人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
2.（5分）某学校社会实践小组共有名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.（5分）从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，共可得到的不同值的个数是
A. B.
C. D.
4.（5分）已知二项式，且，则
A. B. C. D.
5.（5分）从人中选人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.（5分）名男生和名女生排在一起做操，要求男生不相邻，则不同的排法有
A. B. C. D.
7.（5分）全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化，极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排，，，，五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且，两名同学安排在同一学院，，两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
8.（5分） 某教师有相同的语文参考书本，相同的数学参考书本，从中取出本赠送给位学生，每位学生本，则不同的赠送方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知的展开式中第项的二项式系数最大，则的值可以为
A. B. C. D.
10.（5分）已知其中的展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，则下列结论正确的是
A. 的值为 B. 二项展开式中常数项为第项
C. 二项展开式中有理项有项 D. 二项式系数最大的项是第项
11.（5分）已知二项式的展开式中各项的系数和为，则下列说法正确的是
A. 展开式中的常数项为
B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第四项
D. 展开式中的指数均为偶数
12.（5分）已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则
A.
B.
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含项的系数为
13.（5分）将个相同的玩偶分给甲、乙等个人，每人至少分到个玩偶，则
A. 不同的分配方法共有种
B. 不同的分配方法共有种
C. 若甲分得个玩偶，则不同的分配方法有种
D. 若甲、乙各分得个玩偶，则不同的分配方法有种
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，这些五位数中能被整除的数有多少个？
15.（5分）分配名水暖工去个不同的居民家里检查暖气管道，要求名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有________种用数字作答
16.（5分）展开式中所有二项式系数的和为 ______ ，所有系数的和为 ______ .
17.（5分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含项的二项式系数__________.
18.（5分）年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 ______用数字作答
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）用，，，，这个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
被整除；
比大的偶数；
左起第二、四位是奇数的偶数．
20.（12分）用五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数个数是多少？
21.（12分）若的展开式的二项式系数和为
求含项的系数；
如果第项和第项的二项式系数相等，求的值，
22.（12分）已知，且
求的值；
求…的值．
23.（12分）已知…，，，或，，，…，且，，对于，，表示和中相对应的位置上的数字不相同的个数．例如，，，则，有一对数字不相同，
令，问：存在多少个，使得？
令…，，若任取，求所有之和．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：二项式的展开式的通项为
．
，且，
当、、、、、、时，．
二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有项．
故选：．
写出二项展开式的通项，由为整数求得值，可得有理项的项数．
此题主要考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：先将甲乙捆绑在一起当作一人，再将人分成三组，人数分别为，，，有种分法，
然后将三组成员分配到三个基地，有种分配方案．
故选：
将甲乙捆绑在一起，将四组成员分成三组，再分配到三个基地，从而得解．
此题主要考查排列组合的应用，捆绑法，平均分组问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】
该题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．
因为，所以从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从，，，，这五个数中任取个数排列后两数在分子和分母不同，减去相同的数字即可得到答案．
解：因为，所以从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，
共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，
首先从，，，，这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，
因为，，
所以从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，
共可得到的不同值的个数是：．
故选：．
4.【答案】C;
【解析】解：由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得，即解得．
令，得．
故选：．
写出二项展开式的通项，由求得值，再取得答案．
该题考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，是基础题．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了组合问题，属于基础题.
甲必须参加中推出题意只要从除甲之外的人中选人即可得解.
解：由题意可得甲必须参加，
因此只要从除甲之外的人中选人即可，
有种不同的选法.
故选
6.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①、先将名女生排好，有种情况，排好后有个空位，
②、在个空位中，任选个，安排名男生，有种情况，
则共有种排法，
故选：．
根据题意，用插空法分步进行分析：①、先将名女生排好，排好后有个空位，②、在个空位中，任选个，安排名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
该题考查分步乘法计数原理，排列数公式，需要牢记常见问题的处理方法，如不相邻问题用插空法．
7.【答案】D;
【解析】此题主要考查了排列、组合的综合应用 ，由当两个学院各分人另一个学院分人和两个学院各分人另一个学院分人分 类讨论可得答案
解：①当两个学院各分人另一个学院分人时，有种；
②当两个学院各分人另一个学院分人时，有种．
故满足条件的分法共有种．
故选
8.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
①、若取出的本书全部是数学参考书，将其赠送给位学生，有种情况，
②、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，需要在个学生中选取人，接受语文参考书，剩下的人接受数学参考书，
有种赠送方法，
③、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，需要在个学生中选取人，接受语文参考书，剩下的人接受数学参考书，
有种赠送方法，
④、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，需要在个学生中选取人，接受语文参考书，剩下的人接受数学参考书，
有种赠送方法，
则一共有种赠送方法，
故选：．
根据题意，安取出数学参考书的数目分种情况讨论：①、若取出的本书全部是数学参考书，②、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，③、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，④、若取出的本书有本语文参考书，本数学参考书，分别求出每一种情况的赠送方法数目，由加法原理计算可得答案．
该题考查分类计数原理的应用，注意语文参考书和数学参考书都是相同的．
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．
由题意利用二项式系数的性质，求得的值．
解：已知的展开式中第项的二项式系数最大，则或或，
当时，的展开式共有项，其中第项与
第项的二项式系数相等且最大，满足题意
当时，的展开式共有项，只有第项的
二项式系数最大，符合题意
当时，的展开式共有项， 其中第项与
第项的二项式系数相等且最大，符合题意.
故答案为：
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了等差数列的性质，二项式定理及其应用，考查了二项展开式的特定项的系数，属于基础题.
由二项式系数结合等差数列的性质化简计算可判断，利用二项式定理展开式的通项公式得：，可判定，，得结果.
解：由题意，化简得，
，
，正确；
展开式通项为，
显然其中无常数项，错误；
当时，为整数，
因此展开式中有项为有理项，正确；
展开式有项，二项式系数最大的项为第项，错误．
故选
11.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，及二项展开式特定项与特定项的系数，属于中档题.
利用赋值法计算的值， 再利用展开的通项公式获得具体项.
解：令代入二项式可得各项的系数和为，即可得，正确
对于，设展开式的通项为，
当为常数项时，则有，则可得，
代入二项式， 可得展开式的常数项为，故错误
对于， 因为， 可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项， 故正确
对于， 该展开式的通项为，可得展开式中的指数均为偶数，故成立.
故答案选：
12.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
对选项一一进行分析判断即可得.
解：令，得的展开式中各项系数之和为，所以，选项正确；
的展开式中第二项的二项式系数为，所以，选项正确；；
的展开式的通项公式为，
令，则，所以展开式中不存在常数项， 选项错误：
令，则，所以展开式中项的系数为，选项正确.
故选
13.【答案】BCD;
【解析】解：：用隔极法，个玩偶用个隔板分开，有个空位，有种，错误，是正确；
：甲有个，剩余个分给个人，个玩偶有个空位用个隔板分开，
种，正确，
：甲有个，乙有个，剩余个分给个人，
个玩偶有个空位用个隔板分开，有种，正确．
故选：
相同元素利用隔板法进行求解即可．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，属基础题，难度不大.
这种问题比较容易出错，解题时要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．
解：末尾是，有个，
末尾是，有个，
共个．
故答案为
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查排列、组合及简单计数问题属于基础题.
将人中的人当成一组，分成组，进行全排列即可.
解：名水暖工分组有种，然后分配到个不同的居民家，有种，
则共有种.
故答案为
16.【答案】；;略;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．
根据展开式中所有二项式系数的和为，计算求得结果．在展开式中，令，可得所有系数的和．
解：展开式中所有二项式系数的和为，
在展开式中，令，可得所有系数的和为，
故答案为：；
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用以及二项式展开式特定项的系数，属于中档题.
利用条件求出的值后，再由二项式展开式的通项求解.
解：展开式的常数项为，
的展开式的各项系数之和为，所以，
所以展开式中含项，
所以含项的二项式系数为，
故答案为
18.【答案】144;
【解析】解：根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，
先排个不同造型的“雪容融”，
再将个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，
有种排法．
故答案为：
根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，先排个不同造型的“雪容融”，再将个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，由分步乘法计数原理求解即可．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：（1）被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，
可分两类：当末两位数是20，40，04时，
其排列数为3A33=18个，当末两位数是12，24，32时，
其排列数为3 A21A22=12个，故满足条件的五位数共有3A33+3A21A22=30个．
（2）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A21A22+A22=6个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A21A33=12个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A21A33=12个；当末位数字是4，
而首位数字是2时，有A22+A11=3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33=6个．
故有（A21A22+A22）+A21A33+A21A33+A22+A11+A33=39个．
法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有A31A33=18个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A21个；还有21034本身．
而由0，1，2，3，4组成的五位偶数有A44+C21A33=60个．
故满足条件的五位偶数共有60-A31A33-A21-1=39个．
（3）法一：可分两类，0是末位数，有A22A22=4个，2或4是末位数，
有A22A21=4个．故共有A22A22+A22A21=8个．
法二：第二、四位从奇数1，3中取，有A22；
首位从2，4中取，有A21个；余下的排在剩下的两位，有A22个，
故共有A22A21A22=8个．;
【解析】
数字排列问题，不能排首位，特殊元素特殊位置应优先考虑；
合理分类或分步，做到不重不漏；
正难则反，注意间接法的应用．
该题考查有限制条件问题的计数问题，要注意对特殊元素或者特殊位置进行优先考虑，注意分类加法原理和分步乘法原理的运用，考查学生的分类讨论思想．
20.【答案】个;
【解析】解：满足要求的五位数分为三类：偶奇偶奇奇：种．奇偶奇偶奇：种．奇奇偶奇偶：种．共有个
21.【答案】解：，二项式展开式的通项如下：
，由已知令，所以
所以含项的系数为
第项与第项的二项式系数相等，
则，即或
解得或舍
故的值为
;
【解析】此题主要考查二项式定理的应用以及二项式展开式指定项系数的求解，属于基础题.
借助于展开式通项，令，得到，再回代通项，即可得到答案；
根据题意，得到，再根据组合数的性质，解方程得到的值.
22.【答案】解：，
，即，
解得；
令，得，
令，得，
;
【解析】此题主要考查了二项式定理的应用和二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题.
利用二项展开式的特定项即可求出答案；
令和令，分别求出和，两式相减求出.
23.【答案】解：因为，所以与中相对应的数有个不同，有种可能，这个位置上的每一个元素又有可能是或的种可能，所以满足条件的有个
具体为，，，，，，，，，，，
设…，
由可知：满足的共有个．
设所有之和为，
则
因为
，
所以
;
【解析】此题主要考查组合数的公式以及二项式定理的应用，属较难题.
满足条件的有个，根据题目要求找出复合条件的数即可；
设所有之和为，则，利用组合数性质化简得，利用二项式定理逆用得到结果.
