第六章 圆周运动 单元卷
本试卷共4页，15小题，满分100分，考试用时75分钟。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点、、。在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )
A. 、两点的角速度大小相等
B. 、两点的线速度大小相等
C. 、两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比
D. 、两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比
2. 如图所示，一位同学玩飞镖游戏．圆盘最上端有一点，飞镖抛出时与等高，且距离点为当飞镖以初速度垂直盘面瞄准点抛出的同时，圆盘以经过盘心点的水平轴在竖直平面内匀速转动．忽略空气阻力，重力加速度为，若飞镖恰好击中点，则( )
A. 飞镖击中点所需的时间为
B. 圆盘的半径可能为
C. 圆盘转动角速度的最小值为
D. 点随圆盘转动的线速度不可能为
3. 游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示。飞椅用钢绳固定悬挂在顶部同一水平转盘上的圆周上，转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中甲的钢绳的长度大于乙的钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为、，不计钢绳的重力。下列判断正确的是( )
A. 甲的角速度大于乙的角速度
B. 甲、乙的线速度大小相同
C. 无论两个游客的质量分别有多大，一定大于
D. 如果两个游客的质量相同，则有等于
4. 如图所示，、、三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，的质量为，、的质量均为，、离轴的距离为，离轴的距离为，则当圆台旋转时（设、、都没有滑动），下列选项中错误的是（ ）
A. 的向心加速度最大
B. 受到的静摩擦力最小
C. 当圆台转速增大时，比先滑
D. 当圆台转速增大时，将最先滑动
5. 如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动．、为水平直径，、为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )
A. 物块始终受到三个力作用
B. 从到，物块处于超重状态
C. 从到，物块处于超重状态
D. 只有在、、、四点，物块受到的合外力才指向圆心
6. 如图所示的是杂技演员表演的“水流星”细长绳的一端系一个盛了水的容器，容器在竖直平面内做圆周运动．“水流星”通过最高点时，正确的是( )
A. 容器的速度可能为零
B. 一定有水从容器中流出
C. 水对容器底可能有压力
D. 绳对容器一定有向下的拉力
7. 两粗细相同、内壁光滑的半圆形圆管和连接在一起，且在处相切，固定于水平面上。一小球从端以某一初速度进入圆管，并从端离开圆管。则小球由圆管进入圆管后（ ）
A. 线速度变小
B. 角速度变大
C. 向心加速度变小
D. 小球对管壁的压力变大
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8. 如图，有一竖直放置在水平地面上光滑圆锥形漏斗，圆锥中轴线与母线的夹角为。可视为质点的小球、在不同高度的水平面内沿漏斗内壁做同方向的匀速圆周运动，两个小球的质量，，若、两球轨道平面距圆锥顶点的高度分别为和，图示时刻两球刚好在同一条母线上，下列说法正确的是( )
A. 球和球的向心加速度大小分别为和
B. 两球所受漏斗支持力大小之比与其所受向心力大小之比相等
C. 球和球的线速度大小之比为
D. 从图示时刻开始，球每旋转两周与球在同一根母线上相遇一次
9. 如图，两个质量均为的小木块和可视为质点）放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A. 、所受的摩擦力始终相等
B. 一定比先开始滑动
C. 是开始滑动的临界角速度
D. 当时，所受摩擦力的大小为
10. 如图甲所示，将质量为的物块和质量为的物块放在水平转盘上，两者用长为的水平轻绳连接．物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的倍，物块与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动．开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块、开始滑动．若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共2小题，每空2分，共10分。
11. 长为的细绳，上端系在一高架天车上，如图所示，天车下端拴一质量为的重物。天车与重物一起以的速度匀速运动，则细绳对重物的拉力是_______，当天车突然急刹车时，绳对重物的拉力是_______。
12. 如图所示是“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”的实验原理图，已知重力加速度为，某同学设计的部分实验步骤如下：
用天平测出钢球的质量；
将钢球用细线拉起，贴近钢球，在其下方平放一张画有多个同心圆的白纸，使其圆心恰好位于悬点正下方；
使钢球做圆锥摆运动；
通过纸上的圆对照得出钢球做匀速圆周运动的轨迹；
用秒表记下钢球运动一圈的时间作为钢球的转动周期；
用刻度尺测出轨迹的半径。
以上测量中第步会造成较大误差，应怎样改进？_________________________________________
钢球所需向心力的表达式______（用上述测得的量表示）；
该同学又用刻度尺测出细线的长度，则钢球所受合力的表达式______（用、、、等表达；
将测量数据代入、的表达式，发现、近似相等，则说明以上得出的向心力表达式是正确的。
四、计算题：本题共3小题，13题12分，14题14分，15题18分，共44分。
13. 质量的汽车以速率分别驶过一座半径的凸形和凹形形桥的中央，，求：
在凸形桥的中央，汽车对桥面的压力大小；
在凹形桥的中央，汽车对桥面的压力大小；
若汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零，此时汽车的速率是多少
14. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离处有一质量为的小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为已知重力加速度，，．
若，求当小物体通过最高点时所受摩擦力的大小；
若，求当小物体通过与圆心等高处时所受摩擦力的大小；保留两位有效数字
求符合条件的的最大值．
15. 回答问题一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为，圆锥底面的圆心为。用一根长为的轻绳一端系一质量为的小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上点，点距地面高度为，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。
当小球的角速度为时，求轻绳中的拉力大小。
逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与点间的距离。
答案解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. ；
12. 让钢球多转动几圈，用总时间除以转动的圈数作为钢球转动的周期
；
13. 解：对于凸形桥有：
解得：
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力为 ；
对于凹形桥有：
解得：
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力为；
当汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零时，由解得：。
14. 解：在最高点，根据牛顿第二定律可得：
解得：
小物体通过与圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力，则：
解得：
小物体在最低点所受的摩擦力最大，
在最低点，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：
15. 解：当小球在圆锥表面上运动时，据牛顿运动定律可得：
小球刚要离开圆锥表面时，支持力为零，求得：，
当小球的角速度为时，小球在圆锥表面上运动
解得：；
当轻绳断裂时，绳中的拉力大于，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为，根据牛顿运动定律可得：
解得：，
轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：
据，得：
如图所示：
水平位移为：
抛出点与间的距离为：
，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点到的距离为。
【解析】
1. 【分析】
本题考查灵活选择物理规律的能力。对于圆周运动，公式较多，要根据不同的条件灵活选择公式。
利用同轴转动，角速度相同，同一链条上各点的线速度大小相等；据线速度和角速度的关系；根据向心加速度的公式知，线速度大小不变，向心加速度与半径成反比，角速度不变，向心加速度与半径成正比。
【解答】
A.两点在传送带上，所以两点的线速度相等，再据和半径不同，所以两点的角速度不同，故A错误；
B.两点属于同轴转动，故角速度相等；再据和半径不同，所以两点的线速度不同，故B错误；
C.由向心加速度的公式知，、两点的向心加速度与其半径成反比，故C错误；
D.由向心加速度的公式知，、两点的向心加速度与其半径成正比，故D正确。
故选D。
2. 【分析】
本题关键知道恰好击中点，说明点正好在最低点，利用匀速圆周运动的周期性和平抛运动规律联立求解。
飞镖做平抛运动的同时，圆盘上点做匀速圆周运动，恰好击中点，说明点正好在最低点被击中，则点转动的时间，根据平抛运动水平位移可求得平抛的时间，两时间相等联立可求解。
【解答】
A.飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此，故A正确；
B.飞镖击中点时，恰好在最下方，则，解得圆盘的半径为：，故B错误；
C.飞镖击中点，则点转过的角度满足：故，则圆盘转动角速度的最小值为，故C错误；
D.点随圆盘转动的线速度为：，当时，，故D错误。
故选A。
3. 【分析】
由重力与拉力的合力提供向心力可以确绳子的偏角与的关系，据确定线速度的大小，由向心力公式确定向心力的大小。
飞椅做的是圆周运动，确定圆周运动所需要的向心力是解题的关键，向心力都是有物体受到的某一个力或几个力的合力来提供，在对物体受力分析时一定不能分析出物体受向心力这么一个单独的力。
【解答】
同轴转动角速度相同，由可知半径不同线速度不同，则，则AB错误；
重力与拉力的合力为，由，其中为圆盘半径，解得：，得，越小则越小。则，与质量无关，则C正确，D错误。
4. 【分析】
物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，根据向心加速度公式分析加速度大小；根据静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可。
本题关键是建立滑块做圆周运动的模型，根据牛顿第二定律列式求解出一般表达式进行分析，注意明确解题的关键在于三个物体的角速度均相同。
【解答】
A.物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，有，由于物体的转动半径为，最大，故其向心加速度最大，故A正确；
B.物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律，有，由于的质量为，半径为，故B的摩擦力最小，故B正确；
物体恰好滑动时，静摩擦力达到最大，对于，有，解得：，对于，有，即转动半径最大的最容易滑动，故物体先滑动，然后物体、一起滑动，故C错误，D正确。
由于本题选错误的，故选C。
5. 【分析】
木板托着木块在竖直平面内逆时针方向一起做匀速圆周运动，物块所受的合力提供圆周运动所需的向心力；当加速度方向向上时，物体处于超重状态，加速度向下时，物体处于失重状态。
解决本题的关键知道物块所受的合力提供向心力，向心力大小不变，知道物块所受合力在竖直方向的分力等于重力和支持力的合力，在水平方向的分力等于摩擦力。
【解答】
A.在两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物体受到重力、支持力、静摩擦力作用，故A错误；
B.从运动到，向心加速度有向下的分量，所以物体处于失重状态，故B错误；
C.从运动到，向心加速度有向上的分量，所以物体处于超重状态，故C正确；
D.物体作匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，故D错误；
故选：。
6. 解：、到达最高点时，向心力最小为，速度最小，此时绳子无拉力，故，解得，故速度不可能为零，故AD错误；
B、则当水在最高点的速度大于等于时，水不会从容器中流出．故B错误；
C、当最高点速度大于时，重力不足以提供向心力，则水需要的向心力由重力和桶对水向下的压力提供，故C正确；
故选：。
在最高点水对桶底无压力时，根据牛顿第二定律求出临界的最小速度，从而判断水能否从容器中流出．
决本题的关键搞清做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．
7. 【分析】
小球做圆周运动，轨道对小球的水平方向的支持力的方向指向圆心，所以轨道对小球的水平方向的支持力对小球不做功，小球的速度不变，由线速度与角速度的关系分析角速度的变化，由向心力的公式分析向心力的变化和小球对管壁的压力的变化。
该题考查圆周运动中的向心力与向心加速度，解答该题关键要抓住小球的线速度保持不变，然后进行分析。
【解答】
A.小球在水平面内运动，轨道对小球的水平方向的支持力对小球不做功，小球的速度不变，故A错误；
B.根据角速度与线速度的关系：可知：，线速度不变，轨道半径增大，所以小球的角速度减小，故B错误；
C.根据向心力的表达式：，线速度不变，轨道半径增大，所以小球的向心力减小，则向心加速度也减小，故C正确；
D.小球需要的向心力减小，则轨道对小球的沿水平方向的支持力减小，轨道对小球的竖直方向的支持力不变，所以轨道对小球的支持力的合力减小，根据牛顿第三定律可知，小球对管壁的压力减小，故D错误。
故选：。
8. 【分析】
本题主要考查圆周运动，解决问题的关键是正确受力分析，由牛顿第二定律列式进行解题。
【解答】
A.对小球、受力分析，则分别受到竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、，由牛顿运动定律得：，解得：，故A、球的向心加速度大小都为，故A错误；
B.由选项受力分析，则有：，，故B正确；
C.对有：，，对球有：，，联立解得：，故C正确；
D.对有：，，对球有：，，联立解得：，故球每旋转两周与球在同一根母线上相遇一次，故D正确。
9. 【分析】
本题的关键是正确分析木块的受力，明确木块做圆周运动时，静摩擦力提供向心力，把握住临界条件：静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律分析解答，不难。
【解答】
两个木块的最大静摩擦力相等；木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得：木块所受的静摩擦力，、相等，，所以所受的静摩擦力大于的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时的静摩擦力先达到最大值，所以一定比先开始滑动，故A错误，B正确；
C.当刚要滑动时，有，解得：，故C正确；
D.以为研究对象，根据得，开始滑动的临界角速度，
当时，由牛顿第二定律得：，可解得：，故D错误。
故选BC。
10. 【分析】
当角速度为时，、间的细绳开始出现拉力，对分析，根据牛顿第二定律列出表达式，当角速度为时，达到最大静摩擦力，分别对、列出牛顿第二定律的表达式，联立求解。
解决本题的关键搞清物块、做匀速圆周运动向心力的来源，结合临界状态，运用牛顿第二定律分析求解，难度中等。
【解答】
开始转速较小时，、两物块的向心力均由静摩擦力提供，当转速增大到一定程度时，的静摩擦力不足以提供向心力时，绳子开始有拉力，当转速再增大到一定程度，的最大静摩擦力也不足时，两者开始做离心运动，由题图乙可得：，，可解得：，，故A错误，BD正确；
C.对物块分析，，可推得，故C错误。
故选BD。
11. 【分析】
解决本题的关键知道物体做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。
【解答】
天车匀速行驶时，以重物为研究对象，根据平衡条件得钢丝的拉力为：
；
由题意知，天车突然停车的瞬间，重物开始做圆周运动，其所受合力提供向心力，
即： 则得：；
代入数据得
12. 解：第用秒表记下钢球运动一圈的时间作为钢球的转动周期，这样周期的误差太大，为了减小实验误差，应该让钢球多转动几圈，用总时间除以转动的圈数作为钢球转动的周期。
根据钢球在水平面内做匀速圆周运动，得钢球所需向心力的表达式为：；
该同学又用刻度尺测出细线的长度，设细线与竖直方向上的夹角为，
根据几何关系得：
解得钢球所受合力的表达式为：。
为了减小实验误差，根据钢球转动的圈数和时间求出钢球匀速圆周运动的周期；
结合向心力公式求出钢球所需的向心力；
根据受力分析，结合平行四边形定则求出钢球所受的合力的表达式。
本题考查的是用圆锥摆粗略验证向心力的表达式的实验，关键是要掌握向心力公式，并会通过对钢球进行受力分析结合三角知识求出合力的大小，同时注意为了减小实验误差，应该让钢球多转动几圈求周期。
13. 本题主要考查了牛顿第二定律的直接应用，知道在凹形桥和凸形桥中央靠竖直方向上的合力提供向心力，难度不大，属于基础题。
、在凸形桥和凹形桥中央靠竖直方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，根据牛顿第三定律求出汽车对桥面的压力；
当汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零时，根据重力提供向心力求出汽车的速率。
解：对于凸形桥有：
解得：
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力为 ；
对于凹形桥有：
解得：
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力为；
当汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零时，由解得：。
14. 解决本题的关键知道小物体做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等。
解：在最高点，根据牛顿第二定律可得：
解得：
小物体通过与圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力，则：
解得：
小物体在最低点所受的摩擦力最大，
在最低点，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：
15. 本题考查了圆周运动中的临界问题，解题的关键是要找到临界点，即圆锥表面对小球的支持力为零。
由于小球在水平面内做圆周运动，对小球受力分析，由牛顿第运动定律列方程，求出小球刚要离开圆锥表面时的角速度和拉力，可知小球的角速度为时，小球在圆锥表面上运动，即可求解；
当轻绳断裂时，小球已经离开了圆锥表面求出此时小球的速度，轻绳断裂后，小球做平抛运动，由平抛运动规律求下落的时间和水平距离，由几何关系即可求解。
解：当小球在圆锥表面上运动时，据牛顿运动定律可得：
小球刚要离开圆锥表面时，支持力为零，求得：，
当小球的角速度为时，小球在圆锥表面上运动
解得：；
当轻绳断裂时，绳中的拉力大于，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为，根据牛顿运动定律可得：
解得：，
轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：
据，得：
如图所示：
水平位移为：
抛出点与间的距离为：
，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点到的距离为。
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