第九章 不等式与不等式组
重难点攻略
一、不等式的解及不等式的解集
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个.
2.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.
3.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.
二、不等式的性质
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质3 不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果， 那么
【注意】两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
三、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式.解一元一次不等式的步骤如下表：
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的性质2,3 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号.
移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的性质1 （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变.
合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则
系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式. 不等式的性质2,3 当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变.
【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.
四、不等式组的解集
1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
【注意】
（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.
（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.
2.一元一次不等式组的解集有四种情况：
不等式组
不等式组的解集 无解
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找
五、一元一次不等式组的解法
1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）；利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集
六、一元一次不等式（组）的应用
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解.
列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即：
步骤 注意事项
审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等
设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一
解 解不等式，求出其解集 符号和系数不要出错
验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义
答 写出答. 应把表示不等关系的文字补上
备考满分练
1.下列各式中是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
2.若,则( )
A. B. C. D.
3.若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.不等式的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若关于x的一元一次不等式的解集为,则m的值为( )
A.14 B.7 C.-2 D.2
7.某商店老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的利润出售，但为了获得更多的利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，商店老板让价的最大限度为( )
A.82元 B.100元 C.120元 D.160元
8.将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若不等式组的解集为，则的值分别为( )
A.-2,3 B.2，-3 C.3，-2 D.-3,2
11.若，且，则m的取值范围是____________.
12.由不等式可以推出，那么a的取值范围是_________.
13.若关于x的不等式有两个正整数解，则a的取值范围为___________.
14.某皮衣进价为1000元，售价为1500元，由于销量不好，只好降价，但要保证利润不低于10%，则该皮衣最多降价___________元.
15.不等式组的所有整数解的和为____________.
16.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.
17.如图,“开心”农场准备用50 m的护栏围成一块靠墙的矩形花园,设矩形花园的长为宽为.
(1)当时,求b的值;
(2)受场地条件的限制,a的取值范围为,求b的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据一元一次不等式的概念（含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式）解题.A项中不等式含有两个未知数，不是一元一次不等式；B项中不等式未知数的最高次数是2，不是一元次不等式；C项中不等式的分母中含有未知数，不是一元一次不等式；D项中不等式符合一元一次不等式的概念.故选D.
2.答案：C
解析：A.若,则,故A选项不符合题意.
B.若,则,故B选项不符合题意.
C.,,故C选项符合题意.
D.若,则,故D选项不符合题意.
3.答案：A
解析：因为不等式的解集是，所以，即.故选A.
4.答案：C
解析：由题意得，解得，原不等式为，解得，故选C.
5.答案：A
解析：解不等式,得,∴不等式的解在数轴上表示如下:
.
6.答案：D
解析：去分母,得,整理,得,解得.
∵不等式的解集为,解得.
7.答案：C
解析：由题意，得进价为（元）.设商店老板让价x元，则有，解得，所以商店老板让价的最大限度为120元.故选C.
8.答案：B
解析：不等式组的解集在数轴上表示出来为
故选B.
9.答案：A
解析：解不等式，得，又，且不等式组的解集是，根据“同小取小”，知m的取值范围是.
10.答案：A
解析：解不等式，得.解不等式，得不等式组的解集为故选A.
11.答案：
解析：若，且，，则；
故答案为.
12.答案：
解析：∵由可以推出.
13.答案：
解析：解，得.该不等式有两个正整数解，，解得.
14.答案：400
解析：设该皮衣降价x元，根据题意，得，解得，故该皮衣最多降价400元.
15.答案：0
解析：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是-2，-1，0，1，2，和为.
16.答案：解集是，数轴见解析
解析：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是.
该不等式组的解集在数轴上的表示如下.
17.答案：(1)15
(2)
解析：(1)由题意,得.
当时,,解得.
(2)，
解得.
∴矩形花园宽的取值范围为.
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