2022-2023学年江苏省扬州市江都区邵樊片七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的图案分别是一些汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列方程是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的为( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 一个三角形的三个内角度数之比为：：，则这个三角形中的最小内角是( )
A. B. C. D.
7. 如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 已知流感病毒的直径为米，数据用科学记数法可以表示为______．
10. 比较大小：______．
11. 已知是二元一次方程，则 ______ ．
12. 若是一个完全平方式，则 ______ ．
13. 一个三角形的两边长分别为和，若第三边取奇数，则此三角形的周长为______．
14. 若计算的结果中不含关于字母的一次项，则的值为______ ．
15. 计算：已知：，，则______．
16. 如图，______
17. 如图，在中，，，平分的外角，射线将分成：两部分若、交于点，则 ______ ．
18. 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒度，灯转动的速度是每秒度．若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动______秒，两灯的光束互相平行．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
分解因式：
；
．
21. 本小题分
先化简后求值：，其中，．
22. 本小题分
在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
在给定方格纸中画出平移后的；
画出边上的中线；
画出边上的高线；
记网格的边长为，则在平移的过程中线段扫过区域的面积为______．
23. 本小题分
求值：
已知，求的值；
已知，求的值．
24. 本小题分
完成下面的证明过程，如图，，，求证：．
证明：，已知
，______
又，已知
，______
______ ，______
______
25. 本小题分
四边形中，，、分别是、的平分线．
求证：；
．
26. 本小题分
若满足，求的值．
解：设，，则，，．
解决问题：
若满足，则 ______ ．
若满足，求的值，参考例题写出解题过程．
如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为______ ．
27. 本小题分
将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值．
解：原式．
，
．
当时，的最小值是．
在横线上添加一个常数项，使代数式 ______ 成为完全平方式；
请仿照上面的方法求代数式的最小值；
已知的三边，，满足，，求的周长．
28. 本小题分
【探究】
如图，，，和的平分线交于点，则______；
如图，，，且，和的平分线交于点，则______；用、表示
如图，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、可以由一个“基本图案”旋转得到，不可以由一个“基本图案”平移得到，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误
C、不可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项错误；
D、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正确；
故选：．
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，
故不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，
故不符合题意；
C、，原式计算正确，
故符合题意；
D、，原式计算错误，
故不符合题意；
故选：．
根据同底数幂乘法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：的最高次数是二次，不符合题意；
B.是二元一次方程，符合题意；
C.的最高次数是二次，不符合题意；
D.不是整式方程，不符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是二元一次方程判断即可．
本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、是因式分解，符合题意；
C、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，等式右边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
故选：．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【解答】
解：、因为，所以同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意；
B、因为，所以同旁内角互补，两直线平行，故本选项不符合题意；
C、因为，所以内错角相等，两直线平行，故本选项不符合题意；
D、因为，所以同位角相等，两直线平行，不能证出，故本选项符合题意．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：最小角的度数：，
故选：．
依据三角形的内角和是度，利用按比例分配的方法，即可分别求得最小角的度数．
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是度是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，右转的次数至少为，
，
的最大值为．
故选：．
机器人行走的路程至少为米，每次走米，回到点时，组成一个封闭的图形，由于每次右转的角度相同，所以右转的次数至少为，据此求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据，得到，进而得到，由此即可得到答案．
本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确推出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
10.【答案】
【解析】解：，，
又，
．
由于与的最大公约数是，所以可将与都转化成指数是的幂的形式，再比较它们的底数即可．
本题考查了两个幂的大小比较的方法．一般地，要比较两个幂的大小，或者将它们的底数变得相同，或者将它们的指数变得相同．本题中逆用幂的乘方的运算性质，将改写成，改写成，是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是二元一次方程，
，
，
故答案为：．
根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
12.【答案】或
【解析】解：是一个完全平方式，，
，
解得：或．
故答案为：或．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
13.【答案】
【解析】解：设第三边长为．
根据三角形的三边关系，则有，
即．
因为第三边取奇数，
所以．
所以周长．
故答案为：．
本题可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
，
计算的结果中不含关于字母的一次项，
，
解得：，
故答案为：．
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：
将所求式子利用完全平方公式变形后，把与的值代入即可求出值．
此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
由三角形外角性质可知：
，，
，
在四边形中，由四边形内角和可知：
，
．
故答案为：．
根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．
本题考查了多边形内角与外角、三角形外角性质，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理、三角形外角性质．
17.【答案】或
【解析】解：，，
，
平分，
；
如图所示，当靠近时，
射线将分成：两部分，
，
；
同理如图所示，当靠近时，；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
先根据三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，再分当靠近时，当靠近时，两种情况利用三角形外角的性质求解即可．
本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
解得 ；
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行．
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得 ；当时，根据，可得．
本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
19.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可；
根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算等计算法则求解即可．
本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
20.【答案】解：；
．
【解析】先提取，再利用平方差公式分解因式即可；
先提取，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：
，
将，代入，
原式．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式求解得化简结果，然后代值求解即可．
本题考查了完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式，代数式求值等知识，正确的运算求解是解题的关键．
22.【答案】如图所示：，即为所求；如图所示：线段即为所求；如图所示：高线即为所求；
【解析】解：见答案；
见答案；
见答案；
在平移的过程中线段扫过区域的面积为：．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用中线的定义得出答案；
直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；
利用平移的性质结合平行四边形的面积求法得出答案．
此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出对应点位置是解题关键．
23.【答案】解：，
，
；
，
，
，
，
．
【解析】先求出，再根据进行求解即可；
由可得，进而得到，则．
本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
24.【答案】两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
只需要根据题意证明，即可根据两直线平行，同旁内角互补证明．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
25.【答案】证明：，分别是，的平分线，
，，
，，
，
，
；
在中，，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握四边形内角和为度，同位角相等，两直线平行．
根据四边形的内角和，可得，然后，根据角平分线的性质，即可得出；
由互余可得，根据平行线的判定，即可得出．
26.【答案】
【解析】解：设，，
，
，
，
故答案为：；
设，，
，
，
，
，
；
由题意得，，，
长方形的面积为，
，即，
，
，
，
图中阴影部分的面积和为，
故答案为：
仿照题意进行求解即可；
设，，根据题意可得，再求出，最后根据进行求解即可；
先求出，，进而得到，，再根据进行求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
27.【答案】
【解析】解：由题意得，常数项为，
故答案为：；
原式．
，
．
当时，的最小值是；
，，，
，
，
，
，，，
，，，
的周长为：．
根据完全平方式的特点可知当二次项系数为时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案；
根据题干解题过程进行求解即可；
由，，可得，，再化简即可得，，，进而得周长．
本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
28.【答案】；
；
若，则．
证明：如图．
若，则．
平分，平分，
，．
．
．
．
【挑战】如图
．
【解析】解：如图．
平分，平分，
，．
，
．
又，
．
故答案为．
如图．
由得：，．
．
故答案为．
见答案；
【挑战】如图．
平分，平分，
，．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
又，
．
．
利用三角形外角的性质，列出再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有与的关系式，进而求出．
本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
第1页，共1页
