2022-2023学年鲁教五四新版七年级下册数学期末复习试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．事件①：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯；事件②：任意画一个三角形，其内角和是180°，则（ ）
A．事件①是必然事件，事件②是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是随机事件
D．事件①和②都是必然事件
2．下列语句中，是假命题的是（ ）
A．有理数和无理数统称实数
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．两点之间的线段称为两点间的距离
3．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上．若∠1＝39°，则∠2的度数为（ ）
A．11° B．21° C．29° D．31°
4．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，若∠C＝∠D，∠1＝∠2，则直接判定△ABC≌△ABD的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
6．若x＜y，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣x＞﹣y C．﹣＞﹣ D．x+3＞y+2
7．如图：正方形ABCD的面积为64，被分成四个相同的长方形和一个面积为4的小正方形，则m，n的长分别是（ ）
A．m＝3，n＝5 B．m＝5，n＝3
C．m＝6.5，n＝1.5 D．m＝1.5，n＝6.5
8．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ）
A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
11．下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（ ）
A．﹣3 B． C． D．2
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．120° B．150° C．180° D．200°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ．
14．已知直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是 ．
15．若△ABC为等腰三角形，∠A＝28°，则∠B＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 ．
17．“洞庭碧螺春，品香醉天下．”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外．如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的，1个小杯与1个大杯的容积之比为 ．
18．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，D，E，M分别为AC，AB，BE的中点，连接DM，以DM为边作△DMN，连接FN，且DM＝DN．若∠B＝∠C＝∠MDN＝60°，AB＝6，则FN的长度为 ．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．（6分）解下列方程组：
（1）
（2）
20．（6分）解不等式组：，并写出所有整数解．
21．（6分）佛山是珠江三角洲的“美食之乡”，粤菜发源地之一．某学校要举行“我为佛山美食代言”的宣讲活动，主要介绍佛山的民间特色食品，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．双皮奶，B．盲公饼，C．大良蹦砂，D．佛山九层糕，参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小明和小红都参加了这项活动．
（1）小明抽中“大良蹦砂”的概率是 ；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小明和小红抽中同一个主题的概率．
22．（8分）已知a＞0，b＜0，且a+b＜0，试将a，﹣b，﹣|a|，﹣|b|用“＜”号按从小到大的顺序连接起来．
23．（8分）如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．
（1）求证：AF∥CD；
（2）若AC⊥EB于点C，∠2＝40°，求∠BCD的度数．
24．（10分）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元）
第一批 10 5 35000
第二批 15 10 57500
（1）A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
（2）因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
25．（10分）如图，AC，BD相交于点O，且∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，求证：AO＝DO．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
27．（12分）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．
根据上述解题思路，请写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ，并写出证明过程；
【拓展延伸】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的平方为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．解：事件①：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件；
事件②：任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
2．解：A、有理数和无理数统称实数，正确，是真命题，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、两点之间的线段的长度称为两点间的距离，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
3．解：如图，
∵∠2与∠ABC是对顶角，
∴∠2＝∠ABC，
∵BC∥DF，
∴∠1+∠EDA＝∠BCA，
∵∠1＝39°，∠EDA＝90°，
∴∠BCA＝129°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠A+∠BCA）＝180°﹣（30°+129°）＝21°，
∴∠2＝21°．
故选：B．
4．解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
解得：，
故选：A．
5．解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS）．
故选：D．
6．解：A．x＜y，根据不等式的性质1，得x﹣2＜y﹣2，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．x＜y，根据不等式的性质2，得﹣x＞﹣y，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．x＜y，根据不等式的性质3，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．x＜y，不妨设x＝1，y＝5，则x+3＜y+2，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：根据图示和题意得：，
解得：．
故选：B．
8．解：过P点作PH⊥AB于H，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PD＝6，
∵点E是边AB上一动点，
∴PE≥6．
故选：D．
9．解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴CD+BD＝CD+AD＝AC＝3，
又∵BC＝2，
∴△BCD的周长为3+2＝5，
故选：B．
10．解：由图象可得，
乙骑车的速度为：（2900﹣200）÷18＝150（米/分），
甲骑车速度为：（200+150×2）÷2＝250（米/分），甲步行速度为：（2900﹣250×6）÷（18+2﹣6）＝100（米/分），故选项A不符合题意；
A、B两地的距离为200米，故选项B不符合题意；
甲和乙第二次相遇的时间为x分钟，
250×6+（x﹣6）×100＝200+150x，
解得x＝14，故选项D符合题意，
∴甲和乙第二次相遇时，离医院的路程是：150×（18﹣14）＝600（米），故选项C不符合题意；
故选：D．
11．解：2（x﹣3）+3＜0，
去括号得，2x﹣6+3＜0，
移项得，2x＜6﹣3，
合并同类项得，2x＜3，
把x的系数化为1得，x＜．
∵，
∴2不是不等式2（x﹣3）+3＜0的解．
故选：D．
12．解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是，
故答案为：．
14．解：直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点为（﹣5，﹣8），即x＝﹣5，y＝﹣8满足两个解析式，
则是即方程组的解．
因此方程组的解是．
15．解：当∠A是顶角时，∠B＝∠C＝×（180°﹣28°）＝76°，
若∠B是顶角时，则∠B＝180°﹣28°×2＝124°，
当∠C是顶角时，∠B＝∠A＝28°，
综上所述，∠B＝76°或124°或28°．
故答案为：76°或124°或28°．
16．解：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，BD＝DE＝1，AC＝2AE．
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（HL）．
∴AB＝AE．
∴AC＝2AB．
在Rt△ABC中，∵AC＝2AB，
∴∠C＝30°．
在Rt△ECD中，
∵ED＝1，∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝2．
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3．
故答案为：3．
17．解：设1个小杯的容积为a毫升，1个大杯的容积为b毫升，壶的容积为m毫升，
由题意得：，
解得：，
∴＝，
即1个小杯与1个大杯的容积之比为，
故答案为：．
18．解：∵ED为△ABC中位线，
∴ED∥BC，ED＝BC，
∵DF∥AB，D为AC中点，
∴F为BC中点，即DF为△ABC中位线，
∴DF＝AB，
∵∠B＝∠C＝∠MDN＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠MDF+∠FDN＝60°，
∴AB＝BC＝6，即DE＝DF＝3，
∵M为EB中点，
∴EM＝EB＝，
∵∠EDM+∠MDF＝∠AED＝∠B＝60°，
∴∠FDN＝∠EDM，
在△DEM和△DFN中，
，
∴△DEM≌△DFN（SAS），
∴FN＝EM＝．
故答案为：
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．解：（1）方程组整理得：，
①×2﹣②得：﹣y＝﹣8，
解得：y＝8，
把y＝8代入①得：x﹣24＝﹣7，
解得：x＝17，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
把①代入②得：2（6y﹣1）﹣y＝9，
解得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝5，
则方程组的解为．
20．解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜5，
∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3，4．
21．解：（1）∵共有4个主题，
∴小明抽中“大良蹦砂”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小红抽中同一个主题的结果有4种，
∴小明和小红抽中同一个主题的概率为＝．
22．解：∵a＞0，b＜0，且a+b＜0，
∴b＜0＜a，|b|＝﹣b＞|a|，
∴﹣|b|＜﹣|a|＜a＜﹣b．
23．证明：（1）∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）∵AC⊥EB，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠2＝∠3＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
24．解：（1）设A，B两种设备平均每台的成本分别为x，y元，
由题意得，
解得，
答：A，B两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元．
（2）设公司计划正式生产A设备x台，则生产B设备（100﹣x）台，
由题意得，
解得70≤x≤75，
∵x是整数，
∴x＝70，71，72，73，74，75，
∴一共有6种生产方案．
由（1）知，A，B两种设备平均每件的利润分别为1000，800元．
∵A设备平均每件的利润1000元大于B设备平均每件的利润800元，
∴当x＝75，100﹣x＝100﹣75＝25，
即生产A设备75台，B设备25台时，能获得最大利润．
25．证明：∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴∠A＝∠D，AB＝CD，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS），
∵AO＝DO．
26．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，
∵点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，
∴BP＝2t（cm），AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形．
27．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
故答案为：DA＝DC+DB；
（2）DA＝DB+DC，
如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN＝2，∠QMN＝30°，
∴QN＝MN＝1，
∴MQ＝＝＝，
由（2）知PQ＝QN+QM＝1+，
∴PQ＝＝，
∴PQ2＝2+．
