肇东四中2022-2023学年下学期期中考试高二数学试题
一、单选题
1．曲线在处切线的斜率为（ ）
A．1 B． C．7 D．
2．从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成（ ）个三位偶数
A．30 B．24 C．18 D．36
3．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
4．某地教育部门为了解小学生的视力状况，要从该地甲，乙，丙，丁 4 所小学中随机抽取2 所进行检查，则甲小学被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．二项式的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第6项 B．第5、6项 C．第7项 D．第6、7项
8．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
二、多选题
9．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件
C． D．
10．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的单调递增区间为和
C．的最大值为
D．的极值点为
12．已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的数学期望 B．
C．随机变量X的方差 D．随机变量Y的方差
三、填空题
13．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为___________.
14．有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有________种不同的分派方案.
15．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
16．若离散型随机变量满足：，则______.
四、解答题
17．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码的概率.
18．已知函数在处取得极值-14.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最值.
19．某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．
(1)求恰有4次命中的概率；
(2)求至多有4次命中的概率；
(3)设命中的次数为，求．
20．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．
(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；
(2)求从乙盒取出2个红球的概率．
21．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
22．已知，函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数的减区间是，求a的值；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为，
故曲线在处切线的斜率为.
故选：B.
2．A
【分析】分个位为0、个位为2或4两种情况讨论得解.
【详解】当个位为0时，先从1,2,3,4中选出两个数字排列在百位和十位，共有种方法；
当个位为2或4时，先从2, 4中选出1个数字排列在个位，有种方法，再从剩下的3个非0数字中选一个排在百位，有种方法，最后从剩下的3个数字中选一个排在十位，有种方法，共有种方法.
综合得能组成个三位偶数.
故选：A
3．D
【分析】先利用的图象得到的单调区间，进而求得函数的极小值
【详解】当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减
则当时，取得极小值，极小值为
故选：D
4．C
【分析】求出总情况共有6种，满足情况的有3种，则可得到答案.
【详解】总共抽取的情况共有种，其中含有甲小学的共有种，
故甲小学被抽到的概率为，
故选：C.
5．C
【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.
【详解】解:由题知,定义域为,
所以,
令,解得,
所以的单调增区间为:.
故选:C
6．C
【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.
【详解】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则，
故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为.
故选：C.
7．A
【分析】根据二项展开式的二项式系数为，由展开式的项数判断.
【详解】解：设二项式的展开式中二项式系数为，
因为二项式的展开式共有11项，
所以r=6时，二项式系数最大，
故选：A
8．C
【分析】根据正态分布的对称性计算即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以.
故选：C.
9．CD
【分析】根据互斥的概念及独立事件概率公式可判断A、B；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断C、D.
【详解】解：当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A错误；
因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以，，
若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，
若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，
所以，，，
因为，所以事件A与事件C不是独立事件，
故选项B错误；选项C正确；
因为，故选项D正确.
故选：CD
10．AC
【分析】先计算q的值，然后考虑、的值，最后再计算,的值,从而可得答案.
【详解】由题意有，得
所以
故选：AC
【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，,属于基础题.
11．AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.
【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；
令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；
由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误.
故选：AB
12．AC
【分析】利用服从二项分布，
则有，，
可判断出选项ABC的正误；利用时，，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为X服从二项分布，
故，，故选项A，C正确；
又，故B选项错误，
又，则，故选项D错误.
故选：AC.
13．
【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.
【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.
二项式展开式的通项公式为.
令，所以展开式中含的系数为.
故答案为：
14．12960
【分析】根据题意可分为2类：甲被选中和甲不被选中，求出对应的方案，结合分类计数原理即可求解.
【详解】由题意知，可分为两类：
第1类，甲被选中，共有种分派方案；
第2类，甲不被选中，共有种分派方案.
根据分类计数原理，共有
(种)分派方案.
故答案为：12960.
15．0
【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.
【详解】根据概率的性质可得解得，
所以，
所以.
故答案为:0.
16．
【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】先区分事件的关系，再利用对立事件的概率公式、独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式计算即可；
【详解】（1）记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，
A，B为相互独立事件，且，.
2个人都译出密码的概率为.
（2）两个人都译不出密码的概率为.
（3）恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为
.
18．(1)
(2)最小值为-14，最大值18
【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.
（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.
【详解】（1）因，故
由于在处取得极值-14，故有，
化简得，解得，
经检验，时，符合题意，所以.
则，，故.
所以曲线在点处的切线方程为：，即
（2），，
解得或；解得，
即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
，
因此在的最小值为.最大值为
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出恰有4次投中的概率．
（2）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出至多有4次投中的概率．
（3）由题意可知，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
【详解】（1）解：（1）某篮球运动员投篮的命中率为，则未命中的概率为，
现投了次球，恰有次投中的概率为： ．
（2）解：至多有4次投中的概率为：
．
（3）解：由题意可知，所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.
【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，
所以
分布列如下：
0 1 2
所以.
（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，
此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；
(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，
此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
(iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出2个红球的概率为.
21．(1)
(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
【详解】（1）取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，则：
此次品由甲车间生产的概率为：.
此次品由乙车间生产的概率为：.
此次品由丙车间生产的概率为：.
22．(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可求得切线方程；
（2）因为，且函数的减区间是可得；
（3）令，求导判断单调性，从而问题转化为，求解即可.
【详解】（1），
当时，，
，
在点处的切线方程为，即
（2）函数的减区间是(-1，4)，
而
令，当时，，单调递减，，
当时，，单调递减，不符合题意，
当，无实数解，不符合题意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
当时，；当时，
故在上递减；在上递增
所以，即，
所以，
实数的取值范围是.
