2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2
2．（3分）下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．+2 C．﹣2 D．2
5．（3分）若△ABC的三边分别为a，b，c，下列给出的条件不能构成直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝6，c＝
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2﹣b2＝c2
6．（3分）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
7．（3分）如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线上，连接AC，DE，BE＝AC，若∠E＝70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．30°
8．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠CBA，CE平分△ACB的外角，AD⊥BD于D，交BC于点F，AE⊥CE于E，交BC的延长线于点G，AB＝6，BC＝10，DE＝6，则AC＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，且B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．a B． C． D．2a
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连结OE，2AB＝BC＝AC，S△AOE＝4，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）已知一组数据1，2，4，5，x的平均数为4，则这组数据的方差为 ．
13．（4分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ．
14．（4分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则DF的长为 ．
15．（4分）对于实数m，n，定义新运算m*n为：m*n＝（m+n）（m+2n）+1．如果关于x的方程x*a＝x有两个相等的实数根，则a＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD，∠A+∠C＝∠ABD，BD＝BA＝2，BC＝5，则△ABC的面积是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）2（x﹣1）2﹣18＝0．
19．（8分）如图平行四边形ABCD，E在AD边上，且DE＝CD，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中，画出∠C的角平分线；
（2）在图2中，画出∠A的角平分线．
20．（8分）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 a b 34.6
八年级 92 93 100 41.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出图表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（3）该校八年级共50人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数？
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．
22．（10分）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 元/件；
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1，x2，若x1＝3x2，求k值；
（3）若M＝++x1x2，证明：M≥3．
24．（10分）已知平行四边形ABCD，E为BC边上的中点．
（1）如图1，若BC＝2CD，求证：DE平分∠ADC；
（2）若F为AB边上一点，连结DF，EF；
①如图2，若S△EFB＝1，S△CDE＝4，求S△DEF；
②如图3，若∠EFB+∠CDE＝90°，请你写出线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明．
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
2． 解：∵＝，
∴选项A不符合题意；
∵＝2，
∴选项B不符合题意；
∵＝3，
∴选项C不符合题意；
∵属于最简二次根式，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3． 解：A．原式＝，所以A选项不符合题意；
B．原式＝3，所以B选项符合题意；
C．原式＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．与不能合并，所以D选项不符合题意．
故选：A．
4． 解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝．
∴点D表示数为﹣2．
故选：C．
5． 解：A、∵a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵c2+a2＝11+25＝36＝b2
∴c2+a2＝b2，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2﹣b2＝c2，
∴a2+c2＝b2，
∴能构成直角三角形，
故D不符合题意．
故选：C．
6． 解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC＝＝＝10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
7． 解：连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC．
∵BE＝AC，
∴BD＝BE．
∴△BDE是等腰三角形．
∵∠E＝70°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠ACB＝∠DBE＝40°，
故选：A．
8． 解：∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠FDB＝90°，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴BF＝BA＝6，AD＝DF，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
同理△ACE≌△GCE，
∴CG＝CA，AE＝EG，
∵AD＝DF，AE＝EG，
∴FG＝2DE＝12，
∴AC＝CG＝FG﹣CF＝12﹣4＝8，
故选：C．
9． 解：设平行四边形ABCD的面积是s，设AB＝5m，BC＝3n，AB边上的高是3x，BC边上的高是5y，
则s＝5m 3x＝3n 5y，
即mx＝ny＝，
由题意可知：△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝n，B2C边上的高是×5y＝4y，
则△AA4D2与△B2CC4全等的面积是n 4y＝2ny＝，
同理△DD2C4与△A4BB2的面积是2n y＝ny＝，
则四边形A4B2C4D2的面积是s﹣﹣﹣﹣＝，
∴＝a，
解得s＝，
∴平行四边形ABCD的面积为．
故选：C．
10． 解：∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
设AB＝BE＝a，
∵2AB＝BC＝AC，BC＝BE+EC，
∵E是BC的中点，
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
∴，
∴，
又∵E是BC的中点，
∴，
∴，
如图作AF⊥CB于F，
∴AF BC＝32，
∵AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
∴a2﹣BF2＝（2a）2﹣（2a﹣BF）2，
∴BF＝，
∴AF＝＝，
∴2a ＝32，
∴a＝8（负值舍去），
∴AB＝8，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11． 解：原式＝3．
故答案为：3
12． 解：∵数据1，2，4，5，x的平均数是4，
∴（1+2+4+5+x）÷5＝4，
∴x＝8，
∴这组数据的方差[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（8﹣4）2]＝6，
故答案为：6．
13． 解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．
故答案为：﹣23．
14． 解：如图，∵矩形纸片ABCD折叠后点A与C重合，
∴∠1＝∠2，AE＝CE，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣CE，
在Rt△BCE中，BE2+BC2＝CE2，
即（8﹣CE）2+42＝CE2，
解得CE＝5，
∵矩形ABCD的边AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴FC＝CE＝5，
∴DF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
15． 解：∵x*a＝x，
∴（x+a）（x+2a）+1＝x，
即：x2+（3a﹣1）x+2a2+1＝0．
∵关于x的方程x*a＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（3a﹣1）2﹣4（2a2+1）＝0，
解得：a＝3．
故答案为：3±2．
16． 解：延长CB，作AE⊥CB于点E，
∴∠EBA＝∠BAC+∠C，
∵∠BAC+∠C＝∠ABD，
∴∠EBA＝∠ABD，
作AF⊥BD于点F，
∴AE＝AF，
作BH⊥AD，
∵S△ABC＝ BC AE＝AE，S△ABD＝ BD AF＝AF，
∴S△ABC：S△ABD＝2：5，
∴AD：AC＝2：5，
设AD＝2x，
∴AC＝5x，DC＝3x，
∵BA＝BD，
∴AH＝DH＝x，
∴HC＝4x，
∴2 ﹣x ＝5 ﹣（4x） ，
∴x＝，
∵BH ＝2 ﹣（） ，
∴BH＝，
∴S△ABC＝×5××＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17． 解：（1）原式＝3﹣4+2
＝；
（2）原式＝3+﹣5
＝﹣．
18． 解：（1）x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（2）2（x﹣1）2﹣18＝0，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
19． 解：（1）如图，射线CE即为所求，
（2）如图，射线AT即为所求．
20． 解：（1）因为两个年级的平均数相同，而七年级的方差比八年级小，
所以七年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：七；
（2）把七年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90，96，故中位数a＝＝93；
在七年级10名学生的成绩中，96出现的次数最多，故众数b＝96．
故答案为：93；96；
（3）因为八年级的中位数是93，八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94，
所以有5个学生的成绩比93大，所以被抽取的10名学生的成绩有7人成绩优秀，
50×＝35（人）．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数大约有35人．
21． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE＝，
∴AE＝＝＝．
22． 解：（1）110﹣
＝110﹣
＝110﹣5
＝105（元/件），
∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件．
故答案为：105；
（2）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；
（3）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为90元．
23． （1）证明：∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：x＝，
解得x＝k+1或x＝2，
当k+1＝3×2时，解得k＝5，
当2＝3（k+1）时，解得k＝﹣，
综上所述，k的值为5或﹣；
（3）证明：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，
∴M＝（x1+x2）2﹣x1x2
＝（k+3）2﹣（2k+2）
＝k2+4k+7
＝（k+2）2+3，
∵（k+2）2≥0，
∴（k+2）2+3≥3，
即M≥3．
24． （1）证明：∵E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CD＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
（2）①解：延长FE，交DC延长线于点G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FBE＝∠GCE，∠BFE＝∠CGE，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），
∴EF＝EG，S△BEF＝S△CEG，
∵S△EFB＝1，S△CDE＝4，
∴S△CEG＝1，
S△DEG＝S△CDE+S△CEG＝4+1＝5，
∵EF＝EG，
∴S△DEF＝S△DEG＝5；
②DF＝AF+2BF，证明如下：
延长FE，交DC延长线于点G，如图，
由①可知，△BEF≌△CEG，
∴EF＝EG，BF＝CG，∠EFB＝∠EGC，
∵∠EFB+∠CDE＝90°，
∴∠EGD+∠GDE＝90°，即DE⊥FG，
∴△DFG为等腰三角形，DF＝DG，
∴DF＝DG＝CD+CG＝AB+BF＝AF+BF+BF＝AF+2BF，
即DF＝AF+2BF．
