中考数学几何模型
第一节：将军饮马最值模型
31.矩形中先找河的将军饮马问题(初二)
如图,在矩形中,,点是矩形内一动点,且满足,则的最小值为________.
32.求线段差的最大值将军饮马变式题(初二)
如图,在正方形中,与交于点是的中点,点在边上,且为对角线上一点,则的最大值为________.
33.正方形中将军饮马和隐形圆综合题(初三)
如图,已知正方形的边长是4,点是边上一动点,连接,过点作于点,点是边上另一动点,则的最小值为________.
34.直角三角形中角平分线有关的将军饮马问题(初二)
如图,在Rt中,平分交于点,分别是上的动点,则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.6
35.直角三角形中一定两动将军饮马问题(初三)
如图,Rt中,,点分别是边上的动点,则的最小值为________.
36.菱形与一次函数综合将军饮马求点的坐标(初二)
如图,已知菱形的边在轴上,点的坐标为,点是对角线上的一个动点,点在轴上,当最短时,点的坐标为_______.
37.正方形与等边三角形综合将军饮马问题(初二)
如图所示,正方形的边长为是等边三角形,点在正方形内，在对角线上有一点,使PD+PE的和最小,则这个最小值为________.
38.一线三等角证全等,一定两动型将军饮马问题(初二)
如图,Rt中,,以为边在上方作正方形,过点作,交的延长线于点,连接.
(1).求证:;
(2).分别为上的动点,连接,若,求的最小值.
39.菱形中的将军饮马求周长最小值问题(初二)
如图,在四边形中,,点为的中点,点为的中点,,连接.
(1).判断四边形ABCE的形状，并说明理由;
(2).如果,点为上的动点,求的周长的最小值.
40.将军饮马和勾股定理求最小值问题(初二)
如图,在Rt中,为边的中点,以为边作等边,连接.
(1)求证:;
(2)若,在边上找一点,使得最小,并求出这个最小值.
31.【解】如图,作于,作点关于直线的对称点,连接.设.四边形都是矩形,
,
,
,
垂直平分线段,
即为所求的最小值,
在Rt中,,
的最小值为.
32.【解】如图所示,以为对称轴作的对称点,连接并延长交于,连,根据轴对称性质可知,,
当三点共线时,取“等丁”,正方形边长为为中点,
为中点,,
,
,
,
为等腰直角三角形,
,
即的最大值为2,故答案为:2.
33.【解】如图:取点关于直线的付称点.以中点为圆心,为半径画半圆.连接交于点,交半圆于点,连.连并延长交于点.由以上作图可知,于.
由两点之间线段最短可知,此时最小.
的最小值为
故答案为:
34.【解】如图所示:在上取点,使,过点作,垂足为.
当共线,且点与重合时,的值最小,最小值为,故选:.
35.【解】作关于的对称点,连接,交于,过作于,由题意得,当三点共线,且垂直时最小,则即为所求的最小值;
Rt中,,
,
,
,
,
,
,即的最小值是;故答案为:.
36.【解】如图,作于.
四边形是菱形,设,在Rt中,
,
,
关于直线对称,连接,则
,当三点共线时,有最小值,连接,与的交点,即为所求的点.
设的解析式为,把代入得:,解得直线解析式为,
设直线解析式为,把和代入,可得直线的解析式为:,联立方程组得:,解得,点坐标,故答案为.37.【解】设与交于点,连接点与关于对称,,根据两点之间线段最短的原理,在与的交点上时,最小,即为所求;
正方形的边长为.
又是等边三角形,.
故所求最小值为6.故答案为:6.
38.(1)证明:Rt中,,.四边形是正方形,
,,
在和中,易证);
(2)【解】,.
如图,连接是正方形顶点与顶点的对称轴,,当点共线,且垂直时最小.作于即为所求最小值.由题意可知,.
的最小值等于14.
39.【解】(1)四边形是菱形,理由如下:
点是的中点,,
.,即.
四边形是平行四边形,,点是的中点,四边形是菱形
(2)由(1)得,四边形是菱形.,且点关于对称,连接,则
点是的中点,当最小时,的周长最小,即点为与的交点时,的周长最小,此时的周长,在Rt中,点是的中点,则.
是等边三角形..
的周长最小.
40.(1)证明:在Rt中,,为边的中点,为等边三角形,
,
,
.
(2)【解】如图,作点关于直线对称点,连接交于点.则点即为符合条件的点,即为所求最小值.由作图可知:,
.,
为等边三角形,,
,在Rt中,,
,
的最小值为3.
()
