＋S3，即a2＋4＝a3，
所以2a1＋4＝4a1，解得a1＝2，所以an＝2n.
(2)因为an＝2n，
所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，
所以＝＝2，
所以Tn＝2＋2＋…＋2[－]
＝2＝2－.
22.解析 (1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋2(x>0)，
f′(x)＝lnx＋－1＝lnx＋，
因为f′(1)＝1，f(1)＝1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.
(2)f′(x)＝lnx＋－a(x>0)．
①当函数f(x)在定义域上单调递增时，f′(x)≥0，
所以a≤lnx＋在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝lnx＋＝lnx＋＋1(x>0)，
则g′(x)＝－＝，
所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
所以g(x)≥g(1)＝2，所以a≤2；
②当函数f(x)在定义域上单调递减时，f′(x)≤0，
所以a≥lnx＋在(0，＋∞)上恒成立，
由①知，g(x)在(0，＋∞)上无最大值，故不成立，
综上，a∈(－∞，2]．
(3)证明：由①得当a＝2时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)＝0，
即(x＋1)lnx－2x＋2>0，所以lnx>在(1，＋∞)上恒成立，
令x＝，n∈N*，得ln>，
化简得ln(n＋1)－lnn>，所以ln2－ln1>，
ln3－ln2>，…，ln(n＋1)－lnn>，
累加得ln(n＋1)－ln1>＋＋…＋，
即＋＋＋…＋
(时间：120分钟 满分：150分 )
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
单选题：（共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．集合M＝{x∈N|x(x＋2)≤0}的子集个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y|
4．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
5．若log2x＋log4y＝1，则x2＋y的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．2
6．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )
A．72 B．120 C．192 D．240
7．(x2－x－a)5的展开式的各项系数和为－32，则该展开式中含x9项的系数是( )
A．－15 B．－5 C．5 D．15
8.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有三个变爻的概率为 ( )
A. B.
C. D.
多选题：（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6
10.高考数学引入多选题后，使考试增加了区分度，突出了选拔性．多选题得分规则如下：四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．若选项中有i(i＝2，3，4)个选项是符合题目要求的，且将作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数设为随机变量ξi(i＝2，3，4)，则( )
A．E(ξ2)＝ B．E(ξ3)＝
C．2E(ξ2)＋E(ξ4)＝3E(ξ3) D．E(ξ2)＋2E(ξ4)<3E(ξ3)
11．甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C) B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)
C．P(ABC)＝ D．P(A)·P(B)·P(C)＝
12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则( )
A．an＝－ B．an＝
C．数列为等差数列 D.＋＋…＋＝－5 050
第Ⅱ卷（共90分）
填空题：(本大题共4小题，每题5分，共计20分)
13.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则他被感染的概率为________．
14．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________．
15.在某市高二的联考中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(100，100)，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在(80，120)之外的人数，则P(X≥1)＝________，X的数学期望E(X)＝________．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，取0.954 510＝0.627 7，0.997 310＝0.973 3.
16.函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
四、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(10分)袋中有20个大小相同的球，其中标为0号的有10个，标为n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
18．(12分)新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.252，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人．
(1)请根据以上数据完成2×2列联表，并根据小概率α＝0.05的独立性检验，是否可以认为“长期潜伏”与年龄有关；
单位：人
50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计
长期潜伏
非长期潜伏
总计
(2)假设潜伏期X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合3δ原则通过计算概率解释其合理性．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
若X～N(μ，δ2)，P(μ－δ≤X≤μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ≤X≤μ＋2δ)≈0.954 5，P(μ－3δ≤X≤μ＋3δ)≈0.997 3.
19．(12分)某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y/百亿元 9 12 17 21 26
(1)请根据上表提供的数据，用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度，样本线性相关系数保留三位小数；(统计中用样本相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，则两个变量的样本相关系数的计算公式为r＝.统计学认为，对于变量x，y，如果r∈[－1，－0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈(－0.75，－0.30]或r∈[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果r∈[－0.25，0.25]，那么相关性较弱)
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年该网站“双11”当天的交易额．
附：参考公式：＝，＝－；
参考数据：≈43.1.
20.(12分)随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 50 50
(1)若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率；
(2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y表示抽取的优级水果的数量，求Y的分布列及数学期望E(Y)．
21．(12分)在①a2，a3，a4－4成等差数列，②S1，S2＋2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．
在公比为2的等比数列{an}中，Sn为其前n项和，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn.
22．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－ax＋2.
(1)当a＝1时，求在x＝1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)求证：＋＋＋…＋
