广西邕衡金卷2023届高三下学期5月第三次适应性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），且，则z在复平面内对应点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知X的分布列为
X 0 1
P
且，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：）
A．35 B．25 C．15 D．9
5．抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．已知和是两个正交单位向量，且，则（ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
7．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．现有几何体，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则的体积等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
12．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为_________．
14．若，那么的值为_________．
15．如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最小值时，它的高为_________．
16．关于函数有如下四个命题：
①的一个周期是；
②的对称中心是；
③在上的最小值是；
④在内的所有零点之和为．
其中所有真命题的序号是__________________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知数列的首项为2，且满足（且），．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
18．（本小题满分12分）
为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）
人数 2 4 22 40 28 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．
①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分．
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．
（1）求证：；
（2）若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，圆，点F为抛物线的焦点，点A为抛物线上的一点，，且点A的纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）点P（不是原点）是上的一点，过点P作的两条切线分别交于M，N两点（异于点P）， E为线段MN中点若，求点P的坐标．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若1，求）在处的切线方程；
（2）若有两个不同零点，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数，且），曲线C与x轴交于A点，与y轴交于B点
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段AB为直径的圆M的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知a，b均为正实数，且，证明：
（1）；
（2）．
广西邕衡金卷2023届高三下学期5月第三次适应性考试
理科数学参考答案
1．B【解析】，则，故选B．
2．D【解析】因为，由复数相等得在复平面对应点坐标在第四象限，故选D．
3．B【解析】由且得：．
4．A【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，
．故选：A．
5．B【解析】根据题意画出如下图，根据抛物线的定义，所以当A，P，H三点共线时最小，此时，故选B．
6．B【解析】因为和是正交单位向量，，解得或所以故选B．
7．C【解析】因为，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：
，故选C．
8．B【解析】由题意可知，该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为，高为6，
设球的半径为R，可得，解得，所以体积为．
9．A【解析】由已知得：，所以．
10．B【解析】由题意得，易知其过定点，由知该定点在圆内，由几何性质知，圆心到直线的距离．
11．D【解析】设渐近线的倾斜角为，则，，则，解得（舍去）或，，，，故选D．
12．C【解析】根据题，所以，构造函数，则，当，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，当且仅当时取等号，由于，则，则，所以，所以，所以，故选C．
13．5【解析】根据题意画出可行域，目标函数的最大值在点处取得，．
14．【答案】；【解析】令，可得，令，则，所以．
15．【答案】
【详解】设，半径，高．
球半径为单位长度，，，
即，
∴侧面积，只要求的最小值即可，
，得．
当递减，当递增，故时侧面积有最小值．
l6．②④【解析】对①，，故①错误；
对②，因为，
所以关于点对称，故②正确；
对③，，令，则，
当，所以在上的最小值是；
又，而，所以，故③错误；
对④，得或，因为，所以当时，解得，
当时，因为在上函数．的对称轴为，所以它的两零点之和为，故在内的所有零点之和为，故④正确．
17．【解析】（1）由得 2分
因为所以所以即， 4分
由所以． 6分
（2）由 7分
得 8分
12分
18．【解析】（1）100名居民本次竞赛成绩方差
4分
（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，
所以，，
可知，，
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，
因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率
8分
估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456 10分
②当时，即时，参赛居民可获得“参赛先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的居民能获得“参赛先峰证书” 12分
19．【解析（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正三角形中，，1分
平面平面ABC，平面平面，面ABC，面ACD，
又平面ABC，，
又．四边形DOBE是平行四边形，， 3分
面ABC， 4分
面ADC， 5分
（2）由（1）面ADC，为EM与面ADC的所成角，即，
在中，，即M为DC中点，． 6分
如图，建立空间直角坐标系，，
， 7分
易得面DAC的一个法向量为， 8分
设面MAB的一个法向量为，
则，即，令，得， 10分
11分
∴平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为． 12分
20．【解析】
（1）由题意可得， 2分
解得， 3分
所以抛物线的方程为． 4分
（2）设，由题知，且切线的斜率存在．
设过点的圆的切线方程为，即． 5分
圆心到切线的距离为1，得到， 6分
整理得，
设PM，PN的斜率分别为，则有
， 7分
联立，得， 8分
因为点P是直线与抛物线的一个交点，有，
同理可得， 9分
因为E为MN中点，，则有，所以点在PE，从而有，
，
，所以，解得， 11分
所以点P的坐标为． 12分
21．【解析】（1）解：当时，， 1分
故 3分
故在处的切线方程为（或者也可） 4分
（2）证明：不妨设，设，则， 5分
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增， 6分
可知也是的两个零点，且，于是， 7分
设，因为． 8分
设，
当时，，故在单调递增，
所以，从而，因此在单调递增． 9分
又，故，故，于是． 10分
又在单调递减，故 11分
即，故 12分
22．【解析】（1）令，则，解得或（舍）， 1分
则，即． 2分
令，则，解得或（舍）， 3分
则，即． 4分
； 5分
（2）由（1）可知，则以线段AB为直径的圆M的半径为， 7分
所以圆M的直角坐标方程为． 8分
由可得，直线AB的极坐标方程为． 10分
23．【解析】（1）由柯西不等式有
， 2分
又，则，当且仅当时，取等号． 4分
． 5分
（2）， 6分
又，， 8分
当且仅当，即时取等号，
． 10分
