2023高一下数学空间几何专题
一．立体图形直观图
1．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（ ）
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
2．如图，正方形O'A'B'C'是水平放置的四边形OABC的斜二测直观图，A'B'＝3，则四边形OABC的面积是（ ）
A． B． C．18 D．9
3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
4．如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则△ABC的周长是 ．
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为 ．
6．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．
7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 ．
8．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为 ．
二．几何体外接球及表面积、体积
9．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，则该球的体积为（ ）
A．16π B． C．8π D．
10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，．三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
11．在△ABC中，AB＝AC＝2，，D为BC的中点，将△ACD绕AD旋转至APD，使得，则三棱锥P﹣ABD的外接球表面积为（ ）
A． B． C．5π D．8π
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，BB1＝7，点P在棱BB1上，且P靠近B点，当PA⊥PC1时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．10π D．17π
13．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D是BC中点，．将△ABC沿AD折起得到三棱锥A﹣BCD，使得∠BDC＝120°，则该三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 ．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，其中点E，F分别为棱AB，BC的中点，则平面D1EF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得上下两部分的体积之比为 ．
15．如图所示，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是A1C1，BC1，A1B的中点，则锥体B1﹣PQR的体积为 ．
16．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边AB、BC上，，将△AED，△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求三棱锥A′﹣EFD的体积．
17．在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥B﹣QCA的体积．
18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面BED⊥平面ACD；
（Ⅱ）若BD＝2，点F在BD上且AF⊥BD，求三棱锥F﹣ABC的体积．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，∠APC＝∠ABC＝，PA＝PC＝BA＝BC＝2，平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）若点M是PC的中点，点N在PA上，且PN＝PA，求三棱锥A﹣BMN的体积．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PAD；
（2）若AB＝AP＝2，求三棱锥P﹣ACM的体积．
三．空间点直线平面关系
21．已知l，b，c为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b，c α，l⊥b，l⊥c，则l与α的关系是（ ）
A．l⊥α B．l∥α C．l在α内 D．不确定
22．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．a⊥b，a⊥α，则b∥α B．a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．a α，b β，α∥β，则a∥b D．a α，b β，a∥β，b∥α，则α∥β
23．已知α，β是空间中两个不重合的平面，a，b是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．a∥b，b α a∥α B．α∥β，a α a∥β
C．a∥α，b α a∥b D．a∥α，a β α∥β
24．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列叙述正确的是（ ）
A．若l∥α，m α，则l∥m B．著l∥m，m α，则l∥α
C．若l∥α，m α，l m，则l，m异面 D．若α∥β，l α，m β，则l∥m
25．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n③如果α∥β，m α，那么m∥β
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题为（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
26．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（ ）
A．DB1⊥平面ACD1 B．BC1∥平面ACD1 C．BC1⊥DB1 D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关
27．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
28．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D．
29．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
30．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是 ．
①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD1与BD为异面直线．
四．空间直线、平面平行
31．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内
32．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
33．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段A1D1，A1B1，B1B，BC，B1D1的中点，连接CD1，B1D1，B1C，DE，BF，CI，则下列正确结论的序号是 ．
①点E，F，G，H在同一个平面上；②平面CB1D1∥平面EFD； ③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线B1C所成角的余弦值为．
34．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l．
（1）证明：DF∥平面PBE；（2）证明：DF∥l．
35．如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
（1）GE∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H．
五．空间直线平面的垂直
36．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C，AB所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 ．
38．如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PA＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．
（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．
39．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DAB＝90°，EC＝AD＝2，AB＝BC＝1，．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直线EB与平面EAC所成的角的正弦值．
40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．
（1）求证：PA⊥平面PCD；
（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
41．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰三角形，PA＝4，AB⊥BC，AB＝2，在平面PCB内作CH⊥PB交PB于点H，点D是PA的中点，则BH和平面CDH所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
42．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1垂直的平面交AC1于点T，则异面直线A1T和CD1所成角的大小
43．如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
44．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．
45．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，∠BAD＝60°，且SA＝SC，SA⊥BD，AB＝SD＝2．
（1）证明：SO⊥平面ABCD；
（2）若P是侧棱SD中点，求三棱锥A﹣SPC的体积；
（3）若P，Q分别是侧棱SD，SB中点，求二面角S﹣AQ﹣P的余弦值．
课后练习
46．设直线a，b，c，若a与b是异面直线，a与c平行，则b与c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面
47．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，若AB＝BC，AB⊥BC，则异面直线AC与B1C1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（多选）48．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）
A．C1M∥AC B．BD1⊥AC
C．BC1与AC所成的角为60° D．CD与BN为异面直线
49．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1；
（3）若AA1＝2，求A1到面AB1D1的距离．
（多选）50．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图所示，AB⊥BC，BB1＝AB＝BC＝2，O为A1C的中点，点P是线段BC1上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．A1P⊥OB1
B．存在点P，使得直线A1P与AB所成的角是30°
C．当点P是线段BC1的中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成角的正切值为
D．当点P是线段BC1的中点时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是12π
51．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 ．
（多选）52．设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥α，则a∥α B．若a∥b，a∥α，b∥β，则a∥β
C．若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β D．若a⊥α，b∥α，则a⊥b
53．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
54．如图，在三棱柱：ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点D为线段BC中点，侧面BCC1B1为矩形．
（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）若，二面角A﹣BC﹣A1的正切值为，求CC1与平面A1BC所成角的正弦值．
55．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中B'C'＝C'A'＝2，A'B'，A'C'分别与x'轴，y'轴平行，则BC＝（ ）
A．2 B． C．4 D．
56．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB＝AD，AD＝A1B1，∠BAD＝45°．
（1）证明：BD⊥AA1；
（2）证明：AA1∥平面BC1D．
57．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，O为AC与BD的交点．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若M为PD的中点，求三棱锥M﹣OCD的体积．
58．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
（多选）59．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．∠A1C1B＝45°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球体积为
60．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）点M在平面PBD内，直线AM⊥平面PBD，求四棱锥M﹣ABCD的体积．
参考答案与试题解析
1．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（ ）
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
【解答】解：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；
因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．
故选：A．
2．如图，正方形O'A'B'C'是水平放置的四边形OABC的斜二测直观图，A'B'＝3，则四边形OABC的面积是（ ）
A． B． C．18 D．9
【解答】解：∵S原图＝2S直观图，S直观图＝3×3＝9，∴S原图＝＝，
故选：A．
3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【解答】解：根据题意，根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；
其中AB＝A'B'＝3，AC＝2A'C'＝4，∠CAB＝90°，
则△ABC的面积S＝×3×4＝6；
故选：B．
4．如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则△ABC的周长是 4+4 ．
【解答】解：根据题意，在原图中，OB＝2O'B'＝2，OA＝OC＝O'C'＝O'A'＝2，
则AB＝BC＝2，AC＝4，
则△ABC的周长是4+4；
故答案为：4+4．
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为 ．
【解答】解：∵直观图中A′C′＝3，B′C′＝2，
∴Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4
由勾股定理可得AB＝5
则AB边上的中线的实际长度为
故答案为：
6．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．
【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD＝1，高AB＝2A'B'＝2，下底为BC＝1+，
∴．
故答案为：2+．
7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 2+ ．
【解答】解：DC＝ABsin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，
S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，
S＝S梯形ABCD＝2+．
故答案为：2+
8．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为 6 ．
【解答】解：过C'作C'D∥y'，则∠C'DB'＝45°，
∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，
∴C'D＝3，
根据斜二测的性质，则△ABC的边AB上的高等于2C'D＝6，
故答案为：6．
9．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，则该球的体积为（ ）
A．16π B． C．8π D．
【解答】解：由题意将此三棱锥放入长方体中，如图所示，
设外接球的半径为R，则由长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线可得：
2R＝＝4，所以R＝2，
所以外接球的体积V＝πR3＝π×23＝．
故选：D．
10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，．三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，
把三棱锥P﹣ABC放置在棱长为1的正方体中，
则正方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，
设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，则2R＝＝，
∴R＝．
故选：D．
11．在△ABC中，AB＝AC＝2，，D为BC的中点，将△ACD绕AD旋转至APD，使得，则三棱锥P﹣ABD的外接球表面积为（ ）
A． B． C．5π D．8π
【解答】解：如下图所示：
圆柱O1O2的底面圆直径为2r，母线长为h，则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱O1O2的外接球球心．
翻折前，在△ABC中，AB＝AC＝2，，D为BC的中点，则AD⊥BC，
且，
翻折后，则有AD⊥BD，AD⊥PD，
又因为BD∩PD＝D，BD、PD 平面PBD，所以，AD⊥平面PBD，
由已知，则△PBD是边长为的等边三角形，
将三棱锥A﹣PBD置于圆柱O1O2上，使得△PBD的外接圆为圆O2，
所以△PBD的外接圆直径为，
所以三棱锥P﹣ABD的外接球直径为，则，
因此三棱锥P﹣ABD的外接球表面积为．
故选：C．
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，BB1＝7，点P在棱BB1上，且P靠近B点，当PA⊥PC1时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．10π D．17π
【解答】解：在△ABC中，AB＝＝2，
AC1＝＝，
∵PA⊥PC1，∴PA2+＝，∴AB2+BP2+（7﹣BP）2+B1＝，
解得BP＝1或BP＝6，
又∵B1B＝7，且靠近B点，∴BP＝1，
由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为r＝×＝2，
三棱锥P﹣ABC的外接球半径R满足：R2＝r2+（）2＝，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝17π．
故选：D．
13．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D是BC中点，．将△ABC沿AD折起得到三棱锥A﹣BCD，使得∠BDC＝120°，则该三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 ．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D是BC中点，．
在△BCD中，由已知可得，BD＝DC＝2，将△ABC沿AD折起得到三棱锥A﹣BCD，使得∠BDC＝120°，可得BC＝2，
设△BCD的外心为G，则GD＝＝2，
再设四面体A﹣BCD的外接球的球心为O，连接OG，则OG＝AD＝．
∴外接球的半径R＝OD＝＝．
可得四面体A﹣BCD的外接球的体积为V＝＝．
故答案为：．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，其中点E，F分别为棱AB，BC的中点，则平面D1EF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得上下两部分的体积之比为 ．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝4×4×4＝64．
五边形AEFCD的面积S＝4×4＝14，则，
则平面D1EF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得上下两部分的体积之比为．
故答案为：．
15．如图所示，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是A1C1，BC1，A1B的中点，则锥体B1﹣PQR的体积为 ．
【解答】解：如图，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴△A1BC1是边长为的等边三角形，
∴＝．
∵P，Q，R分别是A1C1，BC1，A1B的中点，∴．
设B1 到平面A1BC1 的距离为h，
由，得，即h＝．
∴锥体B1﹣PQR的体积为V＝．
故答案为：．
16．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边AB、BC上，，将△AED，△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求三棱锥A′﹣EFD的体积．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CF，AD⊥AE，
∴DA′⊥A′F，DA′⊥A′E，
∵A′F，A′E为面A′EF内两相交直线，
∴DA′⊥面A′EF，
∵EF 面EFA′，
∴A′D⊥EF；
（2）解：取EF中点H，连接A′H，DH，
∵BE＝BF＝BC，
∴（H为EF的中点），
∴，
∴，
∴．
17．在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥B﹣QCA的体积．
【解答】（1）证明：取AD的中点为O，连接QO，CO．
因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，
而，故．
在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故，
因为QC＝3，故QC2＝QO2+OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，
因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，
因为QO 平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．
（2）解：取AD的中点O，连接QO，QO⊥底面ABCD，且QO＝2，
所以VB﹣ACQ＝VQ﹣ABC＝＝．
18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面BED⊥平面ACD；
（Ⅱ）若BD＝2，点F在BD上且AF⊥BD，求三棱锥F﹣ABC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）因为△ABC是边长为2的正三角形，E为AC的中点，所以BE⊥AC，
又因为△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，所以DE⊥AC，且DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BDE，AC 平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD；
解：（Ⅱ）因为△ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，所以，
BE为正△ABC的高线，，又BD＝2，所以DE2+BE2＝BD2，
所以DE⊥BE，又DE⊥AC，BE∩AC＝E，所以DE⊥平面ABC，所以DE为三棱锥D﹣ABC的高线，
取AD中点M，连接，
由AD×BM＝BD×AF得，所以，所以F为BD上靠近D的四等分点，
．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，∠APC＝∠ABC＝，PA＝PC＝BA＝BC＝2，平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）若点M是PC的中点，点N在PA上，且PN＝PA，求三棱锥A﹣BMN的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，
∵PC＝PA，∴PO⊥AC，
同理可证BO⊥AC，
又∵PO∩BO＝O，
PO 面POB，BO 面POB，
∴AC⊥面POB，
又∵PB 面POB，
∴PB⊥AC；
解：（Ⅱ）∵面PAC⊥面ABC，
又面PAC∩面ABC＝AC，且BO⊥AC，
∴BO⊥面PAC，
∴，
又，
由，，
∴＝，
∴＝．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PAD；
（2）若AB＝AP＝2，求三棱锥P﹣ACM的体积．
【解答】（1）证明：连接AC，
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，
因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE，
又因为PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD．
（2）因为AB＝AP＝2，则AD＝2，AE＝，
所以VP﹣ACm＝VC﹣PAM＝S△PAM AE＝×＝．
21．已知l，b，c为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b，c α，l⊥b，l⊥c，则l与α的关系是（ ）
A．l⊥α B．l∥α C．l在α内 D．不确定
【解答】解：若b，c α，l⊥b，l⊥c，当b与c相交时，l⊥α，故A正确；
若b，c α，l⊥b，l⊥c，当b∥c时，l∥α或l在α内，故BC正确；
故选：D．
22．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．a⊥b，a⊥α，则b∥α
B．a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．a α，b β，α∥β，则a∥b
D．a α，b β，a∥β，b∥α，则α∥β
【解答】解：a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，a⊥b，a⊥α，则b∥α或b α，故A错误；
对于B，a∥α，a⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
对于C，a α，b β，α∥β，则a与b平行或异面，故C错误；
对于D，a α，b β，a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：B．
23．已知α，β是空间中两个不重合的平面，a，b是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．a∥b，b α a∥α B．α∥β，a α a∥β
C．a∥α，b α a∥b D．a∥α，a β α∥β
【解答】解：对于A，还可能是a α，A错误；
对于B，由面面平行的性质知B正确；
对于C，a，b的关系不确定，C错误；
对于D，还可能是α，β相交，D错误．
故选：B．
24．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列叙述正确的是（ ）
A．若l∥α，m α，则l∥m
B．著l∥m，m α，则l∥α
C．若l∥α，m α，l m，则l，m异面
D．若α∥β，l α，m β，则l∥m
【解答】解：若l∥α，m α，则l∥m或l与m异面，故A错误；
若l∥m，m α，则l∥α或l α，故B错误；
若l∥α，m α，则l∥m或l与m异面，又l m，则l，m异面，故C正确；
若α∥β，l α，m β，则l∥m或l与m异面，故D错误．
故选：C．
25．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
③如果α∥β，m α，那么m∥β
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题为（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
所以正确的命题为：②③④，
故选：A．
26．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（ ）
A．DB1⊥平面ACD1
B．BC1∥平面ACD1
C．BC1⊥DB1
D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关
【解答】解：连接BD，则BD⊥AC，
∵BB1⊥面ABCD，∴DB1⊥AC，
连接A1D，则A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥面ADD1A1，∴DB1⊥AD1，
∴DB1⊥平面ACD1，故A正确；
∵BC1∥AD1，BC1 面ACD1，AD1 ACD1，
∴BC1∥平面ACD1，故B正确；
∵DB1⊥平面ACD1，AD1 平面ACD1，
∴DB1⊥AD1，
∵BC1∥AD1，
∴BC1⊥DB1，故C正确；
∵BC1∥平面ACD1，P为线段BC1上的动点，
∴三棱锥P﹣ACD1的体积为定值，与P点位置无关，故D错误．
故选：D．
27．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
∵BD∥PN，PQ∥AC．
∴，，
而当AN≠DN时，由PN＝MN，知BD≠AC，
故C错误．
故选：C．
28．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意，
故选：A．
29．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
【解答】解：因为AD∥BC，AD∥EF，∴CB∥EF，
所以B，C，F，E四点共面，即BC，EF确定平面BCEF，
又P∈EF，B∈BC，故直线BP 平面BCEF，
又直线FQ，F∈平面BCEF，Q 平面BCEF，
故直线FQ 平面BCEF，
又F BP，故直线FQ与PB的关系是异面，
故选：C．
30．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是 ②③④ ．
①AC∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD1与BD为异面直线．
【解答】解：由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，知：
①∵AC∩平面CB1D1＝C，∴AC与平面CB1D1相交，故①不正确；
②由正方体的性质，得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．
同理可得 B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1，故②正确；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值tan＝，故③正确；
④∵AD1∩平面ABCD＝A，BD 平面ABCD，A BD，
∴由异面直线判定理，知AD1与BD为异面直线，故④正确．
故答案为：②③④．
31．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
【解答】解：过a与P作一平面β，平面α与平面β的交线为b，
因为直线a∥平面α，所以a∥b，在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，
所以选项C正确．
故选：C．
32．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A选项，连接CD，如下图所示：
因为AC∥BD且AC＝BD，所以，四边形ABDC为平行四边形，所以CD∥AB，
因为N、Q分别为CE、DE的中点，则NQ∥CD，所以NQ∥AB，
因为AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，
所以，AB∥平面MNQ；
对于B选项，连接CD，如下图所示：
因为AC∥BD且AC＝BD，所以，四边形ABDC为平行四边形，所以AB∥CD，
因为M、Q分别为CE、DE的中点，所以MQ∥CD，所以MQ∥AB，
因为AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以，AB∥平面MNQ；
对于C选项，连接CD，如下图所示：
因为AC∥BD且AC＝BD，所以，四边形ABDC为平行四边形，所以AB∥CD，
因为M、Q分别为CE、DE的中点，所以MQ∥CD，所以MQ∥AB，
因为AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以，AB∥平面MNQ；
对于D选项，连接CD、BE交于点O，
则O为BE的中点，设BE∩MN＝F，连接FQ，
因为Q、O分别为AE、BE的中点，则OQ∥AB，
若AB∥平面MNQ，AB 平面ABE，平面ABE∩平面MNQ＝FQ，则FQ∥AB，
在平面ABE内，过该平面内的点Q作直线AB的平行线，有且只有一条，与题设矛盾，
假设不成立，故D选项中的直线AB与平面MNQ不平行．
故选：D．
33．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段A1D1，A1B1，B1B，BC，B1D1的中点，连接CD1，B1D1，B1C，DE，BF，CI，则下列正确结论的序号是 ①③④ ．
①点E，F，G，H在同一个平面上；
②平面CB1D1∥平面EFD；
③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线B1C所成角的余弦值为．
【解答】解：对于①，由题意知EF和GH相交，且EH和FG平行，所以点E，F，G，H在同一个平面上，命题①正确；
对于②，连接FG、EG和A1B，则FG∥A1B，又A1B∥CD1，所以FG∥CD1，
又因为FG 平面CB1D1，CD1 平面CB1D1，所以FG∥平面CB1D1，
又EF∥B1D1，同理得EF∥平面CB1D1，且EF∩FG＝F，EF、FG 平面EFG，所以平面EFG∥平面CB1D1，
因为平面EFG∩平面EFD＝EF，所以平面CB1D1与平面EFD不平行，命题②错误；
对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，因为EF∥BD，且EF＝BD，所以MF＝BF，
又因为FI∥BC，且FI＝BC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，
设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；
对于④，取C1D1的中点K，连接CK，则CK∥BF，则CK与B1C所成的角θ即为直线BF与直线B1C所成的角，
连接B1K，设正方体的棱长为2，则B1C＝2，B1K＝，CK＝，
由余弦定理得cosθ＝＝＝＝，命题④正确．
综上知，①③④正确．
34．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l．
（1）证明：DF∥平面PBE；
（2）证明：DF∥l．
【解答】证明：（1）取PB中点G，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以FG∥CB，，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF 平面PBE，EG 平面PBE，DF∥平面PBE，
（2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l．
35．如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
（1）GE∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H．
【解答】证明：
（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，…（1分）
易证OG∥B1C1，
且OG＝B1C1，…（2分）
BE∥B1C1，
且BE＝B1C1…（3分）
∴OG∥BE且OG＝BE，…（4分）
∴四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE…（5分）
∵OB 平面BDD1B1，GE 平面BDD1B1，
∴GE∥平面BB1D1D…（6分）
（2）由正方体的性质易知B1D1∥BD，
取DD1中点P，连接AP，FP，由于FP∥AB，且FP＝AB，故四边ABFP为平行四边形，于是得AP∥FB，又HD1∥AP，故BF∥D1H，
∴BF∥D1H…（9分）
∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF…（10分）
∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，
∴HD1∥平面BDF…（11分）
又∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H…（12分）
36．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C，AB所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图连接B1C，∵AB∥A1B1，
∴异面直线A1C，AB所成角即为∠B1A1C或其补角，
又AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，
∴，，，
∴△A1B1C为等边三角形，
∴异面直线A1C，AB所成角的大小是，
故选：C．
37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 ．
【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，
∴cos∠PBC1＝＝＝，
∴∠PBC1＝，
∴直线PB与AD1所成的角为，
故答案为：．
38．如图，三棱锥P﹣ABC中，等边三角形△PBC的重心为O，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PA＝2．E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点．
（Ⅰ）求证：MO∥平面DEF；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PBC．
【解答】证明：（I）连接PE，则O在PE上，且＝2，
M是AP的中点，D是线段AM的中点．∴＝2，
∴＝＝2，∴OM∥DE，
∵OM 平面DEF，DE 平面DEF，∴MO∥平面DEF；
（II）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝2，AE＝，
∴PE＝，PO＝，在△PEA中，cos∠APE＝＝＝，
在△POM中，由余弦定理可得OM2＝PM2+PO2﹣2PM PO cos∠APE＝3+﹣2×××＝，
∴PM2＝3＝（）2+＝PO2+OM2，∴∠POM＝90°，
∴OM⊥PE，
∵AB＝AC＝2，E是BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，又BC 平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，
∵平面PAE∩平面PBC＝PE，∴OM⊥平面PBC，
∴DE⊥平面PBC，又∵DE 平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PBC．
39．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DAB＝90°，EC＝AD＝2，AB＝BC＝1，．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直线EB与平面EAC所成的角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DAB＝90°，
EC＝AD＝2，AB＝BC＝1，，
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，
四边形ABCD是直角梯形，AB＝BC＝1，
∴，∠CAD＝45°，
∴，
∴CD2+DE2＝4＝CE2，即CD⊥DE，
∵平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩ABCD＝CD，DE 平面CDE，
∴DE⊥平面ABCD，
又AB 平面ABCD，则有DE⊥AB，
而AD⊥AB，AD∩DE＝D，AD，DE 面ADE，
∴AB⊥平面ADE；
解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABCD，∴，
又∵AD，BD 平面ABCD，∴DE⊥AD，DE⊥BD，
∴，，
∴，即，
∴，
设B点到平面AEC的距离为d，直线EB与平面EAC所成的角为θ，
∴，∴，
即直线EB与平面EAC所成的角的正弦值为．
40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．
（1）求证：PA⊥平面PCD；
（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，
由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA 平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN 平面PCD，
则PA⊥平面PCD；
（2）解：连接AN，由（2）可知，DN⊥平面PAC，
则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN＝，
故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
41．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰三角形，PA＝4，AB⊥BC，AB＝2，在平面PCB内作CH⊥PB交PB于点H，点D是PA的中点，则BH和平面CDH所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为PC⊥平面ABC，则PC⊥AB，
又因 AB⊥BC，且PC⊥BC＝C，
所以AB⊥平面PBC，
因为CH 平面PBC，
所以AB⊥CH，
因为CH⊥PB，且AB∩PB＝B，
所以CH⊥平面PAB，
所以CH⊥PA，
因为△PAC是等腰三角形，点D是PA的中点，所以CD⊥PA，
由CH∩CD＝C，所以PA⊥平面CDH，
所以∠PHD为BH和平面CDH所成的角，
PA＝4，AB＝2，
所以PC＝AC＝2，CB＝2，PD＝2，
PB＝＝2，S△PCB＝PB CH＝PC CB，
解得CH＝，所以PH＝＝，
所以sin∠PHD＝＝，
故选：C．
42．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1垂直的平面交AC1于点T，则异面直线A1T和CD1所成角的大小
【解答】解：连接BD，A1D，由正方体的性质可得AC1⊥平面A1BD，
且AC1与A1BD的交点T为等边三角形△A1BD的中心，
∵CD1∥A1B，∴异面直线A1T和CD1所成角为∠BA1T，
∵A1T为∠BA1D的角平分线，∴∠BA1T＝．
故答案为：．
43．如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【解答】（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴AA1∥BB1，
∵AA1＝4，BB1＝2，AB＝2，
∴A1B1＝＝2，
又AB1＝＝2，∴AA12＝AB12+A1B12，
∴AB1⊥A1B1，
同理可得：AB1⊥B1C1，
又A1B1∩B1C1＝B1，
∴AB1⊥平面A1B1C1．
（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，
∵AB＝BC，∴OB⊥OC，
∵AB＝BC＝2，∠BAC＝120°，∴OB＝1，OA＝OC＝，
以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，﹣，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），
∴＝（1，，0），＝（0，0，2），＝（0，2，1），
设平面ABB1的法向量为＝（x，y，z），则，
∴，令y＝1可得＝（﹣，1，0），
∴cos＜＞＝＝＝．
设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．
∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．
44．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．
【解答】证明：（I）∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝PA
∴△ABC为等边三角形，∴PA＝AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA 平面PAC，AC 平面PAC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，∵AE 平面PAC，
∴CD⊥AE
又∵AE⊥PC，PC 平面PCD，CD 平面PCD，PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD．
（II）取AC中点F，连接BF、PF，
∵AB＝BC，F为AC中点，∴BF⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BF 底面ABCD，∴PA⊥BF，
又∵PA 平面PAC，AC 平面PAC，PA∩AC＝A，
∴BF⊥平面PAC．
∴∠BPF为PB与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，∴PA⊥AC．
设PA＝AB＝BC＝AC＝2a，∴AF＝a，PF＝＝，
∴，
∴PB和平面PAC所成的角的正切值为．
45．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，∠BAD＝60°，且SA＝SC，SA⊥BD，AB＝SD＝2．
（1）证明：SO⊥平面ABCD；
（2）若P是侧棱SD中点，求三棱锥A﹣SPC的体积；
（3）若P，Q分别是侧棱SD，SB中点，求二面角S﹣AQ﹣P的余弦值．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵BD⊥SA，SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC．
又∵SO 平面SAC，∴BD⊥SO．
∵SA＝SC，AO＝OC，∴SO⊥AC．
又∵AC∩BD＝O，∴SO⊥平面ABCD．
（2）解：连接OP，
由题意知△ABD为正三角形．∴OD＝1．
由（1）知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD．
又∵SD＝2，∴在Rt△SOD中，SO＝，
∴P到面ABCD的距离为，
∵P是侧棱SD中点，故S△SPC＝S△DPC，
∴VA﹣SPC＝VA﹣PCD＝VP﹣ACD＝×（×2×2sin 120°）×＝．
（3）解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（，0，0），B（0，1，0），P（0，﹣，），Q（0，，），S（0，0，），
∴＝（，﹣，﹣），＝（0，﹣，），＝（0，﹣1，0），
设平面SAQ的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令z＝，y＝3，x＝，
∴平面SAQ的一个法向量为＝（，3，），
设平面PAQ的一个法向量为＝（a，b，c），
则，令a＝1，则b＝0，c＝2，
∴平面PAQ的一个法向量为＝（1，0，2），
设二面角S﹣AQ﹣P的大小为θ，
所以cosθ＝|cos＜，＞|＝＝，
∴二面角S﹣AQ﹣P的余弦值为．
46．设直线a，b，c，若a与b是异面直线，a与c平行，则b与c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面
【解答】解：如图，
直线A1B1看作直线a，直线BC看作直线b，即直线a和直线b是异面直线，
若直线C1D1看作直线c，可得a，c平行，则b，c异面；
若直线AB看作直线c，可得a，c平行，则b，c相交．
若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行．
故选：D．
47．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，若AB＝BC，AB⊥BC，则异面直线AC与B1C1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝BC，AB⊥BC，
∵BC∥B1C1，
∴∠ACB是异面直线AC与B1C1所成角（或所成角的补角），
∵∠ACB＝45°，
∴异面直线AC与B1C1所成角的余弦值为．
故选：A．
（多选）48．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）
A．C1M∥AC B．BD1⊥AC
C．BC1与AC所成的角为60° D．CD与BN为异面直线
【解答】解：对于A，∵AC∥平面A1B1C1D1，AC∥A1C1，A1C1∩C1M＝C1，C1M 平面A1B1C1D1，
∴C1M与AC是异面直线，A错误；
对于B，∵AC⊥DD1，AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，又BD 平面BDD1，∴AC⊥BD1，B正确；
对于C，∵AC∥A1C1，∴∠BC1A1即为异面直线BC1与AC所成的角，
∵BC＝A1C1＝A1B，∴△A1BC1为等边三角形，∴∠BC1A1＝60°，C正确；
对于D，∵CD∥AB，CD∥平面ABB1A1，AB∩BN＝B，BN 平面ABB1A1，
∴CD与BN为异面直线，D正确．
故选：BCD．
49．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1；
（3）若AA1＝2，求A1到面AB1D1的距离．
【解答】（1）证明：连接A1C1和B1D1交于点E，连接AE．
由于在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1E∥AO且CE1＝AO
四边形AOC1E为平行四边形．
所以：C1O∥AE
C1O 平面AB1D1，AE 平面AB1D1
所以：C1O∥平面AB1D1
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
CC1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1
所以：B1D1⊥平面AA1C1
B1D1⊥A1C
同理：BC⊥AB1，A1B⊥AB1
所以：AB1⊥平面A1BC
所以：A1C⊥AB1
所以：A1C⊥平面AB1D1
（3）利用
设A1到面AB1D1的距离为h．AA1＝2
h
解得：h＝
（多选）50．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图所示，AB⊥BC，BB1＝AB＝BC＝2，O为A1C的中点，点P是线段BC1上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．A1P⊥OB1
B．存在点P，使得直线A1P与AB所成的角是30°
C．当点P是线段BC1的中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成角的正切值为
D．当点P是线段BC1的中点时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是12π
【解答】解：由题意得AB、BC、BB1两两垂直，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则B（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，0，2），C1（2，0，2），O（1，1，1），
∴＝（﹣1，﹣1，1），＝（2，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣2，0），
记＝+＝（2+2λ，﹣2，2λ），
∵＝﹣（2+2λ）+2+2λ＝0，∴A1P⊥OB1，故A正确；
∵cos＜＞＝＝≤，
记直线A1P与AB所成角为θ，则cosθ≤＜，
∵θ∈[0，]，∴θ＞，故B错误；
当点P是线段BC1的中点时，＝（1，﹣2，﹣1），
平面A1B1C1的一个法向量是＝（0，0，2），
记直线A1P与平面A1B1C1所成角为α，
则sinα＝＝＝，
∵，∴cosα＝＝，
∴tanα＝＝，故C正确；
当点P是线段BC1的中点时，点P坐标为（1，0，1），
由题意知△ABC的外心坐标为（1，1，0），
∴设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O′（1，1，m），
则|O′P|＝|O′B|，即＝，解得m＝0，
∴三棱锥P﹣ABC外接球的半径R＝|O′B|＝，表面积S＝4πR2＝8π，故D错误．
故选：AC．
51．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 ．
【解答】解：连接EB，
∵BB1⊥平面ABCD，∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成角，
在Rt△FBE中，，
∴．
故答案为：．
（多选）52．设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥α，则a∥α B．若a∥b，a∥α，b∥β，则a∥β
C．若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β D．若a⊥α，b∥α，则a⊥b
【解答】解：A：当a α时，a∥b，b∥α可以成立，本选项结论不正确；
B：当a∩β＝c时，若a∥b，a β，b α，此时a∥α，b∥β成立，因此本选项结论不正确；
C：当α∥β时，若b α，a⊥α，此时a⊥b，b∥β成立，因此本选项结论不正确；
D：因为b∥α，所以 γ，b γ，γ∩α＝d，所以b∥d，而a⊥α，d α，
所以a⊥d，而b∥d，因此a⊥b，所以本选项结论正确，
故选：ABC．
53．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
【解答】解：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A、M、O三点共线．
故选：A．
54．如图，在三棱柱：ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点D为线段BC中点，侧面BCC1B1为矩形．
（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）若，二面角A﹣BC﹣A1的正切值为，求CC1与平面A1BC所成角的正弦值．
【解答】解：（I）证明：∵AB＝AC，点D为线段BC中点，∴BC⊥AD，
又由侧面BCC1B1为矩形．可得BC⊥BB1，由三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AA1∥BB1，，
∴BC⊥AA1，∵AA1∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD，
∵BC 平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）由（I）知BC⊥AD，BC⊥A1D，
∴∠A1DA为二面角A﹣BC﹣A1的平面角，
∴tan∠A1DA＝，∴sin∠A1DA＝，cos∠A1DA＝，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝2，∴CD＝BD＝，
∵，设AA1＝x，∴A1B2＝x2+22﹣2×2xcos＝x2+2x+4，
又A1D2＝A1B2﹣BE2＝x2+2x+4﹣2＝x2+2x+2，
在△A1AD中，x2＝A1D2+22﹣2×2A1D×＝x2+2x+2﹣，
即﹣＝2x+2，∴3x2﹣4x﹣4＝0，
∴x＝2或x＝﹣（舍去），
又AA1∥CC1，，由（I）可得平面A1AD⊥平面A1BC，
∴∠AA1D为CC1与平面A1BC所成的角，
在△AA1D中，由正弦定理可得＝，
∴sin∠AA1D＝．
55．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中B'C'＝C'A'＝2，A'B'，A'C'分别与x'轴，y'轴平行，则BC＝（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：平面直观图△A'B'C'中，B'C'＝C'A'＝2，A′B′＝A′C′＝2，
把平面直观图△A'B'C'还原为原图形△ABC，如图所示：
则△ABC中，∠A＝90°，CA＝2C'A'＝4，AB＝A'B'＝2，
所以BC＝＝＝2．
故选：D．
56．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB＝AD，AD＝A1B1，∠BAD＝45°．
（1）证明：BD⊥AA1；
（2）证明：AA1∥平面BC1D．
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∠BAD＝45°，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2+AB2﹣2AD ABcos 45°＝AD2，
∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
∵DD1⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，
∴DD1⊥BD，又AD∩DD1＝D，∴BD⊥平面ADD1A1．
又AA1 平面ADD1A1，∴BD⊥AA1．（7分）
（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD＝E，连结EC1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE＝AC，
由棱台的定义及AB＝AD＝2A1B1知，A1C1∥AE，且A1C1＝AE，
∴四边形A1C1EA是平行四边形，∴AA1∥EC1，
又∵EC1 平面BC1D，AA1 平面BC1D，
∴AA1∥平面BC1D．（14分）
57．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，O为AC与BD的交点．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若M为PD的中点，求三棱锥M﹣OCD的体积．
【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，
∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA，AC 平面PAC，PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC；
解：（2）∵O为AC与BD的交点，∴O为AC与BD的中点，
∴，
∵M为PD的中点，∴点M到平面OCD的距离为，
∴．
58．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是 ×＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2，
故选：D．
（多选）59．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．∠A1C1B＝45°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球体积为
【解答】解：对于A，因为AD1 平面ADD1A1，A1C1∩平面ADD1A1＝A1，A1 AD1，
所以直线A1C1与AD1为异面直线，所以A正确，
对于B，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，所以B正确，
对于C，连接A1B，则由正方体的性质可得△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以C错误，
对于D，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
所以其体对角线长为，
所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为，
所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球体积为，所以D错误，
故选：AB．
60．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）点M在平面PBD内，直线AM⊥平面PBD，求四棱锥M﹣ABCD的体积．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，
∵PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥面PAC，∵BD 平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC；
解：（2）连接PO，过A作AN⊥PO交PO于点N，
因为平面PBD⊥平面PAC，平面PBD∩平面PAC＝PO，PO 平面PAC，所以AN⊥平面PBD，所以M，N重合，
因为△AOM∽△POA，
所以，又，
所以，所以，
∴点M到底面ABCD的距离为，又SABCD＝1，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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