人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》单元测试4
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知离散型随机变量满足二项分布且，则当在内增大时，
A. 减少 B. 增大
C. 先减少后增大 D. 先增大后减小
2.（5分）从含有件正品、件次品的件产品中，随机抽取件，则恰好抽到件次品的概率是
A. B. C. D.
3.（5分）下列判断错误的是
A. 若随机变量服从正态分布，，则
B. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若方差，则
4.（5分）有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是
A. B. C. D.
5.（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为，则
A. B. C. D.
6.（5分）已知随机变量的分布列是
若均值，则方差
A. B. C. D.
7.（5分）随机变量的分布列如表，其中，，成等差数列，且，
则
A. B. C. D.
8.（5分）已知随机变量满足，其中，若，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列命题中说法正确的是
A. 已知随机变量，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
10.（5分）已知，若，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11.（5分）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字，，，，乙四个面上分别标有数字，，，，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
12.（5分）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
13.（5分）下列结论正确的有
A. 若随机变量，，则
B. 若，则
C. 已知回归直线方程为，且，，则
D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）一口袋中装有大小相同的个白球和个黑球，每次从袋中任意摸出一个球，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸得白球的个数的方差______．
15.（5分）从，，，，，，中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数“，则______．
16.（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_____.
17.（5分）若离散型随机变量的分布列为
则的数学期望______．
18.（5分）甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的胜局相互独立已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差 ______ ．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为，两人各投一次称为一轮投篮．
求乙在前次投篮中，恰好投进个球的概率；
设前轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望．
20.（12分）中国梦想秀是浙江卫士推出的一档“真人秀”综艺节目，节目开播至今，有上百组的追梦人在这个舞台上实现了自己的梦想，某机构随机抽取名参与节目的选手，以他们的年龄作为样本进行分析研究，并根据所得数据作出如下频数分布表：
选手年龄
频数
Ⅰ在表中作出这些数据的频率分布直方图；
Ⅱ已知样本中年龄在内的位选手中，有名女选手，名男选手，现从中选人进行回访，记选出的女选手的人数为，求的分布列、数学期望与方差．
21.（12分）一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共个．若从中不放回地取球，每次取个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为
求白球和黑球各有多少个；
若有放回地从袋中随机摸出个球，求恰好摸到个黑球的概率；
若不放回地从袋中随机摸出个球，用表示摸到黑球的个数，求的分布列和期望．
22.（12分）已知集合和集合…，，其中，从集合中任取三个不同的元素，其中最小的元素用表示；从集合中任取三个不同的元素，其中最大的元素用表示．记
当时，求随机变量的概率分布和数学期望；
求
23.（12分）在年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查，现从高三年级、、、、、六个班随机抽取了人，将统计结果制成了如下的表格：
班级
抽取人数
其中达到预期水平的人数
Ⅰ根据上述的表格，估计该校高三学生年的高考成绩达到自己的预期水平的概率；
Ⅱ若从班、班的抽取对象中，进一步各班随机选取名同学进行详细调查，记选取的人中，高考成绩没有达到预期水平的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：离散型随机变量满足二项分布且，
．
则当在内增大时，在上增大，在上减小．
故选：．
根据离散型随机变量满足二项分布且，可得，利用二次函数的单调性即可判断出结论．
该题考查了二项分布列的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】D;
【解析】
先求出基本事件总数，再求出恰好抽到件次品包含的基本事件个数，由此能求出恰好抽到件次品的概率．
该题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．
从含有件正品、件次品的件产品中，随机抽取件，基本事件总数，
恰好抽到件次品包含的基本事件个数，
恰好抽到件次品的概率．
故选：．
3.【答案】D;
【解析】解：选项：由于随机变量满足正态分布，，
由于随机变量服从正态分布，，故选项正确；
选项：每一组数据均减去一个数字，不影响整体的稳定程度，故方差不变，选项正确．
选项：因为随机变量服从二项分布，，故选项正确；
选项：因为方差，，故选项错误．
故选：
选项利用正态分布对称轴的性质判断即可；选项利用方差计算公式即可判断；选项，利用二项分布期望计算公式判断．选项利用二项分布方差计算公式判断即可．
此题主要考查随机变量及分布列中期望方差公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
该题考查概率的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意条件概率的性质的合理运用．
设第一次抽到次品为事件，第二次抽到次品为事件，则，
由此能求出在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
解：设第一次抽到次品为事件，第二次抽到次品为事件，
则，
，
在第一次抽到次品的条件下，
第二次抽到次品的概率．
故选A．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了互斥事件的概率，及对于随机变量的定义的理解及独立事件及其公式的准确理解及应用，属于中档题 .
由题意比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止，所以随机变量的所有可能的取值为，，，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求解即可.
解：依题意知，的所有可能值为，，，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，
，
则
故选
6.【答案】B;
【解析】解：由题意可得，即，
所以．
故选：．
利用期望列出方程求解，然后求解方差，得到选项．
该题考查离散型随机变量的分布列以及期望方程的求法，是基本知识的考查．
7.【答案】C;
【解析】解：，，成等差数列，且，
由随机变量的分布列得：
，解得，，，
．
故选：．
由，，成等差数列，且，利用随机变量的分布列和性质列出方程组，能求出，，，由此能求出的值．
该题考查概率的求法，考查等差数列、离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：由已知可得：，，，
则，即，
又，所以，
所以的分布列如下：
所以，
故选：．
根据分布列的性质以及期望求出，的值，由此即可求出方差．
此题主要考查了随机变量的分布列的性质以及求解方差的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD;
【解析】解：对于，由题意可得，，解得，，故错误，
对于，由可得，当时，，故正确，
对于，随机变量服从正态分布，
，且，
，故正确，
对于，击中目标的次数为，，
令 且，
解得，又，故，
故则当时概率最大，故正确．
故选：
对于，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解，
对于，结合方差的线性公式，即可求解，
对于，结合正态分布的对称性，即可求解，
对于，结合二项分布的概率公式，即可求解．
此题主要考查统计的知识，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
10.【答案】ABD;
【解析】解：因为，
则，，
所以，，
又，则，
所以，
故选：
根据二项分布可求二项分布的期望和方差，根据方差和期望的性质可求的期望和方差．
此题主要考查二项分布的期望和方差公式的应用，考查转化能力，属于基础题．
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率，同时考查互斥事件的概率，考查推理能力和计算能力，属于中档题.
由已知求出，，，然后逐一判断求解即可.
解： 由已知，
，
由已知有，
所以，
，
，
事件、、不相互独立，故错误；
故选
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于中档题.
首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再结合，，逐项计算期望和方差判断即可.
解：因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故正确；
，故正确；
，故正确；
，故不正确.
故选：
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题．
由已知利用正态分布曲线的对称性求得判断；由已知结合方差公式判断；由已知直接求得判断；设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出等式关系，讨论的三种不同情况，从而求出丢失数据的所有可能值的和判断
解：已知随机变量服从正态分布，图象关于对称，
根据，可得，
则，故正确；
若，则，
则，故错误；
已知回归直线方程为，且，
则，故正确；
设这个数字是，则平均数为，众数是，
若，则中位数为，此时，
若，则中位数为，此时，，
若，则中位数为，，
所有可能值为，，，其和为，故错误．
故选
14.【答案】;
【解析】解：根据题意，摸得白球的个数为，则的可能取值为，，；
计算，
，
；
随机变量的数学期望为：
，
方差为：．
故答案为：．
根据题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望和方差．
该题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，是基础题．
15.【答案】;
【解析】
本题从个数中取两个数，求条件概率，着重考查了古典概型计算公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．
用列举法法，可得事件包含的基本事件有个，事件包含的基本事件有个，用古典概型计算公式算出、，再由条件概率公式加以计算，可得的值．
解：事件“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、，、，，，，，
，
事件“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有，，，
，
由条件概率公式，可得．
故答案为：．
16.【答案】;
【解析】
甲队以：获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，由此能求出甲队以：获胜的概率．
此题主要考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
解：甲队以：获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，
则甲队以：获胜的概率是：
故答案为：
17.【答案】;
【解析】解：离散型随机变量的分布列可知：，解得，
所以离散型随机变量的分布列为
则的数学期望．
故答案为：．
利用分布列的性质求出，然后求解期望即可．
该题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．
18.【答案】60;
【解析】解：甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的胜局相互独立．
则甲获胜的局数，
则，
甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则，
甲所获奖金总额的方差．
故答案为：．
甲获胜的局数，则，甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则，由此能求出甲所获奖金总额的方差．
此题主要考查甲所获奖金总额的方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：乙在前次投篮中，恰好投进个球为事件，
则；
答：乙在前次投篮中，恰好投进个球的概率为；
设前轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，
则的取值为，，，；
设前轮投篮中，甲进球个数为，则的取值为，，，，
计算，
，
，
；
所以，
，
，
；
所以的分布列为；
数学期望为．;
【解析】该题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
利用次独立重复实验恰有次发生的概率公式计算即可；
由题意知随机变量的取值，计算对应的概率值，写出分布列，再求出数学期望值．
20.【答案】解：（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表：
选手年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65）
频数 6 22 32 24 10 6
频率 0.06 0.22 0.32 0.24 0.1 0.06
由频率分布表，作出频率分布直方图，如右图．
（2）∵样本中年龄在[55，65]内的6位选手中，有4名女选手，2名男选手，现从中选3人进行回访，记选出的女选手的人数为X，
∴X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
数学期望EX==2，
方差DX=+=．;
【解析】
Ⅰ由已知条件作出频率分布表，由此能作出频率分布直方图．
由题意的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列、数学期望与方差．
该题考查频率分布直方图的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
21.【答案】解：（1）由题意可得，设白球为10-x，黑球为x个，
∵从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为，
∴，解得x=6，
故白球有4个，黑球有6个．
（2）设恰好摸到2个黑球为事件D，
则P（D）=．
（3）X的可能取值为0，1，2，
则，，．
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
．;
【解析】
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
的可能取值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22.【答案】解：的可能取值为，，的可能取值为，，；
则的可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为：
的可能取值为，，的取值可能为，，，……，，
当时，，，或，
;
【解析】此题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望
计算的取值对应的和的取值，利用组合数公式计算概率，得出分布列和数学期望；
利用组合数公式计算概率．
23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，调查的50人中达到自己实际的水平有：
3+6+6+6+4+3=28（人），
故所求的概率为P==0.56；
（Ⅱ）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，
则ξ=0，1，2，3；
当P（ξ=0）==；
P（ξ=1）==；
P（ξ=2）==；
P（ξ=3）==，
所求的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
则E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．;
【解析】
Ⅰ根据表格确定出人达到自己实际的水平的人数，即可求出所求概率；
Ⅱ确定出调查的人中高考成绩没有达到实际水平的人数为，求出各自的概率，得到分布列，再求出数学期望值．
该题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，是中档题．
