昌吉州2022年九年级诊断性测试数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．－1 B．－ C．0 D．
2．下面图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．四棱柱 B．四棱锥 C．圆柱 D．圆锥
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED，AD与BC交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．72° B．74° C．84° D．86°
5．2022年，新《医保目录》启用，部分药品实行降价．某药品经过两次降价，每瓶零售价由132元降为102元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，在该地面上任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，P是菱形的对角线上一动点，过点P作垂直于的直线交菱形的边于M点，于N点．设，，，的面积为y，则y关于x的函数图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10．分解因式：3a2﹣12=___．
11．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，则该队胜的场数为___．
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为___．
13．如图，原点O是矩形ABCD的对称中心，顶点A、C在反比例函数图象上，AB//x轴，若S矩形ABCD＝8，则反比例函数的表达式为 _____．
14．如图，抛物线与x轴交于点（－3，0），其对称轴是，则下列结论：①；②；③若两点（－2，），（3，）在二次函数图象上，则．其中正确结论的个数为___．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中x是方程x2+x-4=0的根．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
(1)证明：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了主题为“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：①九年级20名学生的测试成绩：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6；②八、九级抽取的学生测试成绩的平均数、众数、中位数如表；③八年级20名学生的测试成绩条形统计图．
年级 平均数 众数 中位数
九年级 7.5 a 7
八年级 7.5 8 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在上述表格中：a＝___，b＝___；
(2)八年级测试成绩前四名学生分别是甲、乙（女）、丙（女）、丁，校德育处将他们随机分成两组，分别去两个社区进行宣讲垃圾分类知识，请用列表法或画树状图法求两个女生恰好分在同一组的概率．
20．某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
21．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东75°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据，）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．
23．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
(1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE=2ED，求△PBC的面积；
(3)抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
1．C
解析：
解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴，
∵|-1|=1，|-|=，|0|=0，||=，
∴|0|＜||＜|-1|＜|-|，
∴绝对值最小的数是0，
故选：C．
2．C
解析：
解：根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：C．
3．B
解析：
解：A、与不是同类项，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：B．
4．C
解析：
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED，∠C=36°，
∴∠CAD=∠BAE=60°，
∴在△ACF中，∠AFC=180°-∠C-∠CAD=84°，
故选：C
5．B
解析：
解∶根据题意，得．
故选∶B．
6．D
解析：
解：如图，连接OC，BP与圆交于点D，连接CD，
∵PC是圆的切线，
∴∠PCO=90°，
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠PCD+∠DCO=90°，∠BOC+∠DCO=90°，
∴∠PCD=∠OCB，
∵OC=OB，则∠OCB=∠OBC，
∴∠PCD=∠PBC，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PBC，
∴∠PDC=∠PCB；
∵∠A=∠BDC=65°，
∴∠PDC=∠PCB=115°，
∴∠PCD=115°-90°=25°，
∴∠P=∠BDC-∠PCD=65°-25°=40°，
故选：D．
7．D
解析：
解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15×＝5，
∴CE＝CD＋DE＝．
故选：D．
8．B
解析：
解：大正方形的面积为12＋22＝5，
中间空白小正方形的边长为2 1＝1，面积为1，
所以中间小正方形的面积占大正方形的，
因此任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率为，
故答案为：．
9．C
解析：
解：当0＜x≤1时，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝1，
∴AC与BD互相垂直平分；
∴AO＝AC＝1，
∵MN⊥AC，BD⊥AC
∴MNBD；
∴∠ANM＝∠ADB，∠AMN＝∠ABD
∴△AMN∽△ABD，
∴ ，
即，
∴MN＝x；
∴y＝AP×MN＝x2（0＜x≤1），
∵＞0，
∴函数图象开口向上；
当0＜x≤1时，y 随x的增大而增大，
当x＝1时，y取最大值；
当1＜x＜2，如图2，
与（1）同理可证得，△CDB∽△CNM，
，
即，
∴MN＝2﹣x；
∴y＝AP×MN＝x×（2﹣x），
即y＝﹣x2+x；
∵﹣＜0，
∴函数图象开口向下；
综上，选项C的图象大致符合；
故选：C
10．3（a+2）（a﹣2）
解析：
3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
11．5
解析：
解：设这个队胜x场，负y场，
根据题意得，
解得，
所以该队胜的场数为5．
故答案为：5．
12．6
解析：
解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，
则BH=CH，
∴BC=2HB，
∵与x轴相切于点A，
∴MA⊥OA，
∵圆心M的坐标是(4，5)，
∴MA=5，MH=4，
∴MB=MA=5，
在Rt△MBH中，由勾股定理得：，
∴BC=2×3=6．
故答案为：6．
13．
解析：
解：设点A的坐标为（m、n），则由对称性可知点C的坐标为（-m，-n），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AD=2m，CD=2n，
∵矩形ABCD的面积为8，
∴，
∴，
故答案为：．
14．2
解析：
解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴是直线，
∴，即，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点（－3，0），其对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y＞0，
∴，故②错误；
根据题意得：（3，）关于对称轴直线的点为（-4，），
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴，故③正确，
∴正确的有①③，共2个．
故答案为：2
15．
解析：
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据作图过程可知平分，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，CQ=BC-BQ=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，设的垂直平分线交于点，交CQ于点R，
∴，GH⊥CQ，，
∴是等腰直角三角形，且四边形CDHR是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．
解析：
解：原式＝
17．，
解析：
解：∵，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=．
18．(1)见解析：
(2)25
解析：
（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×12＝6，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是边AC的中点，
∴CD＝AC＝×5＝ ，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+）＝25．
19．(1)7，7.5
(2)
（1）
解：∵7出现的次数最多，
∴
由条形统计图可得，，
（2）
解：画树状图为；
共有12种等可能的结果，两个女生恰好分在同一组的结果有4种，
∴P（两个女生恰好分在同一组）
20．(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元
(2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
(1)
解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（）元，
根据题意得：，
解得，经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
(2)
解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120－m）个，总利润为W元，
∵，
∴，
根据题意得：，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴时，W最大，且，此时，
答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
21．B处距离灯塔P82海里．
解析：
解：作AH⊥PB，垂足为H，
∵PQ∥AB，
∴∠B=∠BPQ=45°，∠PAB=75°，
∴∠APB=180°-75°-45°=60°，
在Rt△APH中，sin∠APH=，cos∠APH=，
∴AH=APsin∠APH=60×sin60°=60×=30，PH=APcos60°=60×=30，
∴在Rt△ABH中，tanB=，
BH=，
∴PB=PH+BH=30+30≈30+30×1.732≈82
答：B处距离灯塔P82海里．
22．(1)见解析：
(2)
解析：
（1）证明：如图，连接OE，
∵BF＝BD，
∴∠F＝∠BDF，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠BDF，
∴∠OED＝∠BFD，
∴OE∥BF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F，CF＝1，
∴tanF=，
∴CE＝2，
∴EF=，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ECF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF＝5，
∴⊙O的半径为．
23．(1)(﹣1,0)，(3,0)
(2)3
(3)(1,4)或( 2, 5)
解析：： (1)
解：令抛物线y=0，则 x2+2x+3=0，
解得：x1= 1，x2=3，
∴A( 1,0)，B(3,0)；
故答案为：( 1,0)，(3,0)；
(2)
解：在y= x2+2x+3中，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析：式为y=kx+b，
将B(3,0)，C(0,3)代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析：式为y= x+3，
若PE=2ED，则PD=3ED，
设P(m, m2+2m+3)，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E(m, m+3)，
∴ m2+2m+3=3( m+3)，
∴m2 5m+6=0，
解得m1=2，m2=3(舍)，
∴m=2，
此时P(2,3)，E(2,1)，
∴PE=2，
∴，
∴△PBC的面积为3；
(3)
解：∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，交x轴于点D，连接P1B，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCO=45°，
又∵∠DOC=90°，
∴∠ODC=45°=∠DCO，
∴OD=OC=3，
∴D( 3,0)，
∴直线P1C的解析：式为y=x+3，
联立，
解得或(舍)；
∴P1(1,4)；
②点B为直角顶点，
如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴，
∴设直线BP2的解析：式为y=x+b，
将B(3,0)代入，得0=3+b，
∴b= 3，
∴直线BP2的解析：式为y=x 3，
联立，
解得或(舍)，
∴P2( 2, 5),
综上，点P的坐标为(1,4)或( 2, 5) ．
1
